Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 24
Текст из файла (страница 24)
3 а и е ч а и и я. $) Ввиду предложения 3 достаточно, чтобы условие определения б вьшоляялось для вовечимл и алгебраически свободных вад К частей А и йй расширения Е и г" будут тогда алгебраическп разделенными. Иначе говоря, достаточно, чтобы всякая пара расширений халечново типа К' и г' поля К, содержащихся соответственно в Е и Р, была алгебраически рааделеяа. Выражаясь образно, можно сказать, что алгебраическая разделевность явлпется свойством «ковечиого характера». 8« Гл.у, зб Иб поля 2) Понятие алгебравческв разделенных расширений существеяяо зависит от поля К: дза расширения К и Р поля К, алгебранчесяв раздеяеяяые яад К, яе обязаяы быть аягебрзячесяя разделеяяымя яад иоляолеи Кв поля К.
3) Ясяо, что если расшвреяяя Е я е азгебраяческя разделены над К, когда вх рассматривают как подрасшяреяия П, то ояв елгебраячески разделены, когда их рассматривают как подрас|пяревяя воля К(КЦР), я обратяо. Иэ определения 5 вытекает, что если по крайней мере одно из расширений Е и Р алгебраическое над К, то Е н Р алгебраически разделены над К. В частности, всякое алгебраическое расширение поля К является алгебраически разделенным с самим собой. Определение 5 показывает, что если расширения Е и Р алгебраически разделены над К, то поле ЕПР алгебраично над К, так как если элемент хгЕПР является трансцендентным над -К, то множество (х) оставляет непустую часть расширений Е н Р, алгебраически свободную над К, что противоречит определению 5.
Нгвдложвнив 9. Пусть ьз — расширение поля К, Е и Р— 'подрасширения ьз. Если поля Е и Р алгебраически разделены над К, то всякая часть М (соответственно Ж) расширения Е (соответютвенно Р), алгебраически свободнал над К, является алгебраически .свободной над Р (соответственно Е), Обратно, если суьцествует базис трансцендентности А расширения Е, алгебраически свободный над Р, то расширения Р, и Р алгебраически разделены над К. Действительно, предположим, что поля Е и Р алгебраически разделены над К и  — некоторый базис трансцендентности расширения Р.
Ввиду определения 5 и предложения 4 множество М алгебраически свободно над К(В), следовательно, и над Р, так как поле Р алгебракчно над К(В) (предложепие 6), Для того чтобы доказать вторую часть предложения, заметим, что если Л вЂ” часть распгирения Р, алгебраически свободная над К, то множество А алгебраически свободно над полем К(Ж), следовательно (предложение 4), множество )ч' алгебраическн свободно над полем К(А) (предложение 6). Наконец, если М вЂ” часть расширения Е, алгебранчески свободная над К, то множество )ч' алгебраически свободно над полем К(М), следовательно (предложение 4), МП)ч'=ф и множество МЦЛ алгебраически свободно над К.
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ Следствив 1. Пусть Е и Р— подрасширения расширения й, А — базис трансцендентности Е над К,  — базис трансцендентности Р над К; тогда поле К(Е()Р) алгебраично над К(А()В). Для того чтобы полл Е и Р были алгебраически разделены над К, необходимо и достаточно, чтобы пересечение А ПВ было пустым, а объединение А( ) — алгебраически свободным над К; тогда множество А() В образует базис трансцендентности расширения К(Е()Р) над К. Поскольку К(Е()Р) =К(А()В)(Е()Р), а всякий злемект расширеккя Е (соответствеино Р) алгебраичек яад К (А) (соответствекио К(В)) и тем более кад К(А()В) Я 3, предложение 2), то расширение К(Е()Р) алгебраичко кад К(АДВ) (з 3, предложение 6).
Если множество АПВ пусто, а А()В алгебраически свободно кад К, то А алгебраически свободно яад полем К (В) (предложение 4), следовательно, и кад полем Р, которое алгебраичио яад К(В) (предложение 6); поэтому поля Е и Р алгебраически разделены яад К ввиду предложения 9. Следствие 2. Если полл Е и Р алгебраически разделены над К, то алгебраические замыкания Е' и Р' расширений Е и Р в поле й (З 3, и' 3) алгебраически разделены над К. Действительно, всякий базис трансцендентности расшкреяия Е (соответствекко Р) иад К является базисом трансцендентности расширения Е' (соответствеико Р') кад К.
ПРедложеиие 10. Пусть (л — расширение поля К, Е и Р— подрасширения Й. а) Если алгебраическая размерность поля Р над К конечна, то йшеЕ(Р)<йшлР. Для того чтобы поля Е и Р были алгебраически разделены над К, необходимо и достаточно, чгпобы йшеЕ (Р) = йшлР. б) Если, кроме того, алгебраическая размерность Е над К конечна, то йшкК(Е()Р)~(йш Е+йшкР. Для того чтобы полл Е и Р были алгебраически разделены над К, необходимо и достаточно, чтобы йшкК(Е ЦР)=йш Е+йшкР. Действительно, пусть  — некоторый базис трансцендентности поля Р иад К. Тогда всякий элемент поля Р алгебраичен кад поля гл, ч.[б полем К(В) и, следовательно, над полем Е(В). Таким образом, расширение Е(Р) алгебраично над полем Е(В) (1 3, предложение 8); отсюда следует (теорема 2), что В содержит бааис трансцендентности поля Е(Р) над Е.
