Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Если К вЂ конечн поле, то х — ьхэ — взаимно однозначное отображение К в себя Яй 1, предложение 1), следовательно, отображает К на себя. Наконец, если поле К алгебраически замкнуто, то для любого элемента х ~ К уравнение у в = х имеет корень в К. Если Ко — поле характеристики р)0, то поле К=-Ке(Х) рациональнмх дробей от одной переменной над Ко не яоляеоссв соосржснным волгло в самом деле, яе.существуег элемента н(Х)/э(Х], принадлежащего полю К (н и н — многочлеяы кольца Кэ [Х]) и такого, что (и(в)/о(э))э=Х. Действительно, последнее соотношение можно записать в виде Х(о(Х))э=(н (Х))в; обозначая через ж и и степени многочленов и и о, соответственно получим жр — яр+1, что невозможно.
Кроме того, если 1с — алгебраическое эамыкание поля К, э — корень многочлена Уэ — Х (кольца К [с']) в поле 1г, то расширение К(э) не сепарабельно над К, так как всякий сопряженный с э над К элемент совпадает с э. Этны доказано, что единственным К-иэоморфнэмом поля К(э) в поле гс является тождественный автоморфпэм.
еб. Свойетггва сепарабельтсвезс риешитрений Пгкдложхник 6. Если расширение Е поля К сепарабельно .над К, то всякое подрасгиирение расширения Е сепарабельно над К. Обратно, ес.ги Š— такое расширение поля К, что всякое его подрасширение конечного типа сепарабельно над К, то Е сепарабельно над К.
Предложение тотчас следует иэ определения 1, так как вся.кое подрасширение расширения Е, порожденное векторным подпространством конечной размерности, имеет конечный тип. СЕПАРАВЕЛЬНЬГЕ РАСШИРЕНИЯ Таким образом, можно говорить, что сепарабельяость является свойством «кояечаого характера». ПРедложение 7. Пусть Р— расширение поля К, Š— подрасширение полл Р. Если Е сепарабельно над К и Р сепарабельпо над Е, то Р сепарабельно над К.
Действительно, пусть аз †алгебраическ замыкание поля Р, Ь вЂ по элементов, инвариантных относительно всех К-автоьшрфнзмов расширения Й, М вЂ по элементов, инвариантных относительно Е-автоморфизмов поля й. Так как всякий элемент поля Ь инвариантен относительно всех Е-автоморфизмов полн Й, имеет место включение Е(Е)~М (рис. 2). По предположению, Рис. 2. поля Р и М линейно разделены над Е, следоватечьно, Р и Е(Е) линейно рааделены над Е, и так как, кроме того, Е н Ь линейно разделены над К, то Р и Ь линейно разделены над К (3 2, предложение 7), откуда, применяя теорему 2, получим предложение. Если поле Р сепарабельяо пад К, то р пе обязательно сепарабеаьпо аад любым я»Ересь«зрением поля Р (сы. "з 8, предложеапе 5). Например, если К вЂ по характеристики рьО, то поле Р=К (Х) рзциояальпых дробей от одаой переменной яад К сепарабельио яад К (предложепие 3), ио ие сепарабельпо иад подрасюярзяиеы Е=-К(Хг) (сы.
и' 3). й. л"ео рели,гз,едеххнда ТеоРемА 3 (Дедекннд). Пусть ьз — расширение поля К, Š— подрасширение П. Любое семейство (иь)хе'ь попарно раз.шчнмх К-изоморфизл»ов поел Е в Й состоит из линейно независимых (над й) отображений. Будем рассуждать от противного. Если отображения их линейно зависимы над й, то между ними существует первичное гл.
ч, $ т 14О поля соотношение ~ аьиь = О (гл. П, т 5, по 4); иначе говоря, ~ аьиь(х)=О для всех х~Е. Для любых элементов х~Е и у~Е, ь также ухЕЕ, так как Š— поле, откуда ~ аьиь (ух) = О, и так как иь — изоморфизмы полн Е, то Хп Ыи (х)=О при любых х и у, принадлежащих Е. Ото означает, что для всякого элемента уЕЕ элементы аь»ь(у) являются коэффициентами линейных соотноптеиий между отображениями иь.
Так как ч~~ ~аьиь= — Π— первичное соотношение, для любого элемента у~'Е существует такой элемент й(у)ЕЕ, что для всех )гЕЛ спраиедливы тождества пьиъ (у) = 0 (у) аь (гл. 11, Я 5, предложение 2). Следовательно, если р и т — различные индексы из Х такие, что а„Ф О и ач ~ О, то и„(у) = =и„(у) для всех уЕЕ в противоречии с нредположениеиь Следовательно, существует только один индекс 1> ~ Л такой, что па~ О, но из рассмотренного соотношения между иь вытекает тогда, что и„=-О, что невозможно. 3 а м е ч а н и е.
