Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Следствиеч Если и = 1, то числа 141 и )?з — симплектичесние инварианты бидисна Вз(Я~)ХВз(1?з) (считаем, что Аз))?1). Действительно, )?1)?з равно объему и потому сохраняется симплектическими диффеоморфизмами, а А1 сохраняется в соответствие с теоремой В. Соотношения неопределенности Гейзенберга (в формулировке Г. Вейля) означают симплектическую инвариантность объема области в Реч (см.
[20]). Каковы следствия теоремы В в спектральной теории линейных дифференциальных операторов? 1.3.2. Другое соотношение неопределенности измеряет плотность симплектической упаковки шаров в другом шаре. Сформулируем этот результат в случае Р4: Теорема В' (Громов). Пусть 41 = 1 — целое число. Если г( ч/2 1Г'д+ З Элливтичесхве задачи, римвновы воверхвовти 189 У(. Бвннвкен то невозможно симплектически вложить й(й+ 3)/2 шаров В4(г) в В'(В) так, чтобы они попарно не пересекались. В частности, для двух шаров г4 (Тг"/4. Это в 4 раза хуже оценки г'(Угч/1б, проистекающей из евклидовой геометрии, но в 2 раза лучше оценки г' ( Я'/2 из соображений объема. В частности, евклидова полушарие симплектически не изо.морфно шару того же объема.
До работы Громова не было известно примеров открытых областей в Рзч, имеющих равный объем, но не изоморфных симплектически. Для пяти шаров теорема В' дает неравенство г ( 1/2/5 зЧ. Упражнение: докажите это неравенство в евклидовой геометрии.
1.3.3. Теорема А следует из теоремы В. В соответствии с леммой 1.1.3 достаточно предъявить диффеоморфизм с компактным носителем пространства Рз"+з (и ) 1), сохраняющий озво и отправляющий шар Взв+-'(У(',) в область В'()г',/2) )ч, Вз" (2Ус',). 1.4.
Положительные почти-комплексные структуры 1.4.1. Громов извлекает симплектическую жесткость из хорошо известной жесткости функций комплексного переменного. Комплексная структура на векторном расслоении г — это эн.доморфизм Е, квадрат которого равен — 1. Комплексная структура на Š— это структура комплексного векторного пространства в каждом слое. Почти-комллексная структура на многообразии ))т — это комплексная структура на касательном расслоении ТйУ. Если (г",го) — симплектическое векторное расслоение, то почти-комплексная структура У; г'-ч-Р положительна (относительно го), если ьз(и, Уи) з. О для всех ненулевых векторов некоторого слоя расслоения г. Скажем, что У подчинена го, если У положительна и является симплектическпм автоморфизмом. Тогда го(и', Уи) — это евклидова метрика в Е; почти-комплексные структуры, подчиненные го, образуют непустое стягиваемое подпространство в Епй г; то же верно для положительных У (см.
[9]; Громов называет положительные структуры ручными, а подчиненные — калиброванными). Пусть (Ю,У) — почти-комплексное многообразие; если У не удовлетворяет некоторым условиям интегрируемости, то не существует голоморфных отображений из открытых подмножеств ))т в С; напротив, существует большое число голоморфных отображений из открытых подмножеств С в (ь"' ([21]). Если Х вЂ” риманова поверхность, мы назовем голоморфным отображением Х в 1)т (или решением структуры У) всякое отображение 1: Х вЂ” ч-Ф' класса С', такое, что У чанг= 01 ° й Мы назовем комплексной кривой (или голоморфной кривой, или интегралом структуры У) всякое ориентированное погруженное двумерное подмногообразие Х в Ю, каждая касательная плоскость которого является комплексной прямой структуры У.
Если Х вложено, мы будем говорить о гладкой кривой. 1.4.2. Рассмотрим замкнутое симплектическое многообразие (Я7~", оз',), и пусть форма оз' имеет целые периоды по всем сферическим классам гомологий в Ю'о. Снабдим произведение Ф'зч"' = 5т;к', (оо симплектической структурой го= ьзо+ ге', где ьзо — стандартная структура в 5' с периодом 1. Теорема С (Громов). Пусть У вЂ” положительная относительно го почти-комплексная структура на Ю', Тогда каждая точка (г, ш) ~ Ю' принадлежит образу голоморфного отображения из 5з в Ю, гомологичному 5зК ш в 11т, Если п = 1, то на Ф' существует слоение, слои которого — комплекснзяе кривые, изотопные 5з;с', ш в Ф'.
1.4.3. Комплексная псевдоллоскость — это почти-комплексная структура У на СРз, положительная относительно стандартной структуры озо. Назовем псевдопрямой (соответственно псевдоконикой) интеграл У, гомологичный прямой (соответственно конике) стандартной комплексной структуры Уо на СРз. Теорема С' (Громов). Все псевдолрямые — это вложенные сферы, изотопные СРс:СРз.Через две точкиСРзпроходит одна псевдопрямая и две лсевдопряиые пересекаются в единственной точке.
Через 5 точек (не лежащих на одной псевдопрямой) проходит одна псевдоконика. Если никакие 3 из 5 точек не лежат на псевдопрямой, то эта псевдоконика — вложенная сфера, изотопная стандартной конине в СРз. Через й(й+ 3)/2 точек в общем положении проходит гладкая комплексная кривая (для У) рода (й — 1) (й — 2)/2. 1.4.4. Теорема В следует из теоремы С. Действительно, если есть симплектическое вложение В =В' чл(й) в Вз(Ух1)ч,Вз" (Утз), то существует и симплектическое вложение У: В-з- Ф'=5зХ Тзч с такой формой оз= озо+ оз'„что гоо(5з) = лВзс Пусть В' ( Р; положим В'=Вв чл(зЧ').
