Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Достаточно доказать, что если х~(1<вот) — конечное число различных элементов расширения М, уэ(1~(у'(и)— конечное число различных элементов расширения эч', то множество элементов х; и у; алгебраически свободно над К (предложение 3). Если это не так, то существует ненулевой много- член ~~К [Х„..., Х, У„..., У„) такой, что )(хн ..., х, уо ..., уь)=0. Пусть у=/(х1 ° ~ хьч У1 ° °, Уп) многочлеп кольца К (М) [Ун ..., У„]; тогда соотношение 1(х„..., х, у„..., у„)=0 можно записать в виде д(уг, ..., у„)=0.
Так как множество эч' алгебраически свободно над полем К(М), та калвдый коэффициент многочлена д равен нулю„но этн коэффициенты имеют вид <р(хп ..., х ), где ~р — многочлен кольца К [Х„..., Хч[. Так как эти многочлены не могут быть. все равными нушо и поле М алгебранчески свободно над К, мы снова приходим к противоречию. Слкдствик. Пусть Š— расширение полл К,  — часть расширения Е, алгебраически свободная над К. Есви элемент х ~ Е трансцендеитен над К (В), то множество В[ ](х) илгебраически свободно над К. Пгкдложкник 5. Пусть Š— расширение поля К.
Для того ипобы ~асть Ь расширении Е была илгебраичесяи свободной над К„ тглнсцкндкнтнык глсшигкния необходимо и достаточно, чтобы любой элемент х ЕЕ был трансцендентным над полезь К(ЛПС(х)). Условие необходимо ввиду предложения 4. Для того чтобы доказать, что оно достаточно, предположим, что опо выполнено, и будем рассуждать от противного. Если множество Ь алгебрапчески связано над К, то существует конечная часть М множества Л, алгебраическп связанная над К (предложение 3).
Пусть Х вЂ” максимальная алгебраически свободная часть множества М и Р=МПСЛ'. По предположению, Р не пусто, и всякий элемент х~Р алгебраичен над полем К(11') ввиду следствия из предложения 4; тем более элемент х алгебрапчен иад полем К(ЛПС(х)) (з 3, предложение 2), в противоречии с предположением. Пгздложкнив б. Пусть Š— расширение поля К, Л вЂ” часть расширения Е, алгебраически свободная над К. Если К' ~ Е— алгебраическое расширение полл К, то множество Ь алгебраически свободно над К'. Действительно, е противном случае существовал бы (предложение 5) элемент хЕЬ, алгебраический над полем К'(М), где М= Ь()С(х). Так как К'(М) =-К (М) (К') и всякий элемент иа К' алгебраичен над К и, следовательно, над К(М) (з 3, предложение 2), то К' (М) является алгебраическим расширением поля К(М) и, следовательно, х алгебраичен иад К(М) ($ 3, предложение 8) в противоречии с предположением.
Опнкдзлвнив 3. Часть В расширения Е поля К называется базисом трансцендентности расширения Е, если множество В алгебраически свободно пад.К, а поле Е алгебраично над полем К (В). Чистый банно чистого расширения поля К (определенно 2) является баансом трансцендентности такого расширения. Однако необходимо заметить, что вообще трансцендентное расширение полн К не обязано быть чистым (упражнвннн 3 а 4). Пгвдложгник 7. Пусть Š— расширение поля К.
Всякий базис трансцендентности расширения Е является максимальным глементом множества (упорядоченного по включению) частей расширения Е, алгебраически свободных над К. Обрапшо, если Я— часть расширения Е такал, что поле Е алгебраично над К(К), то всякая максимальная алгебраически свободная часть множества Я является базизом трансцендентности расширения Е. 112 гл. и, 1 б поля Первая часть утверждения немедленно вытекает из предложения 5, поскольку, если  — базис трансцендентности расширения Е над К, то всякий элемент хгЕ алгебраичен над полем К(В). С другой стороны, если Š— алгебраическое расширение поля К(Я), а  — максимальная алгебраически свободная часть множества Я, то ввиду следствия из предложения 4 всякий элемент х~Я является алгебраическим над К(В).
