Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Поскольку в этом случае индекс определен для всех классов связностей с точностью до калибровочной эквивалентности, петлю У можно деформировать в Я. (7.3) Если группа Я.[(2) вложена в Яд(З) стандартным образом, то расслоение алгебр Ли 5 соответствующей Я](3)-связности А имеет расщепление вида 8=66)!ч'(Ь) ]г', где ]? — комплексное расслоение ранга 2, а Р— тривиальное одномерное расслоение, причем все три подрасслоения инвариантны относительно свЯз ности. Следовательно, юг 1[1 пб ($$„- + г(лп)) = шг [1пг] ~$1'„+ г(„)), так что петлю У можно деформировать в пространстве Я, классов эквивалентности Яд(3)-связностей. (7.4) Предложение.
ттг (Я,) = О. Доказательства. Так как группа Ус калибровочных 51.1(3)- преобразований, сохраняющих хв, действует свободно, имеем и! (Яз) ~ гав (У,). Главное расслоение Р тривиально на дополнении к точке. Следовательно, оно и подавно тривиально на двумерном остове Х. Из того, что ггт(ЗП(З)) = О, следует, что любой элемент группы Уо можно продеформировать таким образом, чтобы он при ограничении на двумерный остов давал тождественное отображение. Стягивание в точку двумерного остова Х дает сферу 5'. Гомотопический тип группы Ув на сфере 54 не зависит от св(Р) (см. [4]), так что задача сводится к случаю тривиального расслоения.
Но яг(Яд(3)) =О, поэтому группа Ув связна. Итак, в!го [] Я* — ориентируемое многообразие. Вклеивание в местах проколов границы окрестности факторособенности дает кобордизм теоремы (1.1). й 8. ПРИМЕРЫ (8.1) Пусть Х = 5' — сфера с канонической метрикой. Тогда любая автодуальная связность на Р калибровочно эквивалентна связности 1'А, где 1: 54-ь. Н Р' — конформное отображение и А— каноническая связность на кватерниониом расслоении Хопфа. Поскольку нзометрии многообразия Н Р' сохраняют А„пространство модулей совпадает с 50(6, 1)/80(5), т.
е. является пятнмерным гиперболическим пространством. Это шар В', имею- щий 5' в качестве границы. Имеется много способов доказать это (см. например, [2), [3[, [6[). (8.2) Пусть Х=СРв с канонической метрикой. В некомпактной компоненте $(г любая связность калибровочно эквивалентна связности вида ['А, где ?: СРх — и НРз — отображение, с точностью до действия Я](3) на СРв эквивалентное отображению (з, ш)-э.~з, + ), аен[0; 1), записанному в аффннных координатах. При а =О эта формула задает стандартное вложение СРв с: г(Рз, и соответствующая связность приводима.
Пространство модулей — конус над СРз, в котором а в сущности измеряст расстояние до вершины. Это было доказано Дональдсоном (не опубликовано) с использованием алгебраической геометрии многообразия флагов Гы а также метода Пенроуза — Уорда. ЛИТЕРАТУРА [1] АЬгаЬаш й., йоЬЬ(п д. Тгапвчегва! гпарр(пкв апб Иотчв, Веи]ат1п, $Чегч Уог1с, 1967. [2] А1$уаЬ М. Г., НисЫи )Ч.
д., 1)г(п1еЫ У, О., Маигп Уо. 1. Соив(гнс1!оп о1 (пв1ап1опв, РЬув, 1.с(1., 65А (!978), 185. [3] А1(уаЬ М. Г., НцсЬш 5$, д., 5!нксг 1. М. 5е11-бна(1(у !п 1опг-б(шепа(опа1 й1еп$апп(аи яеоше1гу, Ргос й. 5ос. (1лпй), А362 (1978), 425 — 461. [4] Апуаь М. Г., допев д. Р,5. Торо)ои(са1 азрес1з о1 уапк — Мшз йвогу, Сойиппп.
Ма1Ь. РЬув., 61 П978), 97 — 118, '[5] А1$уаЬ М. Г., Еипдег 1. М. ТЬе (ивах о1 е111р(1с орега1огв !У, Апп. о1 Ма(Ь., 93 (1971), 119 — 138. [Имвется перевод: Атья М. Ф., Зингер И. М. Индекс эллиптических операторов. 4. — Успехи мат. наук, 1972, т. 27, вып. 4, с !61 — 178.] [6] Апуаь М. Г., %аг$$ й.
