Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Теперь заметим, что возникающие в этом рассуждении калибровочные преобразования не согласованы между собой для разных а, Поэтому в локальных координатах имеем матрицы связностей Ас(а)-«А (/х), сходящиеся в С" ( — В,), и функции перехода дг(а, 8): — В„П вЂ” Вв-«Вй/ (2), такие, что ! 1 (4.6) А, (а) = — йд, (а, 8) йе (а, 8) '+ дг (а, 8) Ас (8) а; (а, р) '. Из компактности 3Б(2) следует равномерная ограниченность последовательности йа/ в (4.6), из которой вытекает существо- ванне равномерно сходящейся подпоследовательности.
Повторное применение (4.8) дает сходимость в классе С, а выбор диагональной подпоследовательности позволяет получить сходимость одновременно для всех пар (а, 8): (Аг(а), а; (а, 8)) « (А (а), д (а, р)). Зти данные определяют автодуальную связность на расслоении Я над Х';(хь ..., х/). Далее, если К/: Х",(х„..., х/)— ! компакт, то индукцией по числу шаров — В, покрывающих К (см. [21], п, 3), можно получить изоморфизмы рс Я(К- Р(К„ такие, что р,'А,— А в С (К). (4.7) Пусть В' — малый проколотый шар с центром в точке хг(1(~1(~1). Поскольку ~1Р(А/)|ай!л~(8п', по лемме фату / в имеем ~1Р(А ) 1'й(г(8па. Следовательно, по теореме об устрав' ! пимой особенности (см.
п. (2.4)) связность А и расслоение г;Г продолжаются на все Х. По определению набора точек хг имеем 1пп ~(Р(А;) 1'йгь > С/2 для любого шара В'. Следовательно„ / вг если шар В' достаточно мал, получаем ~1Р(А ) 1'й!ь ( 1пп ~1Р(А,) 1ай)г. / / в в (4.8) С другой стороны, поскольку все рассматриваемые связности автодуальны, подынтегральные выражения в последнем неравенстве совпадают с формами Черна. Следовательно, интегралы можно вычислить по модулю 8паУ, заменив их на интегралы по границе от форм Черна — Саймонса, Из равномерной сходимости на границе дВг получаем ~ 1Р (А ) (г й1ь — = 1(гп ~ | Р (Аг) 1' й1г гной 8п'Е. / / в в! (4.9) Теперь, учитывая неравенства $(Р (А ) 1айп ) 0 и / в! 152 Н. Дж. Хитчин уравнении янга — Миллса [Р(А,) [ос(1о~~8яо, из пп.
(47), (48) получаем, что возможв' иы лишь два случая: (1) 1=0 или оо н [1е(А)еео ое ° [~е(лисео < 8 ', в' откуда следует, что ог тривиально и связность А плоская. Предложение (4.2) доказано. (4.16) Из предложения видно, что автодуальиая связность на Р может вырождаться лишь за счет сосредоточения кривизны в окрестности одной точки. Такой тип вырождения можно проиллюстрировать примером инстаитона Ао. в п. (2.6) при Л вЂ” ~0. 6 5. ГРАНИЦА ПРОСТРАНСТВА МОДУЛЕЙ я (5.1) Пусть 5: Р-ч-(ч — кочкообразная функция, аппроксимирующая индикатор отрезка х1 г, и мажорируемая им.
Введем функцию Рл(х, в) = ~ 6(е((х, у)/в) [Р(А) ~од1о„, х где д(х,у) обозначает геодезическое расстояние на Х, и положим (5.2) Л(А)=Х 'ш(п(в13х: )гл(х, в)=4яо), где нормировочная константа 7( подбирается таким образом, чтобы для инстантона А~ выполнялось равенство Л(А,)= 1. Дональдсон использует эту удобную, хотя и взятую с потолка функцию как меру концентрации кривизны: если 5 заменить индикатором у ... то Л(А) окажется равным радиусу наименьшего шара, содержащего половину действия. Во всяком случае шар радиуса Л(А) содержит больше половины действия, и поэтому по предложению (4.2) Л(Ае) — ч-0 для любой последовательности [Ас) ~.4', не содержащей сходящихся подпоследовательностей. Таким образом, Л(А) может служить мерой удаленности класса [А) от границы.
