Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Когда р) 1, Л'е и Но(Х, ТХ) тривиальны и г/2 = Зр — 3. Плотность Полякова в точке из У „, представляемой метрикой д, обладает, таким образом, следую- координата на Х и если а=во(ах ® йх+ йу ® ау), то 14=ддф (см. (2.4.1)). Преобразование выражений (1.6.2) и (1.6.3) при замене мет- ' рики д на метрику у' дается следующими формулами, называемыми формулами конформных аномалий (см. [42), [1],, [21) и $2.6): щим выражением (в обозначениях 1.6.1): В 1.
(ззд ) . -~з (1.6.9) С" ~ з ~ с(е( (дтхдтх)и де( ((Чт» Чт))а) Х Х [ ! Л Л Ч'зр-3 Л % Л... Л Ч'зр з [ при отождествлении Н'(Х, ТХ) с Т,У и отображением К5,. По теореме об униформизации каждая связная компактная риманова поверхность рода р ) 1 обладает единственной метрикой постоянной кривизны — 1. Когда метрика д удовлетворяет этому условию, предыдущее выражение преобразуется в (1.6.10) Ср ' [бе(' (д» д) ) ' с(е1' (дтхдтх)е с(11РУз, где аЗ .У обозначает меру Вейля — Петерсона на У е (см. [1О]).
Регуляризованные детерминанты, фигурирующие в (1.6.10), можно выразить через значения в целых точках дзета-функцин Сельберга фуксовой группы Г с Р5Ез(Р), для которой Х ~(зее ее(.:[(птг > О)/Г, и ее производные. Такие выражения позволяют изучать асимптотическое поведение ре «на бесконечности в Мр» (см. [23), [20), [5), [16), [48]). 2. ДЕТЕРМИНАНТНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И РЕГУПЯРИЗОВАННЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫ 2.1. Детерминантное расслоение ([44), (12) ) Пусть Рс — эллиптический дифференциальный оператор на компактном многообразии Хо, действующий на сечения векторного расслоения Е, и со значениями в сечениях векторного расслоения Ро. Оператор Р, имеет индекс: его ядро и коядро конечномерны.
Можно тем самым определить 1-мерное векторное пространство ЭЕТРо= (Л ийегР) Э (Ле со(сегРо), (а = йп1)сегро; д'= б(гп со(сег Ро). Можно представлять себе 1)ЕТ Ро как дуальное к «максимальной внешней степени» «индекса» оператора Р,, определяемого как формальная разность (1ег Р, — со(сег Ро. Пусть л: Х- 5 — локально тривиальное С -расслоение с компактными слоями, пусть Е и Р— векторные С -расслоения над Х, и пусть Р==(Р,), з есть С--семейство эллиптических операторов на слоях л: Р;.
С (л '(з), Е) — «С (л '(з), Р). Ж.-Б. Бает 128 Детерманантные расслоения, рееулярааованные детерминанты !29 Семейство векторных пространств (РЕТ Р,), з обладает естественной структурой линейного С -расслоения. Это линейное расслоение над 5, называемое детерминантнььи расслоением се-. мейства Р, мы обозначим РЕТ Р. 2.2. Детерминантное расслоение оператора д на голоморфном семействе компактных римановых поверхностей В этом докладе мы интересуемся следующим частным примером семейства эллиптических операторов: расслоение и: Х- 5 — голоморфное семейство компактных римановых поверхностей (см.
равд. 1.3.1); Š— голоморфное векторное расслоение над Х и Р=-.Е З бах,з; Р— семейство операторовде,:С (п '(з), Е)- С (и '(з), Е Э бах~в). Мы обозначим это семейство операторов дг. В такой ситуации детерминантное расслоение РЕТ де обладает естественной голоморфной структурой (совместимой с С -структурой), которую можно охарактеризовать следующими свойства ми. 1) Согласованность с заменой базы. Пусть тк Х-«-5 — голоморфное семейство компактных римановых поверхностей, Е— голоморфное векторное расслоение над Х, 5' — комплексио-аналитическое многообразие и [: 5' — 5 — голоморфное отображение. Положим Х'=ХХБ5'=[(х, в') =ХХ5'] (х)=)(')); и'.
