Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Аналогичный дифференциал можно рассмотреть, взяв вместо дифференх цнала морсовской функции произвольную замкнутую, но не точную 1-форму. Рассуждения Виггена дают и здесь оценку снизу для числа критических точек ([9*], см. также [7ь]). Соответствующие числа Бетти можно вычислять через скобки Масси [7*]. ДЕТЕРМИНАНТНЫЕ РАССЛОЕНИЯ, РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫ И МЕРЫ НА ПРОСТРАНСТВАХ МОДУЛЕЙ КОМПЛЕКСНЫХ КРИВЫХ Жан-Бенуа Бост ') Недавно, благодаря работам Квиллена ([44]) и Белавина— Книжника ([7], [8]) о детерминанте оператора д на римановой поверхности, была установлена замечательная связь между «теорией струн по Полякову» и алгебраической геометриейпространств модулей комплексных кривых.
Мы намереваемся описать ее в этом докладе. О.1. Струнные теории — это квантовые теории протяженных объектов, разрабатываемые в течение двух десятилетий. В отличие от квантовых теорий обычных полей оии описывают не точечные объекты, а «струны», т. е. объекты пространственно одномерные. Струнные модели были введены в начале семидесятых годов как феноменологические модели сильных взаимодействий между адронами (т.
е. ядерных сил на расстоянии -1Π—" см). К сожалению, эти модели лишь очень грубо воспроизводят действительность и обнаруживают признаки нефизичности, а именно,. их математическое построение известно только для размерностей 0 пространства — времени, отличных от 4: 1) = 25 для обычной (бозонной) модели, с) = 10 для моделей, обладающих фермионными степенями свободы.
Впоследствии струнные модели были предложены в качестве теорий элементарных частиц„ включая поля Янга — Миллса и гравитационное поле (в таком случае естественным масштабом этих моделей служит планковская длина -10-за см). В 1981 г. Поляков предложил переформулировку теории струн, доставляющую новое понимание критических размерностей 26 и 1О. Эта переформулировка выявляет новые степени свободы струны, учет которых делает возможным построение вероятностных струнных моделей в размерностях, строго меньших критических (например, 4).
Однако обычно применяемая ') Вою геап-Вепо!!. т1Ьгез де!еггп1пап1з, 661епп!пап!з геяп1аг!зез е1 тезигез зпг 1ез езрасез с ° пенс! з дез сспгЬез сопгр1ехез. — зебр!па!ге ВоигЬаЫ, 39 егпе аппее. 1986 — 87, и' 676, Аз!Ьг!зяпе !52 — 153, !987, р. !13 — 1!9.
~", Ы. ВоигЬаЫ, 5ос!е1е гпа!Ьегпа1тяпе де тгапсе, !987 Дете рминантные рассаоения, регугяриаоеанные детерминанты 103 в настоящее время процедура устранения лишних измерений состоит в «компактификации» В вЂ” 4 измерений в духе Калуцы — Клейна. В этой конструкции в игру вступают некоторые 3-мерные комплексные многообразия — так называемые многообразия Калаби — Яу. Кроме того, открытие в 1984 г. замечательных свойств (отсутствия «аномалий») некоторых суперсимметричных струнных моделей с калибровочными группами БО(32) и Е, Х Еа вызвало значительный всплеск интереса к этим теориям, которые должны привести, как считают некоторые, к единому описанию различных фундаментальных взаимодействий. Вместе с тем струнные теории порождают интересные проблемы статистической механики и могут быть связаны с хромо- динамикой в предельном случае «бесконечного числа цветов» (что отвечает калибровочной группе Бег'()У), А1- сп).
За дополнительными сведениями и историческим обзором по теории струн можно обратиться к сборникам статей [50] и [52], а также к [40]. Со «струной Полякова» можно ознакомиться, помимо оригинальных статей Полякова ( [42], [43] ), по работам [21] и [1]. Добавим, что струнные модели можно рассматривать как модели теории поля в размерности 2. В действительности описываемые далее математические средства применяются также и к квантованию таких полей (см.
[22], [3], [30]). 0.2. Следует подчеркнуть, что в настоящей работе затронут лишь весьма специальный раздел математики, имеющий отношение к теории струн. На самом деле она связана не только с алгебраической геометрией кривых, но также с теорией операторных алгебр, с «суперматематикой», с изучением бесконечно- мерных алгебр Ли н их представлений, с теорией модулярных форм, с целочисленными квадратичными формами и конечными группами, с геометрией комплексных многообразий размерностей 2 и 3....
Кроме того, теории струи и двумерных квантованных полей позволили обнаружить порой неожиданные связи между этими различными областямя (см., например, [5!], [32] и [22]). В частности, мы приводим только результаты, касающиеся бозонной струны, и не затрагиваем вопросов «супергеометрии», возникающих при распространении этих результатов на суперсимметрнчные струнные модели (см. [34] ). 0,3. В первой части работы в оправдание определения «меры Полякова» на пространстве модулей комплексных алгебраических кривых данного рода вкратце вводятся некоторые понятия теории струн «по Полякову». К этому определению приходят, Ж.-Б.
Боот Детерминантные расслоении, регоенривованнеге детерминанты 105 оперируя формально функциональными интегралами и мерами на бесконечномерных многообразиях, точный математический . смысл которых остается неясным (равд. 1.1 и 1.4).