(5.5) Предложение. Суи(гствугт такое Ло ) О, что для любой автодуальной связности А на Р с неравенством Л(А) ( Ло минимум в формуле (5.2) достигается в единственной точке х(А)ее Х. Доказательство. Возьмем малый геодезический шар радиуса г с центром в точке минимума х для данной связности А ин как в п. (4.5), перенесем метрику и связность иа евклидов шар радиуса г/Л(А). Для каждой последовательности связностей с условием Л(А~)-ч-0 перенесенные таким образом связности А; удовлетворяют условию Л(А;)=1, и, применяя (4.4), (4.2), получаем подпоследовательность, сходящуюся к автодуальной связности иа )ч4. Из классификации (2.7) и выбора нормировочной константы следует, что предельная связность совпадает с инстантоном Аь Так как Л(А;)=1, из предложения (4.2) следует, что сходится любая подпоследовательность, и, следовательно, предел единствен.
Итак, А; — ч-Аь если Л(А,)-ч-О. Но функция )сл, имеет единственный невырожденный минимум„ следовательно, для достаточно малого Л(А) то же верно и для .11„-. Учитывая, что любые два минимума для данной связности А должны быть отделены друг от друга расстоянием не более 2Л(А), поскольку шар радиуса Л(А) с центром в каждом из них должен содержать более половины действия, из единственности минимума для )сл выводим единственность минимума для Рл, Заметим, что в этом доказательстве существенно использовалась связность пространства модулей. (5.4) ПУсть лйо, =([А) ~ л(е!Л(А) < Ло) и Р: лЯМ вЂ” ~ХХ(0 Ло)— проекция, определенная формулой р(А) =(х(А), Л(А)). (5.5) Предложение, (1) гу~.гГо, компактно.
(й) лЯо, — гладкое многообразие. (Ш) Проекция р является гладким накрытием. Доказательство. (1) Утверждение этого пункта непосредственно следует из предложения (4.2). (й) Когда Л(А)-+ О, по предложению (4.2) [А) — 1- 6 в С (Х',В(х(А), г)). Применяя метод Таубса [19], можно доказать, что На=О. Теперь утверждение следует из п. (3.6). (й1) Проекция р гладкая, так как минимум функции )сл невырожденный. То, что р — собственное отображение, следует из предложения (4.2). Остается проверить, что дифференциал р является изоморфизмом. Обратное отображение дает теорема Таубса о неявной функции. (5.6) Предложение.
Проекция р является диффвоморфизмом. Доказательство. Это наиболее техническая часть доказательства Дональдсона, в которой используются довольно тонкие 155 Уравнения Янга — Миллса 154 Н. Дж. Хитчин оценки кривизны. Идея заключается в том, чтобы показать, что любые две автодуальные связности А, В с х(А) = х(В) н доста-', точно малой величиной Х(А) =Л(В) могут быть соединены ко- ротким путем в л5 (см [6]). й 6.
ВОЗМУЩЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА МОДУЛЕЙ га 46.1) Если На=О для всех автодуальных связностей, то зу гладко на дополнении к п(Сг) точкам, соответствующим приводимым связностям. В общем случае это может быть неверно, н тогда в йс содержится подмножество К, на котором Нл~ О (по предложению (5.5) К компактно). Чтобы получить гладкое многообразие, нужно пошевелить йс. (6.2) Возмущение а' в окрестности приводимых связностей строится очевидным образом: конечномерное отображение ср(х) в разложении Ф(х) =(ВФл)х+ ср(х) заменяется иа близкое отображение с сюръективным дифференциалом.