То же рассунгдонин применимы к более общему случаю, когда иь — ЯРедетоеления муяь>лияяияотиояого мояоодо л в поле й (снабженное только мультнпликативным аакопом); если отображения иь попарно равлнчны и отличны от нуля, то они линейно независимы в векторном пространстве йк отображений л в й. Пекдложкнив 8. Пусть П вЂ” алгебраически замкнутое расширение поля К, Š— подрасширение П конечной ппепе>еи над К. Число К-ивоморфигмов поля Е в й не превосходит степени Е над К. Для того чтобы оно бьсло равно степени поля Е над Х, необходимо и достаточно, чтобы расширение Е было сспарабельным над К. Первая часть предложения тотчас следует из теоремы 3, так как размерность над Я векторного пространства л (Е, Йл) равна [Е:К) (продлен>ение 1).
Если Е сепарабельно над К, то СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ множество ограничений иа Е К-автоморфизмов поля 'й имеет ранг [Е: К) над й, следовательно, состоит не менее чем иа [Е: К) элементов. Обратно, если существует [Е: К] различных К-изоморфизмов поля Е в й, то онн являются ограничениями на Е К-автоморфиамов поля й Я 6, следствие 2 из предложения 2) и линейно неаависимы над й (теорема 3). Ввиду теоремы т поле Е имеет ранг [Е: К) над полем Ь (й) злементов, инвариаитных относительно группы К-автоморфизмов поля й.
Этим доказано, что поля Е и Ь (й) линейно разделены над К ($ 2, и' 3), и следовательно (теорема 2), что расширение Е сенарабельно над К. 6. Сепарабельньсе алгебраические элементы Опгеделение 3. Пусть Š— расширение поля К. Элемент х рассииренил Е, алгебраический над К, называется сепарабельным иад К, если алгебраическое расширение К(х) сепарабсльно над К. Пгкдложенив 9. Пусть й — алгебраачески замкнутое расширение поля К. Длл того чтобы алгебраический элемент х Е й степени и над К был сепарабельным над К, необходимо и достатпочно, чтобы он имел и различных сопряженных элементов над К (или, что то же, ввиду предложения 3 $ 6, чтобы есе корни в й минимального многочлена элемента х над К быви проапыми). Действительпо (т 6, и' 2), число К-изоморфизмов расширения К (х)равно числу элементов, сопряженных с х, а степень поля К(х) над К равна и.
Следствие 1. Если элемент х~ й, алгебраический над К, является сепарабельным над К, то всякий сопряженный с ним над К элементп тпоже сепарабелен над К. Следствие 2. Если элемент х~й явллетсл простым корнем некоторого многочлена уЕК[Х], то х сепарабелен над К. Действительно, минимальный многочлен т элемента х над полем К делит у ($ 3, теорема з), следовательно, х — простой корень многочлена [, и то ясе верно для всех сопряженных с х (т 6, предложение 3). Следствие 3.
Ес.ви э.гемент хай алгебраичен и сепарабелен над полем К, то он сепарабелен над любым расширением Р полл К, содержаисемсл в й. гл. ч, 1 7 142 поля Действительно, х — простой корень своего минимального многочлена над К, принадлежащего кольцу Р(Х), Назовем многочлен кольца К (Х) сепарабельным, если все его корни в алгебраическом замыкании поля К сенарабельны.
Ввиду предложения 1 1 3, для того чтобы неприводимый много- член (~К(Х) был сепарабельным, необходимо и достаточно, чтобы 7йК(Хэ) (р — характеристика поля К). В частности, если К вЂ” поле характеристики нуль, то всякий непостоянный много- член кольца К (Х) сепарабелен. Нввдложзннв 10. Пусть й — алгебраически замкнутое расширение поля К. Пуста А — часть й, состояи(ая иг сепарабельных алгебраических элементов над К. Тогда К(А) — сепарабельное алгебраическое расширение поля К. Достаточно доказать, что дзя всякой конечной части Р поля К(А) поле К(Р) сепарабельно (предложение 6).
Так как каждый злемент части Р содержится в некотором расширении поля К, получаемом присоединением конечной части мноявества А, то все поле К(Р) содержится в поле К(В), где  — некоторая конечная часть множества А и, следовательно, можно ограничиться случаем, когда множество А конечно.
Итак, пусть (а;)1нвн„— некоторая конечная последовательность сепарабельных алгебраических элементов расширения й поля К. Будем доказывать индукцией по п, что поле К(а„аг, ..., а„) сепарабельно над К. Ввиду определения 3 предложение верно для п=1. Так как элемент а„сепарабелен над полем К (о„а„..., а„1) (следствие 3 из предложения 9), расширение К (ао аг, ..., а„) сепарабельно над К (а„..., а„,) (определение 3); но, по предполон|ению индукции, поле К(а„..., а, 1) сепарабельно над К, следовательно, и поле К(а„ам ..., а„) сепарабельно над К (предложение 7). Слвдствнь" 1. Для того чтобы алгебраическое расширение Е поля К было сепарабельным, необходимо и достаточно, чтобы все элементы поля Е были сепарабельны над К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
