Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 27
Текст из файла (страница 27)
пгодолжвния изомОРФизмон Пгвдложвннв 7. Пусть Л вЂ” нормальное расширение поля К, Š— подрасширение Л1. Веяний К-изоморфизм поля Е в й отобра- жаеуп Е вЛ' и может быть иродолжен до К-автоморфизма поля Л'. Действительно, всякий К-изоморфизм и расширения Е в й можно продолжить до К-автоморфизма поля й (следствие 2 из предложения 2), следовательно, ограничение его на поле Х является К-автоморфизмом этого поля (предложение 6). Пгкдложвнив 8. Пусть (У„) — некоторое семейапво нормальных расширений поля К. Пересечение ПХ„и поле К(()Л,), 1 6 порожденное объединением полей Ле„, являются нормальными расширениями поля К.
Действительно, пусть и — некоторый К-автоморфнзм поля ьс. По предположению, и (Л',) =Л', для всех ь, следовательно, полагая Л'= ()Л„имеем и(Л')= — Л', т. е. расширение Л1 нормально над К $ (предложение 6). Аналогично, пусть М=К(()Ф„); тогда и(М) порождается объединением полей и(Л1„)=Л'„следовательно, совпадает с М, так что М нормально над К. Из предложения 8, в частности, следует, что для произвольного алгебраического расширения Е поля К существует наименьшее нормальное расширение Л' поля К, содержащее Е, а именно пересечение всех нормальных расширений поля К, содержащих Е (они заведомо существуют, например, алгебраическое замыкание поля К в П). Будем называть Ж нормальным расширением, порожденным расширением Е.
Пгвдложвнив 9. Пусть А — некоторое множество алгебраических над К элементов расширения Р., и пусть  — множество сопряженных (над К) с элементами А элементов множества И. Тогда иоле К(В) является нормальным расширением поля К, порожденным К(А). Действительно, всякое нормальное распгиренне поля К, содержащее А, должно содержать В (предложение 5); кроме того, расширение К(В) нормально над К, так как для любого К-автоморфизма и расширения й, имеет место включение и (В) С В (определение 1), следовательно, и(К(В))=К(и(В))С К(В). Слвдствнв а. Пусупь Š— алгебраическое расширение поля К конечной степени; тогда нормальное расширение Ф поля К, поролсденное Е, тоже имеет навечную степень. 9 Н.
Бурбаки [3О гл. ч, 5 6 поля Действительно, В=К (А), где'А — некоторое конечное множество ($ 2, и' 2), следовательно, множество В элементов, сопряженных с элементами А, конечно, и следствие доказано Я 3, предложение 5). Слкдствик 2. Всякое нормальное расширение Л> поля К является объединением нормальных подрасширений расширения >>( конечной степени над К.
Действительно, >>> — объединение расширений К (А), где А пробегает мно>ьество всех конечных частей расширения У ($ 2, следствие из предложения 3). Тем более )>> является объединениеы нормальных расширений, порожденных этими расширениями. Слкдстник 3. Пусть ()>) — некоторое семейство многочленов кольца К[Х[, А — множество их корней в поле ье; тогда К(А)— нормальное расширение поля К. Действительно, множество элементов, сопряженных с элементами А, совпадает с А (предло>кение 3). В частности, поле корней (т 4, и' 2) ыногочлена ) ~К [Х[ есть нормальное расширение поля К.
Мы уже отмечали (1 4, н' 2), что поле К(х„хз, ..., х„), лорожденноз корнями х; (1 < ь К, и) многочлена р', вообще говоря, отлично от поля К(х;), порожденного только одним нз корней (упражнение 7). Если / ненрнводнм н К(х;) совпадает с К(х„хз, ..., х„) для некоторого индекса б то к(хз)=-к(х>) лля всех остальных индексов >', тзк как поле К(х>) сопряжено с К(хе), В атом случае уравнение ) (х) =О называют нормальным уравнением над К. 3 а и е ч а н и е. Если Š— нормальное расширение поля К„ а Š— нормальное распткрение поля Е, то Р не обязательно является нормальным расширением К. Действительно, К-автоморфизы и расширения ьз переводит в общем случае минимальный многочлен над Е элемента хЕР в другой многочлен кольца Е [Х[ и, следовательно, не переводит х в сопряженный с х над Е.