5. 1пв(ап1опв апб а!ЕеЬга)с иеогпе(гу, Сопиппп. Ма1Ь. РЬув., 55 (1977), 117 — 124. [?] Ве1ач(п А. А., Ро1уа1гоч А. М., 5сьтчаг(х А. 5., Туирмп У. 5, Рзеиборагпс!е во)йюпв о1 йе Уапя-М$11в есоацопв. РЬув. Ье(1., 59В ($975),85. 8] Вопа!бвоп 5. К. О. РЫ1. йеыз (Ох1огг$), 1982.
9] Ггеейпаи М. Н. ТЬе (оро1опу о1 1опгЫ(шепа(опа1 шаппоЫв, д. 01НегеиЦа) Оеоше1гу, 17 (1982), 357 — 453. [1О] Коган(вы М. А пел ргоо1 $ог 1Ьа ех)з1епсе о1 (осапу согпр1е1с $эпп1(ев о1 согпр!ех Мгис1игез, Ргос. Соп1. оп Сошр(ех Апа!ув!з, М(ппваро!ЬЬ 5рг(пкег-Чег1ай Матч Уогй 1964, 142 — 156. [11] 1йЬЬв М. 5(аЫ11(у о1 Е(пв1е(и — Неппщап чсс1ог Ьппб!св, Ргерпп1 (ВаугсШЬ). [12) Мгйег Р, К., У(а11е( С. М. Оп йе Ьпиг(1е о1 соппес11опв апб 1Ье папка огЫ1 шапиоЫ $и Уапп — МИВ йеогу, Соиипшг. Ма1Ь. РЬув., 79 ([981), 457 — 472.
[13] Ь)агав(шьап М. 5., 5езьабг! С. 5. 51аыс апг( ипнагу чес1ог Ьнпб!ез оп а сошрас( й(вшапп внг1асе, Апп. о1 Май., 82 (1965), 540 — 567. [Имеется перевод: Нарасимхан М. С., Шешадри К. С. Стабильные и унитарные Н. Двс. Хитчин векторные расслоения яа компактной римаиовой поверхности. — Математика, 1969, 13: 1, с.
27 — 52.] (14] Рагйег Т. Н. Оапйе йеог1ев оп 1опг-дппепя1опа1 пппапгдап агап((о!дв,. Согппшп. Май. РЬуз., 85 (1982), 563 — 602. [!5] Яед)асей Я. А д!гес1 п!е1Ьод (ог пг(п1пг!г1п8 йе Тапй — М!11з (ппсйопа! очег 4-пап!(оЫя, Сопвппп. Май. РЬуз., 86 (1982), 515 — 527. (16] ЯсЬтчаггепЬегйег К.1.. Е, Чес(ог Ьппд!ез оп йе рго)есЛче р1апе, Ргос.. 1.опд. Май. Яос., 11 (1961), 623 — 640.
(17] Яегге Л-Р. А сопгяе (п аг(0юпе(!с, Ярг!пйег-Тгег!ай, )(етч Тогй, 1973 (Имеется перевод: Серр )К.-П. Курс арифметвки (Перевод с франц. издания: Яегге Л-Р. Сопгя д'аг(Импе((йпе.— Рапв; Ргевяев ()п!четв!(а(гез де Ггапсе, 1970). — Ми Мир, !972. (18] Япга1е Я. Ап 1пйпйе <Нгяепяюпа! четв!оп о1 Яагд'я 1Ьеогепг, Апгег. 3 Ма1Ь., 87 (1965), 861 — 866. (19] ТапЬез С. Н. Яейпдца! Тапй — Мг!!з соппесйопя оп поп-зеН-дпа! 4-гпап(-- 1о!дз, Ю. О(Негев!!а1 Сгеоте1гу, 17 (1982), 139 — 170, (20) ()ЫепЬесй К. К. Кевочзйе з)пйп1аг!1!ея 1и Тап8 — М111в Ее1дз, Сопнппп.
