Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Область определения О1 — пространство Н1(ЛМ) таких форм ф виет. (М), что потоки дф и Ы'ф также принадлежат .Мы(М). На этом множестве (р) Я (Ф) = ) (! дф !'+ ! д ч' ('+ 1'! дй [1 ! ф 1+1(ОФ, ф)) м Для каждой критической точки р выберем окрестность р'р, определенную в обозначениях равд. 2.2 условием [х;! ( а, где константу а ) О мы можем выбрать сколь угодно малой; предположим, в частности, что )Р не пересекаются.
Положим 1'а М ~ 0 )р. е План действий заключается в разбиении интеграла (в) по М в сумму интегралов по Уо и 1тр и в вычислении этих интегралов. Точнее, с этого момента мы зафиксируем целое г ) О и ограничимся изучением Я1 на,зФтр(М). Соответствующий интеграл по р' = Ув или У= )тр определяет квадратичную форму Щ р на .Фс (т') с областью определения Н1(/',')1). Мы докажем, что если У= Уь или 1'= Ур, причем индекс р не равен г, то первое характеристическое значение Яь р при больших 1 превосходит уГ при некотором у ) О, а при У= К„где индекс р есть г, таким свойством обладает второе характеристическое значение. Отсюда выводится, что (т, + 1)-е характеристическое значение Я на ФЬ(М) удовлетворяет тому же условию, что завершит второй шаг.
4.7. Рассуждения из равд. 4.2 доказывают требуемый результат для Я1,р,. Пусть р — критическая точка индекса 1. Для изучения Я1,р в .Фы(1Р ) мы вернемся к евклидову случаю (см. в р разд. 4.10 указания для общего случая) и обозначениям разд. 2.2. пусть феи н1(г, Ур); можно записать 19 в виде ф =,!'„1, (х) дхь где сумма распространяется на подмножества 1~ (1...,, и) мощности т, а х1 обозначает х1, л ... Ах1, при 1=(11, ..., 1„), 1, < 1в - ... (1,. Теперь интеграл Я1,1 (ф) выражается как р сумма (по 1) интегралов У ~.' р, ! т[!" [-~(ррл — рр9~1,~)а*, ... ы „, У 1-1 р где з~= — 1, если 1ы1, и в[=+ 1, если 14й1.
4.8. Изучим сначала случай размерности 1. Обозначим через 1„ интервал ) — а, а [ с: Р; рассмотрим в 1.в(1 ) квадратичную форму +а Кр(Р)= 1 ([ГР+(р"- )[тдх -а с областью определения Н'(1 ). Обозначим через 111(Г) и 11в(1) первое и второе характеристические значения Кь Лемма Существуют такие постоянные р, о ) О, что ц (1)~ — р, Мэ(1)) а1 для достаточно большого й Доказательство.
Докажем сначала второе неравенство. Для 1еи1з(1в) положим 011(Х)=1 '7(Х/~/7); при этом получается изометрический нзоморфиэм 1Р(1,) на 1в(1, у-;). Пусть |=Щ; теперь К10=1 $ ([а''Г+(Х' — 1)[а)') И. -а 1ГГ Положим й= 11л~2. Тогда (2) ~ ( ! у' [в + (Х' — 1) ! у [в) дХ ) В<>Х~ ~о~ГТ ж' — 1) $ [у!'дХ; 6<!Х1~а ЧТ Нераеенстеа Морса 95 Г. Ааьар с другой стороны, (8) ~ ([й" ['+(»' — 1)[д[') дК) ~ ([й'[' — [й[') с(д. !»»<а !х! ча +з Однако квадратичная форма д ~ ~ [д'['п»Х связана с задачей -з Неймана на Уа. Известно, что первое собственное значение соответствующего оператора нулевое (собственный вектор — постоянная функция), а второе есть пз/45е.
Поэтому, если д ортогональна константам на Гю то (4) ~ (] й' [е — [ д [') с(х > [-45з- — 1 ] ~ ] д [э»зх. -а -э Из (2), (3), (4) выводится неравенство -;- а (5) К,(Г))г(6' — 1) ~ [1»'»Г['с(х — а для функции Г с 1»»Г, ортогональной константам, и, следовательно, И (Г))ГФ вЂ” 1). Оценка снизу для 1»»(Г) теперь вытекает из неравенства Темпла [21, т. 4, с. 84], примененного, например, к функции вида »рл (х) е-»в*)'при подходящем В.
4.9. Вернемся к изучению интегралов г». Самосопряженнык оператор, связанный с определенной г» квадратичной формой на Те(1» ), совпадает с замыканием существенно самосопряженного оператора в ',Г 1 Э ... Э(Э1),, Э[Э ... Э1, » - » члеввв где 1)», » действует только по переменной х; и непосредственн»г связан с квадратичной формой К» из разд. 4.8. Применим теперь результаты из разд. 4.8.
Возможно два случая: а) или существует целое й такое, что а',.Л» (О, что происходит в точности когда индекс р не равен г или индекс р равен г, но ГФ (1, ..., г). Тогда использование первого неравенства леммы из разд. 4.8 дает (6) р»>(о'г — р') ~ []»Г~х! (х., с постоянными р' и и') О. Ь) или же всегда вг»)»,» ) О, т. е. р имеет индекс», а Т = =(1, ..., г); неравенство (6) справедливо, если ]» ортогонально одномерному подпространству в с.е( е'„). Случаи а) и Ь) дают требуемую информацию о характеристических значениях !»», у .