Х'- 5', ~: Х' — Х, (х, з')»з', (х, з')» х. Тогда и'. Х' — 5' — голоморфное семейство компактных ][римановых поверхностей. Слой и '(з') отождествляется с и '(г(в')), а РЕТдре е — с РЕТд „„. Голоморфные структуры на РЕТ(.е и РЕТде таковы, что эти изоморфизмы задают изоморфизм голоморфных линейных расслоений РЕТ дГ«г в~ ~' РЕТ дв. й) Согласованность с голоморфной структурой пря.яых образов. Предположим, что размерности йа и й' пространств 'негде, Н'(и '(з), Е) и со(гегде,=Н' (и '(з), Е) не зависят от з Й5.
Пучки Рп.Е и Рп.Е на 5 в этом случае локально свободны и отождествляются с пучками голоморфных сечений голоморфных векторных расслоений [Еа и Ц над 5 со слоями На(п '(з), Е) и Н'(и '(з), Е) над зен5 соответственно. Голоморфная структура на РЕТ де такова, что изоморфизм семейств векторных пространств (с базой 5) РЕТдг ~ (Р "бЦ)" 8 (Д "1 Ц) является изоморфнзмом голоморфных линейных расслоений. й) Согласованность с короткими то~ными последовательностями расслоений. Пусть О- Е, — Ее- Е,— Π— точная последовательность голоморфных векторных расслоений над Х. Для всех з е= 5 длинная точная последовательность когомологий, ассоциированная с этой точной последовательностью векторных расслоений, ограниченной на п-1(з), задает изоморфизм РЕТдве е — РЕТде,, З РЕТде,, Голоморфные структуры на РЕТдв„1=1, 2, 3, таковы, что эти изоморфизмы задают изоморфнзм голоморфных линейных расслоений РЕТ де, ж РЕТ дг, Э РЕТ дг, Понятие детерминантного расслоения первоначально было введено в рамках алгебраической геометрии ( [49], [31] ).
В частности, если голоморфное семейство и: Х- 5 компактных римановых поверхностей является в действительности собственным морфнзмом компактных алгебраических многообразий и если Š— алгебраическое векторное расслоение над Х, то РЕТ дг обладает канонической структурой алгебраического линейного расслоения, совместимой с его голоморфной структурой. (Предупреждаем, что «геометрнческое» определение детерминантного расслоения (как в [49] и [31]) и «физическое» (приведенное здесь) различаются «знаком»: йе1Нп.Е (РЕТ де)'.) Понятие детерминантного расслоения днфференцируемого семейства эллиптических операторов появилось в литературе совсем недавно (и как раз в связи с изучением аномалий; см.
[4]). 2.3. Метрика Квиллена Вернемся к обозначениям разд. 2.1. Пусть слои и-'(з) снабжены римановой метрикой, гладко зависящей от з (т. е. вертикальное касательное расслоение ТХ[5 снабжено С"-метрикой), и пусть векторные расслоения Е и Р снабжены С -метриками. Тогда для всех з еи 5 вводятся скалярные произведения (, ) на С (и-'(з),Е) и С (и-'(з),Р), ограничения кото- 9 вурбвке Ж.-Б.
Боот детермононгные росслоения, регулярноовонные детерминанты )3) рых задают скалярные произведения на (сег Р, и на со(сег Р, = (пп Р,)». Эти скалярные произведения определяют (путем тензорного умножения...) скалярное произведение на Г)ЕТР,. В явном виде норма Ц Ц,, отвечающая этому скалярному про- изведению, задается следующей формулой, где (оь ..., он) и (иго ..., вн) обозначают базисы в )сегР, и со!«егР, =(!и) Р,)"-: ое) ((гьо в))) Ц(о,л ... лов) (Ц)(пг,л ... лгве)Ц»= ое) ((о„ог))) <„<л Кроме того, корректно определен сопряженный оператор Р,.
Вообще говоря, из-за «скачков» размерности )сег Р, при изме- нении з метрика !! Цс, на расслоении ОЕТР не является ни гладкой, ни даже непрерывной, Однако имеет место следующая Теорема 2.1 (Квиллен; [44], [12]). Метрика Квиллена, опреде- ляемая на 1)ЕТ Р, формулой (2.3.1) Ц Ц = (6е!' Р"Р )У»Ц Ц является С -метрикой на РЕТ Р. В формуле (2.3.1) де!' означает детерминант, определяемый с помощью дзета-регуляризации (см.
