Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Последняя работа мотивирована обобщением на высшие размерности «исчисления на арифметических поверхностях», развитого Аракеловым и Фальтингсом. Отметим по этому поводу, что многие обобщения результатов и методов, описанных в этом докладе, тесно связаны с конструкциями «в слоях над оа» в исчислении Аракелова и Фальтингса на арифметических поверхностях (см. [33], [6), [3), [30) ). 2.6. Покажем теперь, как формулы конформных аномалий ' (1.6.5) и (1.6.6) можно вывести из теоремы 2.2. Это доказательство проясняет связи между различными видами аномалий в 2-мерной теории поля (см. [2] ), с одной стороны, и между «действием Лиувилля» (1.6.7) и вторичными классами Ботта и Черна (см.
[14] и [25)) — с другой. В нем, в частности, значение 26 критической размерности появляется как отражение коэффициента 1/12 в формуле для рода Тодда (2АА): 26/2=12+ 1 Пусть Хо — компактная риманова поверхность, а 11 1]о— эрмитова метрика на ТсХо; эта метрика задает эрмитову метрику на Той~ " (п ее У). С помощью этих метрик строится метрика Квиллена 11 Ц о на пространстве РЕТ д „. Формула хо конформных аномалий указывает отношение между метриками Квиллена 11 . 1[о о и 11 1]о, на этом пространстве, полученными из двух эрмитовых метрик 11 11, и 11 11, на Т Х,. Предложение 2.3. ([43), [1]). Если 11.11, = еЧ 11о, то где )с обозначает (1,1)-форму кривизны голоморфного расслое- ния ТХ, наделенного метрикой 11.1]о (см. (2.4.1)).
Формулы (1.6.5) и (1.6.6) следуют из (2.6.1) с и =0 и и = 1. (Заметим, что Ь,-скалярное произведение на сонет д не зависит от метрики на ТХ; см. разд. 1.3.2.) Если применить теорему 2.2, взяв в качестве Е расслоение Т", снабженное метрикой 11 1]г, полученной тензорным умножением Дгтгряанантнае расслоения, регуяярааааанные детерминанты 133 из 11 1]т, то (2.6.2) с,(РЕТдт" 11 ' 11 ) = ~ с (Т, 11 1[т)о.
х1з Выберем теперь Е ~ С (Х, к, С, )ч) так, чтобы функции Т,=г( °, з) зависели только от ]з], [о=1, а ),=/. Предыдущая формула, примененная к тривиальному семейству 5 = С, Х=ХоХС, я=рг, н к метрике 11 . 11=в" 11 1]о на Т, превращается после несложного вычисления в (2.6.3) д,д, 1од 11 ° 1]п, = д,д, .
(),Д + д)г А д),) где 11 Ц,— метрика Квиллена на РЕТд и, полученная с помощью метрики е '11 1]о на Х,. Так как 1, и 11 1[о, зависят только от ]з], формула (2.6.3) влечет за собой (2.6.1). 3. МЕРА ПОЛЯКОВА И ИЗОМОРФИЗМ МАМФОРДА 3.1. Пусть тц Х- 5 — голоморфное семейство компактных рима- новых поверхностей. Снабдим Т = ТХ]5 эрмитовой метрикой н рассмотрим детерминантные расслоенияРЕТде и РЕТдт, наделенные метриками Квиллена 11 1]Ф построенными по этой метрике на Т и тривиальной метрике (11111= 1) на тривиальном расслоении 47. Формула (2.6.2) с и =0 и и =1 дает следующее равенство: Теорема 3.1 (Белавин — Книжник [7], [8]). с, (РЕТдт, 11 . Ц=-13с1(РЕТдв, 11 . 1]ч). 3.2.