л' 4.10. Замечания 1. Точно так же можно поступать и в неевклидовом случае; при этом при вычислении чс»,е (»р) в разд. 4.7 нужно учитывать е дополнительные члены, возникающие из-за неплоскости метрики в окрестности р. Однако эти члены не вызывают проблем, так как они суть о(1). 2. В [18] можно найти подход, непосредственно дающий в евклидовом случае неравенство 5» ( т». В [25] доказано, что асимптотические разложения и-х собственных значений 6 и Я Л» (где Л» — оператор на А,(К")) совпадают в первом порядке. Оба этих подхода ближе нашего к методу Виттена. Промежуточный между [18] и [25] подход с использованием оператора»»»+»(; был сообщен мне Буте де Монвелем.
5. ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ э,!. Обобщенные неравенства Морса [22, !1]. Рассмотрим компактное дифференцируемое многообразие М и функцию й на М классз С, но не будем больше предполагать, что и — функция Морса, а только что критические точки й образуют подмногообразие М в М (не обязательно связное), которое невырожденно в том смысле, что в каждой точке из М ранг матрицы гессиана й совпадает с рангом нормального расслоения к М.
В этом случае получаются неравенства, связывающие 5» ст»=61гп Н»(М, 6), где 6 — расслоение ориентаций отрицательной части нормального расслоения к М. Интерпретируется это посредством возмущения с( с помощью е-'", как и в разд. 1.6. Показывается, что для больших 1 малые собственные значения 6» соответстгуют собственным векторам, концентрирующимся в окрестности подмногообразия М, поэтому они связаны со спектром лапласиана М. Г, Аноар 96 О4 = 4(+ 41', От 4(ее с() Н =42. 4 нечетно 4 четно Тогда (] =ве~у441 +е ' (441' х Х 7 вурбенн 5.2.
Векторные поля [22, !!1]. Пусть М вЂ” дифференцируемое многообразие, а Х вЂ” векторное поле на М. Обозначим через с(Х), внутреннее умножение на Х, а через Ы» †дифференцирован. Ли на комплексе лФ(М) дифференциальных форм на М. Положим 41»=41+с(Х); имеем 4(~~=Я Снабдим векторное подпространство ун~х(М)~.96(М), состоящее из форм, аннулируемых Ы», дифференциалом 4(х. Обозначим через Нх(М) когомологии полученного комплекса. При з чь0 когомологии Нх(М) и Н,»(М) изоморфны.
Предположим, что М компактно, снабдим его римановой структурой наведем .0 =аех+ 41' Н» Гун.. Изучая спектр Н.» при з-е оо методами, похожими на изложенные здесь (иа этот раз «потенциал» вЂ” это з'[Х]', и собственные векторы концентрируются около нулей Х), Виттен выразил эйлерову характеристику М [равную х ( — 1) 61пуН х(М) прн 4 1 произвольном з через целые числа, приписанные связнымкомпонентам многообразия нулей поля Х. В случае когда нули Х изолированы, получается классическая теорема Хопфа. 5.3.
Векторные поля: риманов случай 122, Ш]. Предположим теперь, что Х порождает группу изометрий римановой структуры на М. В этом случае Х называют векторным полем Киллинга. Тогда Нх = 41 4(' + 4('47 . Обозначим через Ж множество нулей Х, через Ь+- сумму чисел Бетти множества Ф с четными номерами, а через Ьв с нечетными. Положим также Ь,+= 2: 61щН»(М), Ьх= Е 61тН»(М). Теперь предположим еще, что М четномерно и ориентируемо.
Тогда при действии оператора» комплекс де Рама разбивается на четную и нечетную части Ф4-(М) и,зФ вЂ” (М). Эрмитов опе- ратор нечетен. Его можно записать как Яхх+ Я», где Охх отображает Ф+ (М) в л5 (М), а О» отображает уФ (М) в яе~ (М). Индекс Ях» не зависит от з и равен сигнатуре М.
Кроме того, Ятх= Нх+ +2Ы' . При этом получается теорема о неподвижных точках Неравенства Морса 97 ([2, 11, $6] или [6, 1П 9 6]), в которой сигнатура М выражается через У. 5.4. Несколько замечаний. 1. Ясно, что утверждения равд.
5.1 — 5.3 допускают доказательства, аналогичные приведенным в 9 4. Автор настоящего доклада таких доказательств не писал. 2. Виттен указывал, что намеченные им доказательства этих результатов — варианты доказательств, основанных на теореме об индексе [5], [6]. Интересно было бы сравнить его метод с методом из [3] (в частности, см. комментарий к [1]). 3. В [9], [10] рассматривается случай действия компактной группы Лн Т на компактном дифференцируемом многообразии М.
Обозначим через Х* векторное поле, полученное из действия на М элемента Х алгебры Ли. Теперь Н 2н,х. (М) рассматривается как эквивариантное кольцо когомологий Х. Конструируются эквивариаитные характеристические классы, что приводит к теореме о неподвижных точках и к теореме об индексе (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
