Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 16
Текст из файла (страница 16)
( Л„. Рассмотрим функцию 1(зь, ..., з„) = х Л;[з;[~ на сфере 5= ~-о -[ь„...,,о с (х1*,~ — 1[. з- ьу ~ в о фактор Р" (С) пространства 5 — получается функция Морса и с критическими точками только четного индекса. Фактически точка (О, ..., О, 1, О, ..., 0) с единицей на Рм месте — это единственная критическая точка индекса 26 Поэтому Ь| = 0 прн нечетном 1 н Ь; = 1 при четном 1, 1( 2п. 1А. Еще один способ сформулировать неравенства Морса — это сказать, что существуег комплекс Е' векторных пространств над К 0 — Ев — Е' — ... — Е"- 0 с йпп» Еь = ты й(гп Нь (Е ) = Ьь. Доказательство Виттена дает (в случае К = 1«или С») такой комплекс, сконструированный по и и комплексу дифференциальных форм на М.
Поэтому фактически речь идет о комплексе, «вычисляющем» не сингулярные гомологии, а когомологии де Рама. Причина интереса к этому методу заключается в том, что, по контрасту с классическими методами доказательства, он имеет аналитическую, а не топологическую или геометрическую ( [20[, [12), [13[) природу. В частности, его можно применить в случаях, когда старые методы не срабатывают (ср. $5). Итак, рассмотрим функцию Морса Ь на М и обозначим через Ь|=й(ш Нва (М) размерность Ьго пространства когомологий комплекса де Рама многообразия М (комплекснозначных дифференциальных форм) Π— Фь(М) — я11(М)- ... — .Ф" (М)-~.0.
1 6. Если М снабжено римановой структурой (а это можно предполагать всегда), то теория Ходжа позволяет вычислить Ьь Из- Неравенства Морса вестно, что если ввести сопряженный к д оператор й' н лапласиан Л= па*+ д"Ы, то подкомплекс гармонических форм Кег а (на котором дифференциал й оказывается нулевым) имеет в степени 1 размерность Ьь В действительности лапласиан б— это эллиптический оператор на .Ф(М), и если рассмотреть его как (неограниченный) самосопряженный оператор на пространстве Фы(М) сечений расслоения дифференциальных форм с интегрируемым квадратом (относительно римановой метрики на М), то это будет положительный оператор с дискретным спектром; его собственные значения 0 ( Л1 «Лв ...
стремятся к бесконечности. Значит, если фиксировать вещественное число А, то подкомплекс я1(М), порожденный собственными векторами, отвечающими собственным значениям (А (известно, что эти векторы принадлежат л»(М)), будет комплексом конечномерных векторных пространств с когомологиями, изоморфными Кега. 1.6. Основная идея Внттена — использовать й для возмущения дифференциала д комплекса .Ф(М) — а значит, и лапласиана Л вЂ” для получения оператора со спектром простой структуры, однако позволяющего вычислить Нов(М). Замечание. Эта идея — обычная для математической физики — появилась также у некоторых математиков ([28[, [29[), Пусть 1 — вещественный параметр. Положим теперь е-ы деы 1 обозначим через д; сопряженный к д, оператор с('=еыд е-"' пусть й,=(д, +с(;)'=йф,'+д",д,'. Так же как и а, оператор й~ — эллиптический оператор; если рассматривать его как (неограниченный) самосопряженный оператор в лоы (М), то он будет положительным оператором с дискретным спектром.
Так как д1 получается из д сопряжением с помощью функции е"', то когомологни комплекса .Ф (М) с дифференциалом а — те же, что и с дифференциалом дй поэтому КегЛ и Кегй~ изоморфны. Значит, неравенства Морса вытекают из следующего результата; Теорема 1.6 (Виттен). Пусть А — достаточно большое вещественное число. Тогда для достаточно больших 1 оператор Л~ имеет при любом 1 ровно т; независимых собственных векторов, отвечающих собственным значениям (А.
Г, Анвар 2. ПРИНЦИПЫ РАБОТЫ МЕТОДА 2.1. В этом разделе мы хотим изложить последовательносгь. рассуждений, которые привели Внттена к этой теореме. Пусть' »о ее ь»(М). Имеем »1»»в = ЙО + г й!» л ьЭ, откуда Л ы =Ь»в+ 1»[й!» [»е+ 16»а где 6 есть,Фо(М)-линейный оператор, заданный эндоморфизмом векторного расслоения Л(М), который мы опишем в равд.
4.1. Таким образом мы получили «суперпозицию» лапласиана на М с «потенциалом», главная часть которого — это 1»[й!»[». При Е стремящемся к бесконечности, этот потенциал велик всюду, кроме критических точек и. Поэтому собственные векторы оператора Л! имеют тенденцию концентрироваться в окрестности этих критических точек. Фактически справедлива следующая лемма, доказанная в разд.