Следовательно (б 3, предложение 8), расширение Š— алгебраическое над К(В). Твогвмл 1 (Шткйниц). Всякое расширение Е поля К допускает базис трансцендентности над К. Иными словами, всякое рапиирение поля К является алгебраи ееским расширением некоторого чистого расширения. Эта теорема является следствием следующей более точной теоремы: ТеОРемА 2.
Пусть Š— расширение поля К, Я вЂ” часть Е такая, .что поле Е алгебраично над К (Я), Х вЂ” часть леножества Я, алгеброически свободная над К. Тогда сузцествует гпакой базис трансцендентности В расширения Е над К, что Х,С ВС Я. Действительно, множество $ алгебраически свободных частей множества Я, упорядоченное по включению, является множеством конечного характера (Теор. Мн., Рез., 1 7, п' 11) ввиду предложения 3. Следовательно, оно индуктивно (Теор. Мн., Рез., 7, п 9), а тогда индуктивно и множество Е алгебраически свободных частеи множества Я, содержащих Х,.
По теореме Цорна Е допускает максимальный элемент В, который является базисом трансцендентности расширения Е над К ввиду предложения 7. Заметим, что воли о" — конечное множество, то доказательство теоремы 2 проводится без всвогьзовавия аксиомы выбора. Слкдствик (вТвогвмл злмкныз). Пусть Š— рапиирение поля К, Л вЂ” такая часть расширения Е, <то Е алгебраично над К (Г), Х вЂ” алгебра ически свободная над К часть расширения Е.
Тогда сузцествует такая часть Я' множества Я, что объединение Х,()Я' является базисом трансцендентности расширения Е над К и Х,Г) Е = б. Действительно, Š— алгебраическое расширение поля К (Х ( ) Я) (1 3, предложение 2) н Х С Х ЦЯ. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРКНИН 3 а и е ч а я я е. Если Š— чисто траясцеядеятяое расширение поля К, У вЂ” глгебрзяческое расшяреяяе поля Е, отличное от Е, то Е вполне ь>ожет быть чисто трансцендентным расширением К (см. 1 3, и' ц пример 2).
3. Степень тпрансценденпгностн расъинреннн Ткогкмл 3. Если расширение Е поля К имеет конечный базис трансцендентности над К, состоя>ций из и элементов, то всякий другой базис трансцендентности рас>иирения Е над К состоит из п элементов. Достаточно доказать, что если  — базис трансцендентности поля Е над К, состоящий из и элементов, то всякий другой базис трансцендентности В' расширения Е над К обладает не более чем п элементами. Доказывать будем индукцией по и; при п=О расширение Е является алгебраическим над К, следовательно, всякий базис трансцендентности расширения Е над К пуст по определению.
Пусть х — некоторый элемент множества В; тогда существует часть С множества В такая, что объединение (х) () С составляет базис трансцендентности поля Е над К и х ц С (теорема замены). Поскольку Л вЂ” базис трансцендентности расширения Е, то С не может совпадать с В (предложение 7), следовательно, С состоит из не более чем и — 1 элементов.
Пусть К'=К(х) и С'=В'ПС(х), тогда множества С и С' алгебраически свободны над полем К' (предложение 4), и так как К' (С) = =К(В) и К'(С')=К(В'), то расширение Е алгебраично над К'(С) и К'(С'); иначе говоря, С и С' †д базиса трансцендентности расширения Е над К'. Так как С состоит из не более чем и†1 элементов, то, по предположению индукции, С' тоже состоит из не более чем и†1 элементов, следовательно, В' состоит из не более чем и элементов. Опгкдклкник 4. Пусть Š— расширение поля К, обладающее конечным базисом тринсоендентности над К. Число элементов базиса гпрансцендентности рас>иирения Е над К называется степенью трансцендентности или алгебраической размерностью расширения Е (над К) и обозначается >11ша1кЕ (или >11шкЕ, если не может возникнуть недоразумение).