Кроме того, если множество В составляет базис трансцендентности расширения Е(Р) над Е, то ноля Е и Р алгебраически разделены вад К, и обратно (предложение 9), что докааывает а). Утверждение б) является непосредственно вытекающим из следствия 1 предложения 9. Читатель заметят аналогию между этим предложением и предлсжэвиэм 4 1 2 относительно линейно рээделэпаых расшвреээй (см.
упражэевэе 14). Понятие алгебраически разделенного расширения можно связать с понятием линейно разделенного расширения (2 2, и' 3). Действительно, пусть расширения Е и Р алгебраически разделены над К, и пусть А (соответственно В) — базис трансцендентности расширения Е (соответственно Р) над К. Тогда определения 1 и 5 показывают, что алгебры К[А[ и К[В) линейно разделены над К, и обратно, ввиду следствия 1 из предложения 9. Это равносильно (1 2, предложение 5) утверждению, что чистые расширения К(А) и К(В) линейно разделены над К. Из приведенных рассуждений легко выводится, что линейно разделенные расширения Е и Р ноля К тем более алгебраическн раздолены, однако обратное не верно, как показывает пример двух алгебраических расширений, совпадающих с К. Однако имеет место следующий результат: Пгвдложвнив 11.
Пусть Я вЂ” расширение поля К, Е и Р— подрасширения расширения й, алзебраичесни разделенные над К. Если Š— чистое расширение поля К, то поля Е и Р линейно разделены над К. Действительно, пусть  — чистый базис расширения Е. Так как Š— поле частных кольца К[В[, достаточно доказать, что кольца Р и К[В[ линейно разделены над КЯ 2, предложение 5).
Множество В алгебраически свободно над Р (предложение 9), следовательно, одночлены относительно элементов из В линейно независимы над Р. Так как зтн одночлены образуют базис (линейный) кольца К [В[ над полем К, то кольца К [В[ и Р линейно разделены над К ($ 2, п' 3). ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ Следствие. Всякое чистое расширение полл К линейно разделено со всяким алгебраическ м расширением поля К и, в частности, нв содержит алгебраических над К элементов и не совпадает с К.
Иначе говоря, поле К алгебраически замкнуто во всяком своем чистом расширении. У яр аж не пня. 1) Пусть Š— расширение поля К,  — бесконечный базис трансцендентности расширения Е над К. Доказать, что всякая часть С расширения Е такая, что Б алгебраично над К(С), имеет мощность яе меньшую, чем мощность бааиса В (для каждого элемента хо С рассмотреть его минимальный многочлен над К(В) и наименьшую конечную часть Ех базиса В такую, что коэффициенты этого многочлена првнадлежат К(гх); доказать, что В является объединением частей г"х). Вывести отсюда, что два произвольных бааиса трансцецдентности расширения Е поля К равно- мощны. Мощность базиса называется также стеяенью трансцендентности (или алгебраическое разлерзостью) расширении Е поля К.
2) Пусть Š— расширение поля й,  — базис трансцендентности Е над К. Доказать, что множество Е равномощно Кх В, если хотя бы одно пз множеств К, В бесконечно и счетно в противном случае (см. 4 3, упражнение 1 и гл. П, $1, упражнение 14). Вывестк отсюда, в частности, что всякий базис трансцендентности полн В действительных чисел над полем () рациональных чисел имеет мощность континуума., 3) Пусть К вЂ” поле С(Х) рациональных дробей от одяой переменной Х над полем О рациональных чисел. Доказать, что в кольце К [У) многочлен Уз+Ха+1 неприводим и что если Š— расширение поля К, порожденное корнем этого многочлена (в алгебраическом аамыкаяин поля К), то всякий элемент расшире ння Е, не принадлежащий О, трансцендентен над (Г, но Е не является чпстыы расширением () (чтобы доказать отсутствие в и элементов, алгебраических над (), заметить, что ввиду предложения 11 Е-=С (а)(Х), з([ д, а б Е, и обратить внимание на то, что элемент в (Х'+ 1) не явлнется квадратом в поле А (Х), где А †алгебраическ замыканае полн О).
Доказать, что если 4 †коре многочлепа хз+ 1, то Е (1) †чис трансцендентное расширение поля ()(1) (зпараметрическое нредставленне кривой второго порздказ]. з'4) Пусть К вЂ по С(Х) рациональных дробей от одяой переменной Х над полем (алгебраическн замкнутым) С комплексных чисел. Доказать, что в кольце К [У) многочлен Уз+Ха+1 яеприводим. Пусть Š— расширение поля К, порожденное корнем этого многочлена (в алгебраическом замыкании поля К). Доказать, что всякий элемент расширения Е, не принадлежащие С, трансцендентея гл.ч, $5 420 поля над С, но что Е не нвлнется чистым расширением С (чтобы установить это, доказать невозможность равенства из+ из+ ма= О, где попарно простые и ке все постоянные и„о, м — многочлевы кольца С[Х[. Для этого рассуждаем от противного.
Если г — наибольшая из степеней многочленов и, о, и н, скажем, дайм.=г, то вз соотношении из= — (и+о) (и+/о) (и+/зо), где /' и /з — корни третьей степени из единицы, вывести, что существуют трн многочлена и„он мв попарно простые и не все постоянные, имеющие степени меньше г и такие, чта и(+о(+и'=О)., *5) Пусть Š— трансцендентное расширение поля й, х — трансцендентный иад К элемент поля К; всякий элемент убК(х) можно записать в виде /(х)ь у(х)/й (х), где у и й — взаимно простые много- члены кольца К(Х[, однозначно определенные с точностью до множителя из полн К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