С другой стороны, если Х и 5 квазипроективны и если ив алгебраический морфизм, то вычислением, аналогичным предыдущему выводу формулы (2.6.2), но, используя теорему Римана — Роха — Гротендика вместо теоремы 2.2, получим, что для некоторого натурального У линейные расслоения (РЕТдт) — ен и (РЕТ де)о' изоморфны каи алгебраические расслоения. е |он Можно установить более точный результат, приняв во внимание определенную «жесткость» пространства модулей .Х . Теорема 3.2.
Пусть р — целое )2. Каждому голоморфному семейству ти Х- 5 связных компактных римановых поверхностей рода р можно сопоставить изоморфизм линейных Ж.-Б. Бает расслоений М„: ЭЕТ дтх ~ з — (ПЕТ до) причем так, что 1) задание разных М„согласовано с заменой базы; другими словами, в обозначениях равд. 2.2 следующая диаграмма линейных голоморфных расслоений над 5' коммутативна: ПЕТ дтх ~ з — ((УЕТ до „) Ц Ц )" РЕТдтх1з — ~~ (ЭЕТдо ) (в этой диаграмме вертикальные стрелки — изоморфизмы, описанные в равд. 2.21)). й) Если л — алгебраический морфизм комплексных квазипроективных многообразий, а значит, 0ЕТдтх1з и ЭЕТдо обладают структурой алгебраических линейных расслоений над 5, то ̄— алгебраический изоморфизм. Задание такого семейства (М„) мы называем изоморфизмом Мамфорда.
Если (М„) и (М„') — два изоморфизма Мамфорда, то существует такое к ев С', что М„'= кМ для всех я. Эта формулировка вытекает из теоремы Мамфорда ([39[, теор. 5.10) об алгебраичности версальных деформаций компактных голоморфных кривых и из того, что обратимые регулярные функции на пространствах модулей .Х постоянны (последнее следует из явного описания .Х», если р =! или 2, и из соображений, использующих компактйфикацию Сатаке при р ) 3; см доказательство теоремы 3.3). 3.3. Как следствие теоремы 3.1 получается следующий замечательный результат (Еейлинсон, Дринфельд; см. [7[, [8[): Теорема 3.3. Пусть р — целое ~2, и пусть [М„) — изоморфизм Мамфорда для римановых поверхностей рода р.
Существует такая константа Сев Р~, что для любого голоморфного семейства я: Х- 5 связных компактных римановых поверхностей рода р и любой эрмитовой метрики [[ ° [[т на Т:= = ТХ[5 изоморфизм Мамфорда удовлетворяет тождеству ~[М.~[[, = С[[в[[о, где. через [[ [~о обозначена метрика Квиллена, определенная с по- мощью [~. [~т (см. $3.1). Детермннантные расслоения, регуляраеоеанние детерминанта 1ЗВ Эскиз доказательства.
Из теоремы 3.1 следует, что для любого семейства я: Х- 5 и любой метрики [[ [[т существует такая функция ф ~ С (5, Р' ), что ~[М ЬЦ=фДЦ и ддьйф=О. Формула конформных аномалий (2.6.1) с и = О и и = 1 и согласованность изоморфизма Мамфорда с заменой базы доказывают, что ф(з) зависит лишь от класса я-~(з) в [м . Если р ) 3, отсюда следует, что ф зависит только от р: плюрисубгармоническая функция на У Р, инвариантная относительно ГР, постоянна, так как через любые две точки в А' проходит полная кривая (см. [27[).
Это так в силу следующего факта: пусть .г~~ — компактификация лй», полученная замыканием,й», вложенного при помощи якобиева отображения в компактификацию Сатане пространства модулей поляризованных (главным способом) р-мерных абелевых многообразий; тогда л(Р— проективное многообразие, и й' — ..й' имеет коразмерность > 2 в Мр. Когда р = 2, для завершения доказательства необходимо располагать верхней оценкой на рост ф на бесконечности в гТь Такую оценку можно получить из выражений для регуляризованных детерминантов в терминах дзета-функции Сельберга (см.
