Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Зти карты задают, таким образом, структуру голоморфной кривой на М. Другими словами, всякая почти-комплексная структура в комплексной размерности 1 интегрируема. Обратно, простое рассуждение (разбиение единицы...) доказывает, что всякая комплексная структура на М, совместимая с ее ориентацией и С -структурой, порождает указанным способом С"-риманову метрику на М.
Более того, две такие мет- ') То есть собственный гладкий морфием в смысле аналитической геоМетрии. Детерминантные росслоени)ь регулнривованные детерминанты 113 рики д и д' задаются одной и той же комплексной структурой, если и только если д'=ему для некоторой гр ~ С (М, Р). Следовательно, множество комплексных структур на М, совместимых с ее ориентацией и гладкостью, отождествляется с пространством орбит лйе1/)т'. Как только М снабжено такой комплексной структурой, можно определить Ев-скалярное произведение на С (М, а)м) (соответственно С (М, атм)) формулами )1.З.г) ),и )= — '1 ъы, ( * Если д — риманова метрика на М, совместимая с этой комплексной структурой, а у, ~).~~ и йА означают градиент, норму и элемент площади, ассоциированные с в, то для каждой /~С (М, )') где д означает компоненту типа (1, О) оператора й, Это равен- ство устанавливает, в частности, инвариантность Вейля для дей- ствия Полякова.
1.3.3. В этом разделе считаем р » 1. Назовем поверхностью Тайхмюллера рода р связную компактную риманову поверхность Х рода р, снабженную сохраняющим ориентацию диффеоморфизмом )р: М-.~Х, заданным с точностью до гомотопии. Множество классов изоморфизма поверхностей Тайхмюллера отождествляется с факторпространством,Ме1/М' >й 1И1а и может быть снабжено естественной структурой С-аналитического многообразия; это — пространство Тайхмюллера У . Оно изоморфно стягиваемой ограниченной области голоморфности в Сав-в. Действие О)И+ на А'е1 при переходе к фактору задает действие модулярной группы Тайхмюллера Г:= ОЛ+/011(о на 9,. Кроме того, это действие голоморфно и собственно (Г, снабжается дискретной топологией). Факторпространство У"р/Гр отождествляется с Жег/м' лс) М И11т — множеством классов изоморфизма связных компактных римановых поверхностей рода р; это — пространство модулей связных компактных римановых поверхностей рода р, обозначаемое лТ,.
Как фактор У по собственному действию Гр это Ж.-Б. Борт Детерминанта»(е расслоение, Регулариеоеанные детерминанты 115 нормальное С-аналитическое пространство; на самом деле оно комплексное квазипроективное многообразие. Можно построить универсальную кривую Тайхиюллера, т. е.' голоморфное семейство компактных римаиовых поверхностей Жр У р и такой диффеоморфизм Ф: Бг Х М- Жр, что: () следующая диаграмма коммутативна: Ю Ф Р Р (отсюда следует, что для каждого зев У р и — '(а) — компактная риманова поверхность рода р); Л) для каждого з ан У р поверхность и-'(а), снабженная диффеоморфизмом Ф(з, ); М-»н-)(з), есть поверхность Тайхмюллера из класса изоморфизма з. Группа Гр действует на )1(р„превращая и в Гр-эквивариантное отображение. Выпишем точную последовательность голоморфных векторных расслоений 0»7 (%'р ) У р) с ТЬ'р и'ТУ'р — »О. Взятием прямого образа относительно н эта точная последовательность индуцирует морфизм пучков Нбн,п'ТУ"р — » Н(н.Т (Жр! У р).
Пучок Нбн,и*ТУ р отождествляется с пучком сечений ТУ „ а пучок Гс(п,Т((йр ~У,) локально свободен с когомологиями Н((н '(з), Тн '(з)) в качестве слоя над з. Определяемое таким образом отобра)кение Кодаиры— Спенсера (1.3.7) КЯ: ТУ Н(н.Т(()г )У ), (1.3.8) КЯ,: ТеУ р †) Н ' (н ' (3), Тн '(а)) — изоморфизм. Применяя дуализацию и двойственность Серра, получаем изоморфизм (1.3.9) КЯ' Т'У вЂ” Но(а-( (3) а)ет). 1.3.4. В этой третьей части мы перечислим следующие результаты. Пусть (а(, ..., а„, Ь(, ..., Ьр) — канонический базис в Н,(М; х,), т. е. базис, в котором форма пересечений ( ., ) имеет вид (а,, а()=0; (Ь„Ь()=0; (а„Ь)=б( С помощью этого базиса можно отождествить Н((М; У) с л,»р.
Действие ИЛ+ на Н((М; л,) тривиально при ограничении на ОЛ1б и задает морфизм групп Гр-»Яр(2р; л,). Поскольку Яр(2р; л,) действует на полуплоскости Зигеля УУ (т. е. на множестве симметричных комплексных р Х р-матриц с положительно определенной мнимой частью), мы получаем действие Г, иа авр.
