Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Слкдствив. Пусть (~ (1 < г <и) суть и многочленое иг К(х„..., х„]; х~ (1<1<в) — такие и элементов поля й, теогемА 1. для того чтобы конечное расширение ЕС й поля К было алгебраическим и сепарабельным над К, необходимо и достаточно, чтобы единственным К-дифференцированием поля Е в й было нулевое дифференцирование. Условие необходимо в силу следствия 2 предложения 5. Обратно, пусть Е = К (х„хг, ..., х„) — конечное расширение поля К; полотким Ее=К, К~=К(х„х„..., х;) для 1 <( <и. Пусть Ь вЂ” наименьшее целое (, для которого поле Е=Е„алгебраично и сепарабельно над Еб мы хотим доканать, что число Ь не может быть положительным. В противном случае поле ЕА=Е„,(хь) не было бы алгебраическим и сепарабельным над еь, (9 7, предлолсение 7).
если элемент хь трансцендентен над Еь „то существует ненулевое на ЕА К-дифференцирование Й (предложение 4). Если же элемент хь алгебраичеп над ЕА „то он не сепарабелен над ЕА и Пусть Р— наибольшее алгебраическое сепарабельное расширение поля ЕА „содержащееся в ЕА, по предположению, Р ~ Еь и Еь — радикальное расширение поля Р (9 8, предложение 7); следовательно, существует Х-дифференцирование П, ненулевое на ЕА (предложение 6). В обоих случаях дифференцирование Р продолжается на Е=ЕА (предложение 5), что гавершает докаэательство. 161 ДИФФЕРЕНЦНРОБАНИЯ Б ПОЛЯХ что 11(х„..., х„) = О для всех 1<1' <и. Если определитель оеь ( — ') не равен нулю, то поле К(х„..., х„) является Г дй ч алзебраическим и секарабельным расширением поля К.
В самом деле, пусть Р— какое-нибудь К-дифференцирование поля К(х„..., х ); из к соотношений 11(х„..., х„)= О следует (гл. 1'1г, 1 4, предложение 9), что и ~, — Рхб = О (1 < 1< п), 11 1=1 откуда, н силу предположения, Рх!=О для 1<)'<н, а это означает, что Р= О (предложение 2).
В. Сеиарабельные баниеы мзраиетбеидеиттбоетии 11усть Й вЂ” некоторое расширение поля К, Š— подрасшкренне поля Й; обозначим символом Йк множество Й, наделенное структурой векторного пространства над полем К. К-диффереициронания поля Е в Й являются частичными линейными отображениями поля Е Б Йк, отсюда немедленно следует, что онк образуют векторное надпространство пад Й векторного пространства е (Е, Йк) (см. ~ 7, п' 1). Теогемл 2.
Пусть Е=К(х1, хз, ..., х„)! Й вЂ” сепарабельное расширение конечнозо тина поля К. Пусть г — алзебраическая размерность яоля Е над полем К; тоеда векторное пространство М (над Й) К-дифференцирований поля Е в Й имеет ту жв размерность г, существует часть В множества элементов х, такая, что В является базисом трансцендентности иоля Е над К и Е являетпся алзебраическим свпарабвльным расширением ноля К(В). Пространство Я имеет конечную размерность <и. В самом деле, пусть Рк (1 <К <и+1) — система (и+1) К-дифференцирований поля Е Б Й; существует и+1 элементов а; (1<1<и+1) поля Й, среди которых не Бее равны нулю, с условием и+1 и-1-1 ~ а1Р1ху = О при 1 < 1 < и; поэтому ~~', а Р1= 0 (предложение 2).
Ь=! 1=1 Пусть теперь з <и — размерность пространства Я и (Р1), ць базис пространства Я (над Й). Матрица (Р1ху) из з строк и п 11 н, Бурбаки 162 гл. т, 1 В поля столбцов имеет ранг е, ибо иначе предыдущие рассуждения показали бы, что дифференцирования В~ над П линейно зависимы. Сделав, если нужно, перестановку хт, можно, следовательно, считать, что определитель йет(»У~хт), где 1 <1<а, 1 <7 <г не равен нулю (гл.
1П, 1 7, предложение 1). Покажем в первую очередь, что поле Е алгебраично и сена робел ьно иад полем Р(хы хю ..., х,); в самом деле, если  — Р-дифференцирование поля Е, то .0 является тем более К-дифференцированием поля Е; в следовательно, В= ~ а;Пн где а~~й; а так как Пхт=О для Еэп 1 <1'<г, иными словами, ~~ а;Пхт=-0 для 1<7'<е, то а;=О, '=1 1 <1<г, т.