$1.5). 2А. Пусть Р— голоморфное векторное расслоение над С-анали- тическим многообразием. Для любой эрмитовой метрики Ц Ц на Р существует единственная унитарная связность Ч на Р, со- вместимая с голоморфной структурой на Р (т. е. такая, что ком- понента )) типа (О,!) совпадает с дг). С помощью этой связно- сти и формул Черна — Вейля для характеристических классов можно связать с (Р, Ц Ц) замкнутые дифференциальные формы, представляющие в когомологиях Де Гама его классы Черна, характер Черна и род Тодда: «формы Черна» с;(Г, Ц Ц), «форма характера Черна» СЬ(Р, Ц Ц) и «форма Тодда» То(Р, Ц-Ц).
Когда Р— линейное расслоение, кривизна )т является (1,1)- формой, определяемой локально по формуле (2.4.1) Д = дд !оц Ц э Ц», где э обозначает ненулевое голоморфное сечение Р, и мы по- лучаем (2.4.2) с,(Г, Ц Ц)= — —,Я, (2.4.3) С))(Р, Ц ° Ц= ~Ч' — с,(Р, Ц ° Ц)», »>о (2.4.4) Тс!(Г, Ц .
Ц) = 1 + — с,(Р, Ц . Ц) + ,) с,(Р, Ц . Ц)» ! 2.5. Локальная теорема Римана — Роха — Гротендика Если о — дифференциальная форма, мы обозначаем через ооо ее компоненту степени )г. Теорема 2.2. Пусть тс Х- 5 — голоморфное семейство компактных римановгнх поверхностей, а Š— голоморфное векторное расслоение над Х. Пусть Ц Цт — гладкая эрмитова метрика на комплексном линейном расслоении Т = ТХ[5 (Ц ° Цг задает С -семейство римановглх метрик на слоях я) и Ц Це — гладкая эрмитова метрика на Е. Пусть Ц ° Цо — метрика Квиллена на !)ЕТде, определенная с помощью этих метрик.
Тогда имеет место равенство дифференциальных форм на 5; (2.5.1) с,(!)ЕТде, Ц Цо)= — ~ (С))(Е, Ц Це)Т»!(Т, Ц . Цт))<г). х)з В этой формуле ~ означает интегрирование дифференцих)э альных форм вдоль слоев и. Когда Š— линейное расслоение, эта формула с учетом (2.4.3) и (2.4.4) принимает вид (2.5.2) с~(!)ЕТде, Ц Ц) = — ~ ~ — с) (Т, Ц ° Ц) + х!з + — с, (Т, Ц Цг) с, (Е, Ц ° Цв) + — с, (Е, Ц ° Це)~1.
Когомологический вариант теоремы 2.2, т. е. равенство (2.5.1) с точностью до точных дифференциальных форм, непосредственно следует из теоремы Атьи — Зингера об индексе для семейств. Когда я — алгебраический морфизм комплексных квазипроектнвных многообразий, а Š— алгебраическое векторное расслоение над Х, он вытекает также из теоремы Римана— Роха — Гротеидика (которая доставляет в действительности более точное равенство, справедливое в рациональной группе Чжоу многообразия 5; заметим„ что с)(с(е))Ця„Е) = с1()гя„Е)). Формула (2.5.1) была установлена Квилленом ([44]), когда Х вЂ” произведение базы 5 иа компактную риманову поверхность Хо, а я = рг»с Хо,н,5- 5, и Белавиным и Книжником ( [7], [8]), когда Е =Те".
В действительности эти авторы рассматривали специальные метрики. Бисмю и Фрид доказали утверждение, аналогичное теореме 2.2, для С -семейств операторов Дирака ([12]); их доказательство использует вероятностные методы, развитые Бисмю для доказательства локальной теоремы об индексе для семейств 9» Ж.-Б. Боот хг ([11)). Можно доказать теорему 2.2, начиная с их результата, соединенного с формулой конформных аномалий — прямым следствием (1.5.4). Теоремы, аналогичные теореме 2.2 с Х вида Хо,'я',5, но с Хо произвольной комплексной размерности, были доказаны Дональдсоном ([17]) и Жийе и Суле ([25]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