4.2. Лемма 2.1. Пусть К вЂ” замкнутое подмножество в М, не содержащее критических точек. Тогда существует такая постоянная с, зависящая от М, К, »» и А, что при 1) 1 и Ф ен.яЕ(М) с условием Л~Ф = ХФ, Х ( А, выполнено неравенство ~<Ф, Ф)~ф~(Ф, Ф) к м (скалярное произведение индучировано римановой структурой на М, интегрирование ведется по римановой мере). 2.2. Мы приходим к изучению Л» в окрестности критических точек, точнее, к изучению собственных векторов, сконцентрированных около этих точек.
Пусть р — критическая точка, 1 — ее индекс. Выберем в Те(М) ортогональный относительно римановой метрики базис, в котором Нй диагонализуется с собственными значениями Х), ..., Х„, первые 1 из которых отрицательны. Рассмотрим в окрестности р нормальную систему координат (хь ..., х„), ассоциированную с этим базисом. Теперь можно Ь представить в виде И=й(р)+ Х Х»х2»2+ Ч, где !) имеет нуль третьего порядка в р; значит, оператор Л» мало отличается от ~( ', +П»»х; — а,к,.1=Я(н,— гз.,к,).
к! l Неравенства Морса где оператор К! коммутирует с умножением на функции„переводит йх! в — йх! н оставляет инвариантными ах» при !» ~!. Обозначим этот оператор через Л;; рассмотрим его как опера. тор в .Фь (»«"). Если рассуждать эврястнчески, то собственные значения Л, и Л', должны иметь одно и то же частное при делении на Е На самом деле теория возмущений позволяет ([25[, [27[) выразить собственные значения Л, и Л', как функции от 1; эти собственные значения обладают асимптотическим разложением вида 1 ~во+ — '+»к + ...). Первый член этого разложения (т. е.
коэффициент аь) для п-го собственного значения Л» совпадает с соответствующим коэффициентом для и-го собственного значения прямой суммы Л; по разным критическим точкам [25). В $4 мы обоснуем эту локализацию в критических точках (переход от Л, к Л,') так называемым методом «упаковки» и сравним собственные значения, доказав этимтеорему.Теперь же продолжим эвристическое объяснение доказательства. 2.3. Спектр Л', сосчитать легко, так как этот оператор есть сумма операторов, действующих только по одной переменной Операторы Н! н К; коммутируют, и оператор Н; легко сводится к оператору — —,+ х в Е (Р), который хорошо известен: это гамильтониан гармонического осциллятора; его собственныезначення — нечетные положительные числа и собственное значее -ку2 нне 1 отвечает функции —.
Поэтому собственные значения ч/зя ' Л', имеют вид )[ь »1.)-»к!))»!) — »»,~, где У! Ее М, а е! = ~1. Коэффициент при 1 может обратиться в О лишь при У»=О, е;=зппХ», где !'= 1, ..., и. Теперь легко видеть, что соответствующий собственный вектор пропорционален Це [ '[ '~ йхл ...
лйх,. ! 1 В частности, это 1-форма. Перенося этот результат на Л», мы получаем, что в формах степени 1 оператор Л» имеет в точности и»! независимых собственных векторов, отвечающих собственным значениям, не стремящимся к бесконечности с ростом !. Г. Анвар Неравенства Морса ВТ Согласно аснмптотическим разложениям, этн собственные значе- ния ограничены, что и приводит к теореме.
Замечанме1. В случае когда в окрестностях критических точек функция й квадратична, а метрика евклидова, можно (см. равд. 4.5) доказать экспоненциальное убывание этих собственных значений, в частности нх асимптотическое разложение есть 0 во всех порядках.
По-видимому, то же самое выполнено и в общем случае (что влечет за собой применимость теоремы 1.6 для произвольного А ) О); асимптотическое разложение вычисляется на самом деле по локальным данным в окрестности критической точки; если бы оно не обращалось в О, то это означало бы, что по локальным данным можно определить, вносит ли критическая точка вклад в когомологии М, нли нет. Замечание 2. Обозначим через Т (М) подпространство в Т,(М) размерности 1, порожденное касательными векторами —, ..., —; на этом подпространстве ассоциированная с д д дк, . ' д , Ой квадратичная форма отрицательно определена; тогда рассмотренная нами выше собственная для А; 1-форма принимает д д ненулевое значение на — Л .. Л вЂ” ' это задает ориентацию дк ''' дкз ' т, -(М). 3. ВОЗВРАЩЕНИЕ К ГЕОМЕТРИИ 3,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