е. В=О, что в силу теоремы 1 доказывает наше утверждение. Остается установить алгебраическую негаеисимость над К элементов х„хю ..., х,. Пусть а — идеал алгебраических соотношении иенеду элементами хи хю ..., х, над полем К, н пусть а Ф О. Пусть 7 Ф 0 — многочлен наименьшей (общей) степени в о; тогда ~(хь ..., х,) = О, следовательно (гл. 1Ъ', З 4, предложение 9), а чч д1 д/ — д;хт=О для 1<1<а и, значит, — =-0 для 1=.
1'<е; иначе ет ' дхт т=1 говоря, — ~а для всех 1 <1'<е; в силу выбора 1 отсюда следует, д1 ' дхт что — — =0 для 1 <7'<е. Если поле К имеет характеристику д( дьт нуль, то 1 необходимо являетсн константой ~ О, что невозможно, следовательно, а= (0). Если поле К имеет характеристику р ) О, 1 принадлежит кольцу К(Хгы ..., Хг» (4 1, предложение 4); другими словами, »=ллем, где сьЕК и где Еь — многочлены от Х; (1-<1<г). ь Поскольку поле Е сепарабельно над К, в силу критерия Маклейна (1 8, следствие предлолчения 3) существуют элементы Ыь~К, не все равные нулю, такие, что многочлен а= ЫьЯь также приь надлежит идеалу а, а это противоречит выбору».
Следовательно, мы снова приходим к абсурдному заключению, и в атом случае также показано, что а=-(0). Доказательство закончено. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В ПОЛЯХ Базис трансцендентности В поля Е над полем К, для которогс поле Е является (алгебраическим) сепарабельяым расширением поля К (В), называетсн сепирибельььым базисом триисцеийептььости поля Е аад К. Заметим, что если Р обладает сепарабельным базисом трансцендентности В над К, то другой базис трансцендентности В' поля Е над К яс обязан быть сепарабельным: например, если поле К имеет характеристику р ) О и поле В=К (Х) селарабсльно над К (З 7, цредложенне З),тоХ образует сепарабельный базис трансцендентности полн Р над К, но ХР также образует базис трансцендеятаости ноля Е над К, а поле Е является радикальным расширением полн К (ХР).
Отметим также, что севарабельнсе расширение Е поля К, не являющееся кояечным над К, может не иметь ни одного сепарантнсго базиса трансцендентности (З 8, упражнение 13), ПРедлОжение 7. Пусть Е и Р— деа расширения поля К, алгебраически рагделенные над К, и пусть г" сепарабельно над К; тогда поле Е(Р) сепарабельно над Е. Достаточно показать, что для каждой конечной части Мь Р поле Е(М) сепарабельно над Е Я 7, предложеине 6). Положим Х = К(ьМ), тогда Е(М) = Е(А), следовательно, можно ограничиться случаем, когда поле Р конечного типа над Е. Пусть П вЂ” сепарабельный базис трансцендентности поля Р над К (теорема 2); так как, по предположению, семейство В алгебраически свободно над Е Я 5, предложение 9), поле Е(В) является чистым расширением поля Е, и следовательно, сепарабельно над Е ($ 7, предложение 3).
Поскольку каждый элеиент поля Р алгебрзнчен н сепарабелен над К (В), он тем более алгебраичен и сепарабелен над Е(В) (~ 7, следствие 3 предложения 9); значит, расширение Е(Р) сепарабельно над Е(П) н, следовательно 6 7 предложение 7), над Е. Напротив, если не предполагать, что расширения Е и Р алгебрзнческн разделены над К, поло Е(Р) мсьнст нс быть сенарабсльным над Е даже в случае, когда Р сепарабельно над К.
Например, пусть х — траасцеадентный над К элемент, и — радикальный нал К элемент, не принадлежащий нолю К; тогда элемент (х+а) трансцеадентен над К, поэтому поля Р=К(х) и Р=К(х+а) являются чистыми трансцендентными расширениями поля К н, следовательно, сепарзбельны над К.
