Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Заметим, что существование семейства (ЬД„гг элементов расширения ьг, алгебраически свободного над К', обеспечивается, в частности, когда К' =К и алгебраическая размерность Е конечна и не превосходит алгебраической размерности ьг (над К). Всякое расширение поля К, имеющее конечную алгебранческун» размерность над К, может быть, таким образом, погружено„ например, в единственное алгебраическое замыкание ьгг расширения К(Х„)ьгн поля К. Такое расширение называется универсальным расширением для расширений поля К конечной алгебраической размерности. Слкдствик. Пусть ьг — алгебраически замкнутое расширение поля К бесконечной алгебраической размерности над К.
Пусть Е; (1<с~и) — и расширений полл К конечной алгебраической размерноспш над К. Можно найти для каждого индекса 1 (1 <1 < и) выкай К-изоморфизм и; расширения Е; в ьг, что поле и» (Е») будет алгебраически разделено (над К) с подполем расширения ьг, порожденным и — 1 подполем и» (Е») с индексами ) Фг. Действительно, пусть  — базис трансцендентности (бесконеч~ый) расширения 1г над полем К. Для каждого индекса ь определим множество В; как часть базиса В, состоящего из такого числа элементов, какова алгебраическая размерность полн .Е; над К; выберем В; так, чтобы они попарно не пересекались.
Ввиду предложения 1 существует К-изоморфизм и» расширения Е; в Я такой, что В,— базис трансцендентности поля и»(Е») над К. Следствие вытекает теперь из э 5, следствия 1 из предложения 9. Пгкдложкник 2. Пуст» Я вЂ” алгебраически замкнутое расширение поля К, Š— подрасширение ьг, и — некоторый К-изоморФизм Е в й. Если существуют два равномощных базиса транс- 125 пгодолжвния изомогшизмоь з1ендентности расширения й над Е и над и(Е) соответственно, зпо и продолжается до К-автоморфизма поля И. Действйтельно, пусть  — базис трансцендентности поля й над Е, С вЂ” базис трансцендентности поля И над У=и(Е), равномощный В. Ввиду предложения 1 существует изоморфизм о поли Е(В) на Р(С), продолжающий и. Так как И вЂ” алгебраическое замыкание полей Е(В) и Р(С), то Я 4, следствие иа теоремы 1) существует изоморфизм ю расширения И в себя, продолжающий ш Поскольку ю(И) — алгебраическое замыкание поля Р(С), содержащееся в й, то ю(й)=й; зто показывает, что ю— К-автоморфизм поля И.
Слвдствив 1. Пусть И вЂ” алгебраически замкнутое расширение поля К, Š— подрасширгниг й. Всякий К-автоморфизм поля Е продолжается до К-автомсрфивма поля И. Слвдствив 2. Пусть й — алгебраичегки замкнутое расширение поля К, Š— подрасширение И конечной алгебраической размерности над К; тогда всякий К-изоморфизм и расширения Е в И продолжается до К-автоморфизма поля И. Действительно, пусть и — алгебраическая размерность поля Е над К; она совпадает с алгебраической размерностью полн а(Е) =Е над К. Следовательно, поле С=К(ЕЦЕ) имеет конечную алгебраическую размерность т <2п над К (1 5, предложение 10). Поле 6 имеет одинаковую алгебраическую размерность т — и над Е и над Р Я 5, теорема 4).
Пусть Л вЂ” базис трансцендентности поля 6 над Е, а В в базис трансцендентности поля С над Р. Для всякого базиса трансцендентности С поля й над 6 множества А() С и В() С будут базисами трансцендентности поля И над Е и Р соответственно (2 5, предложение 8), притом равномощными, так как базисы А и В равномощкы. Следствие вытекает теперь иа предложения 2. Это следствие перестает быть верным в случае яроиаоольяоео псдрасшяреяяя я расширения оо (унражненяе 2).
М. Сопрязюенньсе поля. Сопрпзосензеые эяементпы Опгкдвлкнне 1. Пусть И вЂ” алггбраичгски замкнутое расширение поля К, Е и Р— подрасширения расширения И. Подрасширения Е и Р называются сопряженными (над К) в поле И, если существует такой К-автоморфизм и расширения И, что 126 гл. ч, з б поля и(Е)=Г. Деа элемента х и у раензирения П нагыгаютея сопря женными над К, если существует такой К-агтоморфилм и расширения И, нпо и(х)=у.
Пусть и — некоторый К-автоморфизы поля П, А — произвольная часть П и Е=К(А); тогда значения и в Е полностью определяются значениями и в А и и(Е)=К(и(А)) (гл. 1Ч, з 3, следствие из предложения 2). В частности, если х и у — элементы поля П, сопряженные над К, то К (х) и К (у) — расширения поля К, сопряженные в Й. Разумеется, значения, которые может принимать К-ззтоморфизм и расширения (з длн элементов части А полн Е, не являются в общем случае произвольными (ем. предложение 3). Заметим, что отношение ах и у сопряжевыз язлязтсн отношением эквивалентности з з), классы, соответствующее этому отношению, являются аааееама антраавнтианости группы й-азтоморфизмоз расширения И (гл.
1, З 7, и' 5). Пгкдложкник 3. Для того чтобы элементы х и у расширения И были сопряжены над К, необходимо и достаточно, чтобы либо оба они были трансцендентными над К, либо оба алгебраическими над К е одним и тем же минимальным многочленом. над К. Условие необходимо, так как, если и — произвольный К-автоморфизм расширения й и если х — трансцендентный элемент (соответственно алгебраический) над К, то и элемент у=и(х) трансцендектен (соответственно алгебраичен) над К, поскольку для любого многочлена ) Е К (Х) выполняется тождество и (1(х)) = =)(и(х)). Это же соотношение показывает, что если элемент х алгебранчеи над К и ) — его минимальный многочлен над К, то у (и (х)) = О.