Тогда, как в п. (3.6), окрестность точки [А] становится диффеоморфиой Сз/В' — конусу над СРз. Теперь будем предполагать, что К с: с= Дс П Я". (6.3) Так как группа У/[:ЬЦ действует на банаховых пространствах Т.з[Я (5)) и Т.з~(зз (5)), на Я' определены векторные расслоения д' с: М' с нормами н связностями на них, ассоциированные с главным У/[-1- Ц-расслоением р — '(Я*) над Я* посредством указанного действия. Существует каноническое сечение Ф = = Р (А) расслоения егз, и требуется найти возмущение о ее ы С (Я'„й'з), такое, что возмущенное сечение Ф+ о невырожденно во всех точках, в которых оно обращается в нуль.
(6.4) Предложение. Существует сечение в ее С (Я*, егз) с носителем в окрестности компакта К, такое, что (Ф+ в) — '(О)— гладкое пятимерное многообразие. Доказательство. Используя конечные покрытия К открытым множествами Тл „построим два открытых множества (/ь (/з для которых Кс:(/, и (7, ~(/з. Пусть в — ограниченное сечение аз з с носителем в Сз. Тогда множество К = ([А] ее я (/, [[[(Ф+ в)(А) [[, (Н~ компактно.
Чтобы убедиться в этом, з покроем Г/з конечным множеством срезов Тл „тогда на каждом яз них имеем Ф(А) =с(ла+ — [а, а]+ в (А), причем с(ла=О 1 и [[а[[,<е. Из /з-оценок на о'(А), а и (Ф+в)(А) получаем Ьз-оценку на [с(л + с(л) а, из которой в силу элиптичности следует Т.с-оценка на а. Поскольку вложение 1,, с=/.з компактно, получаем требуемое утверждение. Таким образом, если Ф+ о имеет только невырождениые нули в Оь то то же верно для всех сечений Ф+ о', близких к Ф+ о в топологии равномерной сходимости сечения со своим дифференциалом на компактных подмножествах. Легко видеть, что пространство таких невырожденных возмущений плотно. Действительно, возьмем в окрестности каждой. точки срез, на котором имеется разложение Ф+ о =В+ ср, где /. — линейное, а у — конечномерное отображения.
Пользуясь компактностью, выберем конечное подпокрытие и подправим Ф+ о вычитанием регулярного значения ~р, помноженного на подходящую кочкообразную функцию. По теореме Сарда такие возмущения могут быть сделаны сколь угодно близкими в норме Вз к сечению Ф+и. Теперь заметим, что само сечение Ф вне 01 обращается в нуль невырожденным образом. По доказанному выше мы можем выбрать возмущающее сечение в так, чтобы Ф+ о имело лишь невырождениые нули на гг1 (по свойству плотности) н на (/з ~0, (по свойству открытости, примененному к (/з~(/,) Следовательно, сечение Ф+ о невырожденио всюду.
Положим л(са=(Ф+ в) — '(0). В силу изложенного выше это пятимерное многообразие, особое множество которого состоит лишь из и факторособенностей вида Сз/В' и край которого естественным образом отождествляется с Х. й 7. ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ МНОГООБРАЗИЯ иае (7.1) Здесь нужно рассматривать класс Штифеля — Уитни св, (йети(Ф+ о)) на многообразии А" () Я'. От особенностей можно избавиться с помощью калибровочных преобразований, тождественных в заданной точке хе ~ Х. Поскольку иа яз эти преобразования действуют без неподвижных точек, получаем отображение факторизации Я -'- Я.
Над Я оно определяет главное 50(3)-расслоение, поэтому ориентируемость Тг/Г [)Я' эквивалентна ориентируемости прообраза п-' (йсе П Я*). (7.2) При ограничении на любое компактное подмножество Ус: с: и-'(ДсаПЯ') векторное расслоение )гег7(Ф+ в) определяет некоторый элемент группы КО(У). Этот элемент является классом индекса [5] семейства фредгольмовых операторов дл + с(л+ Уравнения Янга †Милл 157 О. Дж. Хитчин + (Т?п) А, Рассмотрение деформации с(л + с(л + 1($?а) А, 0(1(1, показывает, что класс индекса не зависит от ш Поскольку го-. моморфизм ш$ пропускается через КО, для решения вопроса аб ориентируемости достаточно рассмотреть класс 1пг[($(л + + $(л) ~ КО(У) для случая, когда У вЂ” петля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