Но поле (Е(Р) содержит элемент и.=и+а — х, радикальный над Е и не принадлежащий Е. поскольку ноле К(и) яе сепарабельао вад К. 11* гл.ч, " э9 164 поля Слвдствив. Пусть К и Р— деа сепарабельных расширения поля К, алгебраичесли разделенные над К, тогда поле К(К() Р) сепарабельыо над К. В самом деле, в силу предложения 7 поле К(Е Ц Р) сепарабельно над К, откуда следует утверждение, твк как поле К сепврабельно над К (~ 7, предложение 7). У п р а ж в е ы и я. 1) Пусть К вЂ” поле характеристики р ь О, П— некоторое расширеыие поля К, Š— водрасширеяие поля П. Показать, что как<кое К-диффереыцироваиие поля Е в Я является нулевым в поле К(Еп).
Пусть  — любой р-бааис воля Е ыад К (Ь 8, упражвеыие 1); для каждого элемеыта х б В существует такое К-диффереяцироваыие В поля Е, что Вх=-1 и Ну=О для всех у 6 В, уча*; в частности, если степень ыесовершеиства поля Л ыад К (т 8, упражвеыие 1) ковечыа, то размерность (ыад П) простраыства К-дифферевцировавий поля Е равна атой степени. Вывести иэ этих результатов, что если Š— сепарабельвое расширевие поля Е, то каждое К-диффереыцировавие поля Е мошко продолжить до некоторого К-диффереыцироваыия всего поля Р (испольэовать упражыеыие 36) иэ $8). э 2) Пусть К вЂ” поле характеристики р ) О, П вЂ” расширеыие поля К, Е и Р— подрасширеыия поля (), алгебраически раэделеяыые ыад К.
Пусть Л вЂ” ыаиболыпее алгебраическое и сепарабельыое расширеыве поля К, содержащееся в Лй показать, что Е(Л) — наибольшее алгебраическое и сепарабельыое расширеыие полн Е, содержащееся в Е (Е). (Свести к случаю, когда Л=К; пусть  — базис травсцевдеытыости поля Е ыад К и Н вЂ” алгебраическое замыкание полн К в Р; испольауя упражнение 8д) 1 6, показать, что Н(В) — алгебраическое аамыкаыие поля К(В) в поле Р(В), радвкальыое вад К(В).
Показать затем, что для всякого алгебраического вад Л' элемента х С Е (Р) существует целое число г ) 0 и конечное число элементов ы; бЕ (1 ( 1 ( и) таких, что элемеыт хп'= у принадлежит алгебраическому сепарабельыому расшвреыию Мь Е (В)(ип ,, иа) поля Р (В), причем и; образуют базис поля М вад Р (В)„; поыаэатгь ыакоыец, испольаул предложеыие 3 $6, что если у= ~ Ь,ио где Ь| С Е(Ь), то Ь; С г=! б Н (В), и вывеств отсюда, что существует такое целое число г ь О, что уп б Е.) *3) Пусть Ко — поле характеристики р>0, К=Ко(Х, У) — поле рацкоыальыых дробей от двух переменных ыад Кс.
а) Пусть Е=К(У, и), где У вЂ” веэаввсимая переменная вад К, ы и †алгебраическ вад К (У) алемевт, определеввый равенством иг=Х+УЮп. Показать, что поле Е ые сепарабельыо ыад К, во поде К алгебраически эамкыуто в поле Л. (Покаэатьь что для любого 165 РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА алгебраического над К элемента хбЕ, хэбК; если бы хйК, то К(с(, х)=К(С, п); вывести отсюда, испольауя теорему 1, что элементы Х11Р и У~гг принадлежали бы полю К(х).) б) Пусть Р=К(У, ч), где У вЂ” друган неаавнсвмая пад К первменнан и чР=Х+УУР. Покааать, что поля Е н Р линейно разделены вад К, но что поле К не являетсн алгебранческк замкнутым в поле К (Е () Р). (Показать, что Хна б К (Е () Р), вывести из атого, что элемент т не может принадлежать полю Е(У), заключить на основании этого, что поля Е н Р линейно разделены над полем К.) 4) Пусть Е н Р— деа трансцендентных расширения поля К, линейно рааделевных над К.
Показать, что поле К(Е () Р) отлично от кольца С (наоморфного проиаведенню Е 3 Р), порожденного множеством Е () Р. (Свестн к случаю, когда поля Е н Р имеют алгебраическую раамервость единица над полем К; если х Р Е и у б Р— трансцендентные над К элементы, показать, что элемент 11х+ у не может принадлежать кольцу С; методом от противного показать, что иначе существует такое целое число г ~~ О, что алемент 11(я+у)Р принадлежит подкольцу кольца с (нзоморфному к(х) 6) 3К(у)), порожденному множеством К(х) П К(у), причем р — характеристическая экспонента поля К.) й 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