Для всякого з Ф(з, ) переводит базис (а„...,а,, Ь,,.,Ь,) в канонический базис (а,(з),"..., 'а (з), Ь((з), ..., Ьр(з)) в Н, (н '(з); Е). Существует единственный базис (о)((з),..., о),(з)) в Не(н ')(з), в„- )), такой, что ~ о) (з) =б,, Отображение е((е) з (а)((з), ..., о)р(з)) — это голоморфный репер в векторном расслоении )сон,(ас ~ а . Зададим голоморфное отображение ьс) У вЂ” авр, называемое отображением периодов, полагая 11=(Ы» ()(с» (~р, И»,((з)= ~ (о((з). б),(е) Отображение периодов эквивариантно по отношению к действию Г, на'У р и на Уйр. Кроме того, имеют место билинейные соотношения Римана (1.3.10) -' ~ а» (з) л о)((з) = 1т 'бс»( (г).
и (е) Наконец, изоморфизм КЯ,' переводит ((И„(з) в (а((з) (3) (а((з). 1.3.5. Случай р =1. Слегка злоупотребляя обозначениями, по лагаем У, = (т ан С !1(п т ) О); Г( — — РЯТ. (2; У), действует на У ( дробно-линейно. Пространство У ( отождествляется с фактором Мес/рУ' рс) 'б)лЛ(„где О(Л) — группа диффеоморфизмов поверхности М, индуцирующих ~10 на н((М) (1)Л1( содержит О1Ла как подгруппу индекса 2), а Г( отождествляется с ИН»/(лЛ1(. Ж.-Б.
Боот Детерминантные расслоении, регуанривованные детериинанты 117 116 Факторпространство У 1/Гт отождествляется с пространством модулей .4(т1 связных компактных римаиовых поверхностей, рода 1 (эллиптических кривых). Введем над У 1 «универсаль-. ную эллиптическую кривую» : С, = (У, Х С)/- У ь ((т, г)) т, где — отождествляет (т, г) с (т, г+ т+ пт), (т, п)~ уз. Отображение Кодаиры — Спенсера, отвечающее тсь — изомор- физм; соответствующий изоморфизм К5;: Т'„У,— +Нв (тс ' (т), со')= =Но(С/Х+те„со') переводит с(т в Ыги'. Далее мы полагаем Р!11 =Р(Ло, если р ~ 1, РД! = Р1Нь если р = 1.
1.3.6. 'В этом разделе мы укажем связь между двумя описа- ниями касательного пространства к пространству Тайхмюллера, полученными из изоморфизма Кодаиры — Спенсера, с одной стороны, и путем отождествления этого пространства с .4уе1/)у')< Р!Л вЂ” с другой, Пусть задана С -риманова метрика д на М. Эта метрика задает голоморфную структуру на М (см.
1.3.2). Построенную таким образом голоморфную кривую обозначим через Х. Тож- дественное отображение М- Х задает поверхность Тайхмюл- лера рода р; обозначим через з ее класс в ~ . Пусть Не — векторное подрасслоение в 5ет'М (расслоение квадратичных форм на Тя/у/), слой которого над хя М вЂ” про- странство квадратичных форм со следом нуль относительно дх.
Это подрасслоение зависит только от комплексной структуры, как и подрасслоение Се в 5аТ'М„порожденное всюду ненулевым сечением д. Кроме того, 1.3.1 1) 52тяМ = Си Е Ни, Имеют место следующие изоморфизмы вещественных векторных расслоений над М (г=х+ !у обозначает локальную голоморфную координату; а =а+ !р~ С): Не: тХ тМ, ое(а д )= — '(а — „+~ — ); 1(е: й' — »Н, Йе(ас(ги) =а(с(х ® дх — с(у 1з! г(у)+ + б (с(х 9 г(у + с1у Э г(х).
' Метрика у на ТяМ при изоморфизме Ке: ТсХ ТиМ переходит в эрмитову метрику иа ТХ и задает, таким образом, изо- морфизм ТсХ Т'Х=й, а после тензорного умножения — изоморфизм комплексных линейных расслоений Н ТсХ®й йе. Более явно, если г=х+ !у — локальная координата, так что д имеет вид (1.3.4), то /(а — 8 г(г) = — ечас(г . д х 1 дг ) 4 Обозначим через р проекцию на второе слагаемое в разло- жении в прямую сумму С (М, 5иТ М)=С (М, С )9(м, Н ), вытекающем из (1.3,11). Далее, положим : с (м,т м) с (М,5т'„м), р(Сху), где Ь означает производную Ли.
Мы пишем в дальнейшем ТХ вместо ТсХ. Очень простое локальное вычисление показывает, что следующая диаграмма коммутативна: С (М, ТХ) С" (М, ТХ ® й) чае ~4иеог С (М, Там) и С (М, Л) Пространство ете1 является многообразием Фреше — на самом деле это, область в С (М, 5'Т'„М) — и каноническое отображение П: зуег — » нйе1/)т'-",«1 РУД У р дифференцируемо в надлежащем смысле.... Касательное пространство те.еуег к л(те1 в у отождествляется с С (М, 5гТ'М). Касательное отображение Т П переводит С (М, Се) в нуль. Кроме того, коммутативна следующая диаграмма: С (Х, ТХ®й) — Н'(Х, ТХ) )еяест ~кз Т ЯеГ ~ С (М, Н) ™и Т,У где морфизм в верхней строке — композиция канонического отображения С (Х, ТХЗй) на С (Х, ТХ 9 й)/дС (Х, ТХ) с изоморфизмом Дольбо. Детерминантные расслоения, регуляривованные детерминанты !2! Ж.-Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