Смешение, которое может проявойтя ме>яду этим понятием и пояятяем Ривлерносз>и расшяреяяя Е, рассмзтряваемого как 8 н. втрггкк поля гл. ч, 3 б векторное нрзстраксюво над К (т. е. (х 2) степенью Е над К), можно избежать, если помнить, что когда Е имеет конечную н отличную от нуля алгебраическую размерность над полем К, тогда оно имеет бесконечную размерность над К как векторное пространство (5 3, предложение 4). Расширение Е поля К, которое обладает бесконечным базисом трансцендентности над К, не может обладать другим конечным базисом трансцендентности над К (теорема 3); о таком расширении говорят, что оно имеет бесконечную степень трансценденпигости (или бесконечную алгебраическую размерность) над К. Когда говорят, что расширение поля К имеет алгебраическую размерность > ь над К, зто значит, что оно имеет конечную алгебраическую размерность ) и, или бесконечную алгебраическую разьгерность.
Иэ теорем 2 н 2 и опредечения 4 вытекают следующие следствия: Слкдствик 4. В расширении Е поля К алгебраической размерности и всякая сислгема образующих состоит иг не менее чем п элементов; если сугцествует система из и образуюи(их, то она является чистым базисом расширения Е (которое, таким образом, является чистым расиахрением поля К). В частности, расширение конечного типа поля К (3 2, определение 1) имеет конечную алгебраическую размерность над К.
Обратное не верно, как показывает алгебраическое расширение бесконечной степени. Слкдствик 2. В расширении Е поля К, алгебраической размерности гг, вслкал часть, алгебраически свободная над К, имеет не более чем и зле.кентов; алгебраически свободная часть, состоя- и)ая из и элементов, являетсл базисом трансцендентности.расширения Е над К. 3 а м е ч а н н н. () теорема 3 утверждает, что два базвса трансцендентности одного н того же расширении Е поля К являются рввнслвкгкыми, если один нз ннх конечен; в действительности утверждение верно н без этого ограничения (см, упражнение 1).
2) Читатель уже заметил аналогию между свойствами алгебранчеснн свободных частей (соответственно базисов трансцендентности) некоторого расширения' и свойствами свободных частей (соответственно базисов) векторных пространств, доказанных в гл. П, "т 3. 1х5 ТРАНСПКНДКНТНЫК РАСШИРЕНИЯ Мы подчеркивали зту аиалогию, копируя там, где было возможио, одно изложеяве с другого. Верочем, оба изложеяия можно вывести вз одной общей теории (упражпеиве »4). Тковкмл 4. Пусть Š— расширение по.гя К, г — расширение Е. Если одно из чисел г))шлГ, ЙЛшкЕ+Йшлг определено, то определено и другое, и йшг«Р = г))ш~Е+ д)ш~Р. (Ч Ввиду определения 4 эта теорема вытекает иэ следующего более общего предложения: ПРкдложкник 8, Пусть Š— расширение поля К, г — расширение Е.
Если М вЂ” базис трансцендентности расширен я Е над К, ст — базис трансцендентности расширения г" над Е, то пересечение МП)т' — пусто, а объединение МЦЛС составляет базис трансцендентности поля и" над К. Действительно, поле Е (г»') алгебраично над К (М Ц)т') = =К(М)()т), так как Е(ст)=К(МЦ)т)(Е), и всякий элемент расширения Е алгебраичен над К(М), следовательно, и над К(МЦгт') ($ 3, предложение 2). Тем самым (8 3, предложение 8) поле г" алгебраично над К(МЦ)т). С другой стороны, множество %, будучи алгебраически свободным над Е, тем более алгебраически свободно над К(М), следовательно (предложение 4) множество МЦ)т' алгебраически свободно над К и МП)т'=ф. «ь.
Алгебраичеоии разделеиньсе раси«иренин Опгкдклкник 5. Пусть ьс — расширение поля К, Е и Р— подрасширения расширения ьс. Подрасширения Е и г" называллпся алгебраически разделенными (над К), если, каковы бы ни были части А расс«пире»сия Е и В расширения Р, алгебраически свободные над К, пересечение А()В пусто, а объединение АЦВ алвебраически свободно над К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
