Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 19
Текст из файла (страница 19)
[11]). 5.5. Суперснмметрия [22, 9 1, 9 1У], [24]. В контексте неравенств Морса положим Тогда (1) (~]=(],= Н ° а,О, +()Д =0. В контексте равд. 5.3 положим О4 =О», Я вЂ” в-ен/4ае + вен/44(е » Х Н =Нх, Р =24.ах. Тогда ©'=Н+ Р. (11) От=н — Р ОА2+ОД,=0. В каждом нз этих двух случаев имеется гильбертово пространство Ж, разложенное в прямую сумму четной и нечетной частей Я~ и снабженное эрмитовыми операторами симметрии Оо 922 Я~ — М» и оператором гамильтониана Н. Крайне упрощая, можно сказать, что суперсимметричная квантовая механика— Г. Аньар это изучение ситуаций 1 и П (то, что операторов симметрии два — Я! и Ях, отвечает миру с одномерными пространством и временем.
Ситуация 1 отвечает нерелятивистской механике, П вЂ”. релятивистской), Важный вопрос в задачах нарушенной симметрии — имеются ли векторы Ь ~ вэ, удовлетворяющие Ягй = ЯхЬ = О. Если да, то в теории существуют бозоны и фермионы равных масс. Если нет, то симметрия «спонтанно нарушена». Существование таких векторов можно проверять, изучая индекс Н=(!йэ!+(йхх)/2.
Модели, интересующие Виттена, аналогичны пространствам вва (М), но рнманово многообразие М бесконечномерно — обычно это пространство петель риманова многообразия В (на этот раз конечномерного). После экстраполяции своих методов на бесконечномерный случай Виттен пришел к выводу, что в определенных суперсимметричных моделях не происходит спонтанного нарушения симметрии. 5.6. Голоморфные неравенства Морса 123]. Если Х вЂ” голоморфное векторное поле на компактном комплексном многообразии М, то полученная Атьей и Боттом голоморфная формула Лефшеца выражает числа Черна М через нули Х [2]. Если М вЂ” кэлерово многообразие, поле Х порождает действие окружности В! на М, причем Х имеет нуль на М, то формула Лефшеца обобщена Виттеиом до системы неравенств, аналогичных неравенствам Морса.
5.7. Неравенства Морса для слоений 114]. К этому результату, полученному Конном, неприменимы классические методы, но применим открытый Внттеном аналитический подход. Пусть М вЂ” компактное многообразие со слоеиием и инварнантной при голономии трансверсальной мерой А. Выбрав рима- нову метрику вдоль слоев, получим поле гильбертовых пространств, образованное гармоническими Ь-формами с интегрируемым квадратом. Можно доказать, что существует такая измеримая трансверсаль Т к слоям с конечной трансверсальной мерой, что поле 7.х(Т [) г) (где г' — слой М) измеримо изоморфно полю гармонических Ьформ.
Трансверсальная мера Т не зависит от выбора нн Т, ни римановой метрики. Это вещественное положительное число называется Ь-м числом Бетти слоення н обозначается Ь». Пусть Ь вЂ” функция класса С на М, Ь: М-ь]с. Наша цель— получить теорию Морса вдоль слоев. Для общего Ь критические точки вдоль слоев образуют замкнутое подмногообразие, которое, вообще говоря, не трансверсально слоям. Поэтому невозможно избежать появления вырожденных критических точек. Неравенства Морса Однако на каждой связной компоненте множества трансверсальности этого многообразия индекс постоянен. Сгруппировав связные компоненты с фиксированным индексом Ь и вычислив их трансверсальную меру, получим Ь-е число Морса слоения — вещественное положительное число.
В [14] показано (по крайней мере в коразмерностн (6) существование такого полинома (;)(!) с вещественными положительными коэффициентами, что Хлгг! =ЕЬ!!'+ (1+ !) О(!). ЛИТЕРАТУРА !. АпуаЬ М. Р, С1гси!аг Зупппе1гу апй 5(а(!ипату — РЬазе Арргох!ша1!оп, Соп1егепсе еп ГЬоппеиг йе Ь. Зспгчаг1х, Есо1е Ро!у1есЬпщие, ша! 1983. 2. АпуаЬ М.
Р., Во11 й. А (.еыспе!х Пхей ро1п1 1огпш!а !ог еП)р1!с сошр!ехез, 1: Апп. Ма(Ь., 86 (1967), 374 — 407; П Апп. Ма(Ь., 88 (1968), 451— 491. 3. АпуаЬ М. Е, Во(1 к., Ра1ой( У. К. Оп 1Ье Ьеа( еяиа1Ып апй 1Ье !пйех (Ьеогеш, 1пчеп1. Ма1Ь., 19 (1973), 279 — 330. [Имеется перевод: Атья М., Битт Р., Патоки В. К. Уравнение теплопроводности и теорема об индексе. — Математика, 1973, т.