$1.6.4 и [48) ). 3.4.1. Заметим, что задание гладкой положительной плотности на С-аналитическом многообразии Х равносильно заданию' зрмитовой метрики в линейном расслоении еьг голоморфных дифференциальных форм степени й(щсХ; такая метрика определяет плотность р по локальной формуле 1ь=[[зг [зле[, где з обозначает ненулевое голоморфное сечение еьг. 3.4.2. Предположим теперь, что р 1, и рассмотрим универсальную кривую Тайхмюллера я: %' — У р.
Имеют место отождествления 1~. '0ЕТ до =- (Л Р 1Е), Р 1г. тзЕТдтт ~а — -~ Ле» еТс~Г жее"о Р[ Р Р— где через [с обозначено голоморфное векторное расслоение ранга р над у „со слоем Нь(я — '(з), еь) над з, пучок голоморфных сечений которого отождествляется с 1(ня.еат, а .
Отождествление !~ вытекает нз того, что 1сья.сут канонически тривиально Р Детерианантние расслоения, рагуляразоааннь»а детерминанта 137 л!.-Б. Боот 136 и по двойственности СеРРа 1«!п.Г7т ж(Рп.вт (в )'. Отождествление 1з вытекает из обращения в нуль РПТк [гт и изомор-. физма Кодаиры — Спенсера. Изоморфизм Мамфорда (Ма) задает тогда, благодаря отождествлениям 1! и 1ь изоморфизм тр (Л Е) Расслоение Е наделяется естественной гладкой эрмитовой метрикой, определенной на каждом слое Е, =На(п-'(з), в) по формуле (1.3.5); она совпадает также с 1»-скалярным произведением,определяемым с помощью произвольной эрмитовой метрики на Т(ар[У р и дуальной метрики на вт [а . Эта эрмитова р' метрика на Е задает эрмитову метрику [[ [[ на Лр Е. Явным образом, в обозначениях разд. 1.3.4 ] в, (з) л ...
л в (з) ]з = с(е1 ((в, (з), в! (з))),, < — — бе1 1!и зг (з). Пусть [[ [[' — эрмитова метрика на (Л»Е) 'з — «тринадцатая степень» метрики ![ Следующая теорема утверждает, что мера Полякова имеет «алгебраическую» природу. Теорема 3.4. Мера Полякова рр на У совпадает, с тонностью до постоянного множителя, с мерой на У, определяемой метрикой на ва, полученной из метрики [[ ° [[' на (Л р Е)" р' при изоморфизме М. Эта теорема — следствие теоремы 3.3 и того обстоятельства, что выражение (1.6.9) для плотности Полякова в точке з на У „ можно записать в следующей форме (о ~ ва 1, — [0)): »ь0в! (з) л ...
л вр (з) [1 ]1! ((в! (з) л ° ° ° л вр (з)) ) (ос»] Х Х]1з '(а ')Ц [елд[. Связь числа 13 в теореме Римана — Роха — Гротендика, примененной к тривиальному расслоению и относительному касательному расслоению семейства кривых, с критической размерностью 26=2Х13, по-видимому, была сначала независимо подмечена Альваресом ([2]) и Маниным ([32)), а затем заново открыта и интерпретирована другими авторами ([7), [15), [13)). 3.6. Пусть йр — компактификация й р стабильными кривыми.
Интерпретация меры Полякова посредством изоморфизма Мамфорда позволяет описать ее поведение в окрестности дивизора на бесконечности Л = йр — .зТ . Рассмотрим, простоты ради, стабильную кривую С рода р с единственной двойной точкой и без нетривиальных автоморфизмов. Класс [С] кривой С в я — гладкая точка в кр; дивизор А в окрестности [С) гладкий, и [С) имеет такую окрестность Ф в,Хр, что отображение У р У р/Гр=.Хр является накрытием над «о и что существует универсальная стабильная кривая и: Х- Ф над «с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