Тем не менее ' «мере Полякова» удается придать строгий смысл; она выражается через «детерминанты» некоторых эллиптических дифференциальных операторов на компактных поверхностях, определяемые с помощью дзета-регуляризации. Вторая часть, независимая от первой, носит чисто математический характер. В ней описаны некоторые результаты из работ Квиллена, Бисмю и Фрида о детерминантиых расслоениях собственных гладких семейств голоморфных кривых, их метриках и кривизнах. В третьей части мы применяем эти результаты для отождествления меры Полякова с мерой, определяемой «чисто алгебраически» (теорема Белавина и Книжника,...).
Далее представлены некоторые свойства меры Полякова — следствия этого отождествления (явные формулы для малого рода, асимптотическое поведение в окрестности Мр —.бур). 1. МЕРА ПОЛЯКОВА НА,Мр [СМ. [11, [361 и [161) 1.1. Несколько слов о теории бозонных струн 1.1.1. Струна, пространственно одномерный объект, описывает в пространстве — времени поверхность, которая в каждой точке обладает касательным времени-подобным и касательным пространственно-подобным направлениями. Эта поверхность параметризуется переменными (о, т), определенными в полосе (О, 1);и' ,Р. Точки этой поверхности задаются своими координатами х(о, т)=х,(п, т) <, р, в 0-мерном пространстве — времени Минковского, т.
е. в Ро, снабженном симметричной билинейной формой и-~ ' У=-хо.Уо+ 2". х, Ус,. векторы х= — и х = — соответственно времени- и продх , дх дх да странственно-подобны. Динамика струны определяется с помощью действия Намбу — Гото, пропорционального площади этой поверхности в пространстве †време: оно — — — 2 ~ г(о с)т ~/(й.х')' — (х.х) (х'.х'). 2на' Это действие — естественное обобщение на одномерные объекты действия свободной частицы массы т, пропорционального: длине ее траектории в пространстве — времени: 5с= — пг ~ ~/-~..Ыт. 1.1.2. По построению действие 5но не зависит от выбора параметров (о, т). Эта инвариантность подобна калибровочной инвариантности в электродинамике, что играет решающую роль при квантовании теории.
Последнее может быть выполнено в гамильтоновом формализме посредством одной из следующих процедур: «фиксация калибровки»: накладываются связи, выделяющие независимые динамические переменные, в которых гамильтоново квантование уже не вызывает затруднений (квантование в ортогональной калибровке светового конуса); квантование «по Гупта — Блелеру»: вводится пространствомо квантовых состояний, отвечающее полному пространству классических фаз, норма на котором еще не является положительно определенной.
Пространство физических состояний — это подпространство в во, высекаемое ядрами «связей», рассматриваемых как квантовые операторы. Эти операторы порождают представление бесконечномерной алгебры Ли — алгебры Вирасоро. Лоренцева ковариантность при первом подходе и устранение физических состояний с отрицательной нормой при втором вынуждают ввести в квантовую теорию бозонных струн нефизические характеристики; размерность 0=26 и тахионное (т.
е. с мнимой массой) основное состояние. 1.1.3. Опишем теперь квантование «по Полякову» бозонной струны. Оно выполняется в евклидовом пространстве — времени и использует функциональные интегралы, введенные Фейн- маном. Евклидова версия действия Намбу — Гото — это функционал на пространстве (достаточно регулярных) отображений х поверхности М в Р-мерное евклидово пространство (т. е.
в Ро, снабженное обычным скалярным произведением'«'»): Яно(х) = 1, 1 1[А„; здесь ЫА обозначает элемент площади на 111, индуцированный отображением х из М в Ро, т. е. меру на М, записываемую в локальной системе координат (хь хе) как с(А, = [[[ д1х [[г [[ двх [[е — (д1х.два)т) пе г1х1 Ыхз. Поляков исходит из следующего наблюдения, принадлежащего Бринку — Ди Веччиа — Хову и Дезеру — Зумино. Детеряинангные расслоения, рееуляриеованные детерминанты 107 Ж.-Б. Бост 100 Если х — достаточно регулярное отображение из М в Р" и д — риманова метрика на М, положим где Ч, 'з' ~~ и дА обозначают градиент, норму и элемент площади, связанные с метрикой д.
С точностью до множителя 1/2па' 5(я, х) — не что иное, как энергия отображения х риманова многообразия (М, я) в евклидово пространство Ро. Можно проверить, что функционал дейвтвия 5(я, х) «классически эквивалентен» действию Намбу — Тото 5но(х): если дифференциал 5(я,х) по д равен нулю, то 5(д,х)=5но(х). Действие 5(д, х) обладает тремя типами симметрии: 1) Инвариантность при движениях в евклидовом пространстве — времени. Если Т принадлежит группеРоХ О (О) — полу- прямому произведению групп вращений и трансляций в Ро, то 5(д, х) =5(д, Тх). ВдВхв-в <е. к1 В этом «наивном» выражении областью интегрирования служит произведение пространства айаг всех метрик я на М и пространства Ю отображений М в (чо, а ЯдЖх обозначает меру на этом произведении.
С этого места мы предполагаем, что М вЂ” компактная связная ориеитируемая поверхность рода р. Функциональный интеграл (1.1.2) представляет тогда вклад порядка р в статистическую сумму струны Полякова. Он описывает взаимодействие «вакуум — вакуум», обусловленное рождением и уничтожением замкнутых струн. Кроме того, мы полагаем 1/2па'=1. В действительности, поскольку 5 инвариантно относительно симметрий 2) и 3), а классические степени свободы струны оли- 2) Инвариангяость к репараметризациям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