17, вып. 5, с. 3 — 56.] 4. Апуаь М. Р, Н(гхеЪгисЬ Р. Зр!и шаппоЫз апй бтоир аснопз., 1п: Еззауз оп 1оро)ояу апй ге!а1ей 1ормэ, Ей. А. Наей!пег, й. ХагазЬ!шап, брг1пКег-Уег!ак, !970. 5. АпуаЬ М. Р., бека! О. В. !пйех о! е1нр11с орега1огэ. П. Апп. Ма(Ь., 87 (1968); 53! — 541. [Имеется перевод: Атья М., Сигал дж. Б Индекс эллиптических операторов.
— УМН, 1968, т. 23, вып. 6, с. 135 — 149.1 б. АнуаЬ М. Е, 5)паег !. М. 1пйех о! е!!!р1!с орега1огз 1. Апп. Ма!Ь., 87 (!968), 484 — 530. [Имеется перевод: Атьн М., Зингер И. М. Индекс эллиптических операторов 1.— УМН, !968, т. 23, вып, 5, с. 99 — !42.] 111: Апп. Ма(Ь., 87 (!968), р. 546 — 604. [Имеется пареной: Атьи М., Зингер И М. Индекс элличтических операторов 111.— УМН, !969, т.
24, вып. 1, с. !27 — 132.] 7. Ванна Т., Вепйег С., %и Т. Т. Соир!ей АпЬаппошс Оэсша1огз 1 апй П, РЬуз. Печ,. !)8 (!973), 3346 — 3365, 3366 — 3378. 8. Вегкег М., Оаийиспой Р., Махе( Е. Ье зрес1ге й'ипе чаг!е1е г1ешапп(еппе. 1.ес1иге Хо(еэ !п Ма1Ь., Зрг(пяег, 194, 197!. 9. Вегппе Х., Уегкпе М. 24гоз й'ип спашр йе чес1еигз е( с!аззез сагас1епз1щиез еяшчапап1ез, Вике Мапь Л, 50 (1983), 539 — 549. 1О.
Вег!Ые Х., Уегппе М. С!аззез сагас1егЫщиез еяи!чаг!ап1ез. Роппи1е йе !осапэаноп еп сопошо!оя!е еяи!чапап1е. С. П. Ас. 5с!. Раг!з, 295, !5 поч. (1983), 539 †5. 11. Во11 К. Уес1ог ПеЫз апг( спагас1епзпс пшпЬегз, М!сЬ. Ма1Ь. Л, 14 (1967), 23 ! — 244. 12. Во11 П. 1.ес1игез оп Могзе гнеогу, оЫ апй пег«. ВиП, Ашег. Ма1Ь. Зос., 7 (2), Яер1ешЬег !982, 33! — 358.
!3. Воп П. Мага(оп Мотне апй Ь!з гпащешанса! чгогхз, 1п: Зе1ес1ей рарегз о! Мага(оп Могзе, Ей. й. Воп, Ярг!ппег-Нег!ая, 198!. 14. Соппез А. !пепа!11ез йе Могзе роиг 1ез !еип!е1аКез. Еп ргерага1юп. 15, КнпкепЬегк %. 1.ес1игез оп с!овей кеойезмз. Огипй1еЬгеп йег Мать. %!зз., Зрг!пяег-Ъег!ап, 1978. [Имеется перевод: Клингенберг В. Лекпни о замкнутых геодезических.
— М., Мир: 1982З 16. %. Кпппепьегк. ТЬе Могзе соп1р1ех, !п: Зугпроз!а й! АИа Ма1ешапса ХХУ1, Воша, 1982, р. 117 — 122. Неравенства Морса 101 Г. Анвар 100 17. 1,ашпоп О. ТЬйоНе бе Могзе й !а ТЧИ1еп еп сагас1ЕНзПйие р. Но1ез пшполсгПез де 1'аи1еиг, )шп 1983. 18. Ме!газе Е. ЕП(р1!с орега1огз оп шап!!о!бз, Ыо1еэ б'ип соигз аи М. !.Т, 1983. 19. МПпог Х 1.ес1игез оп 1Ье Ь-соЬоггПзш йеогепт, Рггпсе1оп (!шчегз!17 Ргезз, Рппсе1оп, 1966. [Имеется перевод: Милиор Дж. Теорема об й-кобордизме.— М., Мир: 1969.] 20. МПпог 3. Могзе 1Ьеогу. Аппа1з о1 Ма1Ь. 5(иб!ез 5!, РНпсе1оп ЛпйегзПу Ргеш, РНпсе1оп, 1963.
[Имеется перевод: Милнор Дж. Теория Морса.— М., Мир: 1965.) 21. Еееб М., Випоп В. Мейобз о1 шобегп шайешаПса! РЬуз!сз, Ч. 1 — 4. Асабеш!с Ргеш, Нетч Уогй, 1978. [Имеется перевод: Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. В 4 т.т.— М., Мир: 1972— 1982.] 22. Ту!1!ел Е. Вирегзупппе1гу апб Могзе йеогу. Х о1 Т)!Иеген!!а! Оеоше1гу, 17 (1982), 66! — 692. 23.