Перенесем посредством 1 стандартную комплексную структуру У, из В' в 1(В') и распространим ее нз все (е' (вследствие стягиваемости пространства структур) как положительную почти-комплексную структуру У. Теорема С (после изменения масштаба) дает решение У структуры У, гомологичное 5зХ ш, проходящее через образ (г, ге) центра О шара В.
При этом го [У] = л/чзь Рассмотрим Х=1 — ' (У () 1(В') )— 191 Д, Беннекен 190 а<~а=— Х тп1(в1 т это комплексная аналитическая кривая в В', проходящая через О, Поэтому ее площадь не меньше, чем я(Я')а (см. [22]). Но площадь Х равна ~ аз (Виртингер) — см. [22]. Значит, х Следовательно, В~ ) Р'. Но В' («т было выбрано произвольно„ так что Е~ ~ У«. Аналогично выводится теорема В' из теоремы С'. 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ 2.1.
Строго эллиптические задачи в размерности 4 2.1.1. Пусть (У вЂ” четырехмерное вещественное ориентированное пространство, а (у — грассманиан, составленный из его двумерных ориентированных подпространств. Если «) ее О, то касательное пространство Те(У отождествляется с Нош(«), (У/д). Поэтому многообразие («наделено конформной структурой типа (++ — — ) (именно, если 1~ Те«У, то неравенство «(е1.1) О не зависит от выбора базисов в д и (УУд, согласованных с ориентацией). Эллиптической поверхностью типа + (типа †) называется замкнутое связное двумерное подмногообразие в 1«, касательное пространство которого в каждой точке лежит в положительном (отрицательном) конусе описанной выше конформной структуры на Я.
Например, сфера Р'(У), составленная из комплексных прямых некоторой комплексной структуры У на (У,— эллиптическая поверхность. Ее тип зависит от того, определяет У положительную или отрицательную ориентацию (У. Пространство всех комплексных структур У в (У имеет размерность 8 (и изоморфно 5аХ Ре).Поэтому множества проективных прямых Р (У) образуют 6-параметрическое семейство.
Если Š— эллиптическая поверхность, то через каждую ее точку е проходит единственная прямая Р (У), касающаяся Е. Каждая конформная структура типа (++++) в (У задает изоморфизм О = 5а.з«', 5'. Оператор звездочки Ходжа определяет разложение Ла (У на Л«. и Л (автодуальныеиантнавтодуальные 2-векторы), причем каждое пространство Л трехмерно.
Обозначим через 5 сферизации пространств Л . Йзменение ориентации 2-плоскости задает антиподальную инволюцию 5, а переход к ортогональному дополнению — антиподальную инволюцию Эллинтинеские задачи, риманови аоверхности 5 . Изменение ориентации (У приводит к тому, что сферы 5+ и 5 меняются местами. Комплексная структура У на (У, согласованная с ориентацией и конформной структурой, определяет прямую Р(У), параллельную сфере 5«.. Сфера 5 параметризует такие согласованные комплексные структуры У. Каждая эллиптическая поверхность типа + (тнпа — ) является графиком стягиваемого отображения 5„(5 ) в 5 (5е), Пусть Š— эллиптическая поверхность.
Тогда в каждой гиперплоскостн в (У лежит единственная 2-плоскость из Е. Две 2-плоскости в (У, принадлежащие Е, имеют положительный илн отрицательный индекс пересечения в зависимости от того, какой тип, + или —, имеет Е (см. [23]), 2.1.2. Пусть (Тт — ориентированное четырехмерное многообразие. Обозначим через 6 пространство расслоения со слоем © ассо- циированное с ТТй'. Эллиптическое отношение Е (типа -1-) на Ф' — это подмного образие коразмерности 2 в «х, которое трансверсально пересекает каждый слой 1,1 по эллиптической поверхности (типа +.). Пусть )Тт обладает симплектической структурой а; мы скажем, что Е положительно (относительно а), если а положительно ориентирует каждый элемент Е. Например, комплексные прямые почти-комплексной структуры в %' образуют эллиптическое отношение.
Пусть Х вЂ” ориентированная поверхность. Назовем решением Е всякое дифференцируемое отображение [: Х- Ф', для которого отображение ЛзУ11 переводит Ла ТХ в конус над Е в пространстве ЛзТ"ТР. Назовем интегралом Е всякое погруженное ориентированное двумерное подмногообразие Х в Тут, касательные плоскости которого принадлежат Е.
2.1.3. Пусть г= х+ Тр пробегает открытое подмножество А~С, и пусть а = и+ «о — функция от г. Уравнение Коши — Римана «Ъ= О (т. е. и„' = о'„, и'„= — о',) определяет эллиптическое отношение в «зу«',С, для которого интегральными поверхностями служат графики голоморфных функций. Аналогично, графики псевдоголоморфных функций, изучав- шихся Берсом и Векуа (см. [24], [25]), служат интегралами эллиптических отношений.
Лаврентьев (см. [26], [27] ) ввел системы дифференциальных уравнений на комплексные функции в А, определяющие общие эллиптические отношения; он называл их строго эллиптическими системами (см. [28], где теория изложена геометрически). й. Беннекен 192 193 13 Бурбакп Отметим, что уравнение второго порядка 1(х, у, ~р~, ф, ~р,„, у„„, ~р „) = О, в которое ие входит сама функция ур (например, уравнение минимальной поверхности в Рз), относится к изучаемому классу. Достаточно положитьу„'=о, ар'„=и, и тогда уравнения и'„= = и„' и 1 (х, у, и, о, и„', й„, о'„, о'„) = Озадают подмногообразие коразмерности 2 в РчХ(г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