Следовательно, поскольку многочлен ) неприводим в кольце К [Х), то он является минимальным для элемента у= и(х) ($3, определение 1). Условие достаточно. Предположим сначала, что элементы х и у — трансцендентны над К (а в остальном произвольные). Поскольку отображение ) — ь) (х) (соответственно ) — +) (у)) поля К(Х) на К(х) (соответственно на К(у)) является К-изоморфизмом, существует К-изоморфизм и расширения К(х) на К(у) такой, что и(х)=у и этот К-изоморфнзм продолжается до некоторого К-автоморфизма поля П (следстепе 2 из предложения 2).
Следовательно, элементы х и у сопряжены над К. пРОДОлжкегия изомОРФизмовл1 Если же элементы х и р алгебранчны над К и имеют один и тот же минимальный многочлен 1, то существует некоторый К-изоморфизм поля К [ХЯ1) на К(х) (соответственно иа К(р)), переводящий класс Х по модулю (1) в элемент х(соответственно в у) (3 3, теорема 1); следовательно, существует К-изоморфиам и расширения К(х) на К(р) такой, что и(х)=у. Окончание рассуждения проводится, как выше.
Зтот результат показывает, что пояатие сопряженных элемеятов в данном расширения Е поля К является ввугоргввим, т. е. зависит только от структуры расшвреяяя Е, во яе от алгебравческв замквутого поля й, в которое вкладывается Е. Слздствнг.,((ля того чтобы элемент х~й был алгебраическим над К, необходимо и достаточно, чтобы число элементов, сопряженных с х над К, было конечным; зто число не превосходит степени х над К. Действительно, если элемент х трансцендентен над К, то все элементы х" (и †цел число, болыпео нуля) трансцендентны над К и, следовательно, сопряжены с х. С другой стороны, если элемент х алгебраичен над К, то число сопряженных с ним равно числу различных корней в поле ьг его минимального многочлена 1 (над К), т.
е. ие превосходит степени многочлена 1 (гл. 1Ъ', 3 2, теорема 2). 3 а м е ч а я и е. Пусть 6 — некоторое подрасшвревяе расширения Рн два злемевта г я у поля 6 могут быть сопряжекы язд К, во может яе существовать К-автоморфвзма поля С, переводящего г в у. 'Например, в поле действкгезькых чисел В элементы Р 2 я — г' 2 сопряжены яяд полем ~2 рациональных чисел, однако яе существует автоморфязмов поля Л, отличных ог тождесгвеяяого (Общ.
топал., гз. 1 5 3, упражяеяяе 3)., д. ХХормальиьюе угиееиыугеггигг Пгвдложкнив 4. Пусть Š— алгебраическое расширение поля К. Тогда всякий К-эндоморфизм и расширения Е является автолгорфизмом поля Е. Достаточно доказать, что и(Е)= Е.' Для каждого элемента х~Е обозначим символом Е„множество элементов поля Е, сопряженных с х над К. Множество Е„конечно для любого хЕЕ, и Е является объединением всех множеств Ею когда х пробегает Е. гл.ч, зб х28 поля Для каждого у~р„элемент и(у) сопряжен с у (следствие 2 из предложения 2), следовательно с х, откуда и(Р„)с Р, а так как множество Р„конечно, то отображение и взаимно однозначно, так что и(Р„) = Р„, следовательно, и(Е) = Е. Пгвдложкнии 5.
Пусть й — алгебраически замкнутое расширение поля К, Š— алгебраическое расширение К, содержащееся в П. Длл того чтобы всякий К-игоморфиэм поля Е в (е был автоморфиэмом Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого х~Е все элементы, сопряженные с х над К, принадлежали Е. Так как всякий К-изоморфизм поля Е в й продолжается до К-автоморфизма поля (е (следствие 2 из предложения 2), это условие необходимо. Оно является достаточным, так как для каждого К-автоморфизма и расширения й из этого условия вытекает включение и(Е) С Е (определение 1), следовательно, и(Е)=Е (предложение 4).
Опгздклвнив 2. Алгебраическое расширение Е поля К называется нормальным (над К), если всякий неправодимый многочлен кольца К[Х[, обладающий хотя бы одним корнем в Е, раглагается в произведение мнозсителей первой степени (не обязательно различных) в кольце Е[Х]. После того как введено это определение, из характеризапии сопряженных элементов (предложение 3) следует, что предложение 5 можно сформулировать в следующей эквивалентной форме: Пгкдложвкив 6. Пусть Я вЂ” алгебраически замкнутое расширение поля К, Š— алгебраическое расширение К, содержащееся в й. Для того чтобы всякий К-игоморфизм поля Е в ее былавтоморфивмом рапиирения Е, необходимо и достаточно, чтобы Е было нормальным над К. Можно сказать еще, что норыальное расширение Е~ Й поля К характеризуется тем, что совпадает со всеми своими сопряженными над К (определение з). На протяжении всего этого п' расширение Я будет (произвольным) алгебраически замкнутым расширением поля К и все расширения поля К, которые мы будем рассматривать, будут подрасширениями поля ье, Тнк как алгебраическое замыкание поли я н Ге является полем алгебраически замкнутым (З 4, следствие из предложении 1), то оно будет нормальным расширением поля й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