ТЧ!1(еп Е. Но!ошогрЫс Могзе 1пейиа1№ез, РгерНп1, Рг!псе1оп, Лп!ч., 1983. 24. ТЧЛ(еп Е. Регпиоп анап(иш НишЬегз !и Кахи!а — К!е!п йеогу. Еп ргерагаПоп. 25. гЛшоп В. Беш1-с!азз!са! апа1узй о1 !отч !у!пй е!Еепча!исз 1. Апп. 1.Н. Р., 38, Но. 3, (1983), 295 — 308. 26. Бипоп В. 1пз1ап1опз, боиЫе-меПз апб !агЕе беч!а1!опз, ВиП. Ашег. Ма1Ь.
Бес., 8, по. 3 (1983). 323 — 326. 27. Не!Лег В., 516Ыгапб Л Мийр!е тче!Ы Ы йе зепи-с(азз(са! !ипП 1, РгйриЬПсаПоп ()п!ч. РаНз-Вид 83 Т25. 1983. 28. Ногшапбег Б. Оп йе 1пбех о! Рзеибоб!Иеген((а! Орега1огз. Т!!Иеген(!а(- Е!е!сЬипйеп, !О Вй ! (1970), 127 — !46. 29. Казрагоч О. О. К-(Ьеогу, Егоир С*-а!ЕеЬгаз апб НнХЬег ЫЕпа1игез (сопзрес1из), рагг 1. РгерНп1 о1 йе !пзййе о! СЬеппса! РЬущсз, йе Асабешу о1 Вс!епсез о! йе ()55Е.
СЬегпоВо!очйа, 198!. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА И КОММЕНТАРИИ (составитель А. В. Пажитиов) 1". %!11еп Е, Но!ошогрЫс Могзе !пециаШ!ез. А!ЕеЬгай апд О!ЛегепПа! Торо!ойу — ШоЬа! ПШегеп1!а! Оеоше1гу, еб. Й. М. Еаза!аз ТеиЬпег-Тех1е хит Майеша1й Вб 70 ТеиЬпег, (.е!рх!Е, !984. 2". Решайу Х-Р. СЬашрз шайпе1!Чие е1 1пейа!Пез бе Могзе роиг!а г("-соЬошо!оЕ!е, Апп, 1пз1. РоиНег, ОгепоЫе, 35, № 4 (1985), !89 — 229. 3*.
НеШег В., 5]оа1гапб Х РиПз пш!Пр!ез еп шйсап(чие зепт(-с1азийие. 1Ч Е1ибе би сотар!ех де Ъ!1(еп. Сонин. !п раг1!а! бЛТ, еош1(опз. 10, Но 3 (1985), 245 — 340. 4'. Р!оег А. Чг!1(еп'з солар!ех апд !пЛп11е дипепз(опа! Могзе йеогу, Эоиг. О!Л. Оеош., 30 (1989), 207 — 221. 5*. В!зпш1 3. М.
ТЬе ТЧ(11еп сошр1ех апб йе беЕепега1е Мотне !пеоиа51!ез, Зонг. ОШ. Оеош. 23, № 3 (1986), 207 — 240. 6'. Вйпш1 Х-М, ОешюПУ'з азушр!оБс Могзе !пеоиаППез: а Ьеа( еоиа(!оп ргоо1, 1)о1г. Рипа!. Апа!., 72, № 2 (1987), 263 — 278. 7*, Новиков С. П Блохонские гомологни. Критические точки функпий и замкнутые 1-формы.— ДАН СССР, 1987, т.
287, № 6, с. !32! — !324. В*. Новиков С, П .Шубин М. А. Неравенства типа Морса н неймаиовские П,-факторы. — ДАН СССР, 1986, т. 289, № 2, 289 — 292. 9*. Пажитяов А, В. Аналитическое доказательство вещественной части неравенств Новикова. — ДАН СССР, 1987, т, 293, № 6, 1305 — !307. Работа Виттеиа о голоморфиых неравенствах Морса, упомннавшаяса в докладе, опубликована в [1*).
В работе Ж.-П. Демин [29] метод Виттена применен в комплексно-аналитической ситуапии: доказано, что для компактного комплексного многообразия Х", голоморфного расслоения Е иад Х к эрмитова линейного голоморфного расслоения Р иад Х размерности когомологий Н~(Х, Еа З р) растут при й-» ео не быстрее, чем с й". Статья Хельфера н Шестранда [3') содержит полное доказательство того, что хвазиклассический комплекс Виттеиа изоморфен комплексу Морса данной функции.
После выхода работы Виттена хлассический комплекс Морса гладкой функции иа компактном многообразии, известный по существу еще Морсу и актквно изучавшийся в дифференциальной топологии, часто называют комплексом Виггена. Под таким названием этот объект обобщался в цикле работ Флера, построившего теорию Морса для пересечений лагранжевых многообра. эий, см. [4*]. Квазиклассический комплекс Виттена рассмотрен с точки зрения случай. ных процессов и уравнения теплопроводности в работе Бисмю [5*], а в [6") этим способом доказаны и результаты Демаи. В работах Новикова [7ь], Новикова и Шубина [Ве) рассмотрен внттеиов. ский дифференциал в пространствах дифференциальных форм с коэффициентами в плоском расслоении, определяемом представлением фундаментальной группы. Получаются аналоги неравенств Морса, включающие гомологии с локальными коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