Ма1Ь. РЬуз., 83 (1982), 1! — 30. [2!] ()МепЬесй К. К. Соцпес((опв адй Е» Ьоцпдв оп сцгча1пге, Соппппп Ма1Ь. РЬуя., 83 (1982), 31-42. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 1*. (7опа!двоп Я. К. Сеопге1гу о1 4-гпап!(о!дв, Ргос. 1пг. Сопйт. Ма1Ь., ВегЬе1еу. Са1!1. Апй. 3 — 11, 1986, ч.
1, РгочЫепсе 1987, 43 — 54. 2». Попа!двоп Я. К. Сапйе 1Ьеогу апд впоой в1гос1цгев оп 4-тап1(о!дз беопге1гу апд Торо!ойу. Мапг(о!дв, '1таг„зпд Кпо1в, Ргос. Торо1. Соп1.. А1Ьепз, Апи. 5 — 16, 1985, Нети г'огй, !987, 89 — 98. УЗЛЫ И КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ В РАЗМЕРНОСТИ 3 (по Даниэлю Беннекену)г) Адриан Дуади О. ОБЗОР В прошлом веке Дарбу доказал, что симплектические структуры на четномерных многообразиях, так же как контактные на мечетномерных, не имеют локальных инвариантов (т.
е. локально нзоморфны). В 1953 г. Черн сформулировал проблему клас. сификацин этих структур на данном многообразии. В 1959 г. Грей доказал, что оба типа структур на компактных многообразиях стабильны, т. е. каждый класс изоморфизма открыт. Лутц в своей диссертации (1971 г.) показал, что в каждом гомотопическом классе полей двумерных плоскостей в 54 имеется контактная структура. Лутц и Мартине доказали, что каждое ориентированное трехмерное многообразие несет контактную структуру. Другое доказательство этого факта принадлежит Терстону и Вннкельнкемперу. Полное решение вопроса о классификации снмплектнческих н контактных структур на открытых многообразиях принадлежит Громову.
В своей диссертации (1969 г.) он классифицировал этн структуры с точностью до гомотопии. Арнольд и Громов поставили вопрос о классификации этих структур с точностью до диффеоморфизма; в частности, они сформулировали вопрос о существовании на Р" экзотических контактных (при нечетном и) и симплектических (при четном и) структур. Некоторые кандидаты на роль экзотической контактной структуры на Ра были предложены, в частности, Эрландссоном (см. рисунок на с. 162). Даниэль Беннекен в своей диссертации (ноябрь 1982 г.) доказал, что ситуация, изображенная на этом рисунке, невозможна для стандартной контактной структуры. Это утверждение основано на неравенстве т(т) «= О, выполненном для всякой незаузленной лежандровой кривой у, т, е.
кривой, касательнон к контактному полю плоскостей. Гипотеза о существовании такого неравенства принадлежит Терстону, а его неполное доказатель. ство методом, отличным от метода Беннекена, было предложено и !Зоиагу Ааг!еп. !Чоепг!а е1 а1гис1пгеа ае соп1ас1 еп г!!гиепа!оп 3.— (Кг'аргеа Рап1е! Веппеяшпр — Зегп!па!г ВопгЬаК1, 35ете аписе, !982783, п' 604. Аа1ег!аяие 105 — 106, !983, р.
129 — 148. © Ы. ВоигЬаю, Вес!е1е гпа1ьегиацчие г!е Ргапсе, !983 1Е1 узлы и контактные структуры в размерности 3 А, Дуади в 1981 г. Эрлаидссоном. Похожий результат был анонсирован также Элиашбергом, как и теорема о С'-замкнутости групп симплектических и контактных диффеоморфизмов компактного многообразия (тем самым получен ответ на вопрос, поставленный Арнольдом и Громовым), Более сильное неравенство Беннекена представляет и самостоятельный интерес в теории узлов.
Этот доклад посвящен в основном результатам, изложенным в диссертации Беннекена. 1. КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ (В РАЗМЕРНОСТИ 3) Пусть М вЂ” трехмерное многообразие. Система Пфаффа Р„ или гладкое лоле плоскостей, на М вЂ” это гладкое отображение, сопоставляющее каждой точке т ее М плоскость Р, лежащую в касательном пространстве Т М. Если Р трансверсально ориентируема,то она является ядром дифференциальной 1-формы а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