Таким образом, элемент и (х) не обязан принадлежать полю Е (упражнение 7); в этом случае Р и и(Р) — различные нормальные расширения поля Е, которые К-изоморфны, но не являются Е-изоморфными. Укра ж не ни н. 1) Пусть (е — алгебранческн замкнутое расжнреанз поля К, имеющее бесконечную алгебраическую размерность над К.
Доказать существование бесконечного множества пгодопжвиия изомогшизмов К-эндоморфизмов П на подполя П, отличные от Я, и по отношению к которым поле П имеет произвольную алгебраическую размерность, не превосходящую его размерности над К (з 5, упражнение 1). 'В частности, существует бесконечное множество различных изоморфиамов поля С комплексных чисел на подполя С, отличные от С., 2) Пусть Г) — алгебраически аамкнутое расширение поля К и Š— подрасширение П. Доказать, что если Е имеет бесконечную алгебраическую размерность над К, строго меньшую алгебраической размерности поля П над К (з 5, упражнение 1), то всякий К-иаоморфиам поля Е в П можно продолжить до К-автоморфизма поля Я. Дать пример расширения Р, имеющего ту же алгебраическую размерность, что П, и К-изоморфизма полн Е в П, который нельзя продолжить до К-изоморфиама (в П) никакого расширеяия поля Е, содержащегося з П и отличного от Е (см.
упражнение 1). 3) Пусть () — алгебраически аамкнутое расширение поля К конечной алгебраической размерности вад К. Доказать, что всякий К-эндоыорфнзм поля П является К-автоморфизмом. 4) Пусть 12 — алгебраически аамкнутое расширение поля К, Р— подрасшнрение поля И, трансцендентное вад К. Доказать существование бесконечного множества К-изоморфизмов поля Е в П (пусть элемент х б Е трансцендевтев вад К; рассмотреть подрасширенне Р расширения Р такое, что х трансцендентен вад Р, а Е алгебраично яад Р (х), доказать существование бесконечного множества Р-изоморфнзмов поля Е в О). *5) Пусть П вЂ” алгебраически замкнутое расширение поля К, Л' — подрасширевие полн П. Доказать, что если Лг нормально над К н если Р, и Е' — сопряженные расширения поля К, содержащиеся в П, то полн Л'(Е) в Ф(Е') сопряжены над К.
Обратно, если ЛГ обладает этим свойством и имеет кояечную алгебраическую размерность, строго меньшую алгебраической раамерности поля П над К, то Š— нормальяое алгебраическое расширение поля К. б) Всякое алгебраическое расширение У поля К, порожденное множеством элементов, каждый из которых имеет степень 2 вад К, язлнетсн нормальным над К. '7) Многочлен Хз — 2 неприводим з кольце 0 [Х). Пусть а- один из его корней. Доказать, что многочлен Хз — а неприводнм над полем Е=О (а); пусть р †од вз корней этого мвогочлева, и пусть Р=Р ф)=С(5). Доказать, что Р не валяется нормальным расширеянем поля () (доказать что многочлен Ха+1 неприводим над Р).
Каково нормальное расширение поли (), порожденное Р), *8) а) Доказать, что если рациональная дробь Ь 5 К(Х) удовлетворяет уравнеяию вида Ьз+ ~~~ ~7;Ь"-з=о, где г'; — многочлены кольца К[Х), то ЬбК[Х) (записать Ь=и/з, где и и ы — взаимно простые многочлены; если и не постоянный многочлен, то рассмотреть корень ы з П).
гл. т, 1 7 1З2 поля б) Пусть Р— такое расширение поля К, что К алгебраически замкнуто н Р. Доказать, что ноле К(Х) алгебраически замкнуто н Р(Х). (Если элемент кб Р(Х) алгебраичен над К(Х), то сначала доказать с помощью а) существование многочлена Еб К[Х] такого, что элемент Ь=ем янляется многочленом кольца Р [Х]. Пусть Р— алгебраическое замыкание поля Р н П, и пусть И=~ ауХ>, г О где а.б Р.
Для каждого К-антоморфизма и расширения Р доказать, что алемент ~ н(ат) Х) сопряжен с Ь над К(Х) и, используя ) 0 предложение 3, вывести отсюда, что коэффициенты а принадлежат полю К.) н) Пусть Л и Р— расширения ноля К, алгебраически разделенные над К, и Ь вЂ” алгебраическое аамыкание поли К л Р. Вынестн. из б), что если Л вЂ чис трансцендентное расширение поля К, то К (1) — алгебраическое замыкание поля К н К (Р). (Снести к случато, когда К=А и К имеет конечную алгебраическую размерность над К (см. 1 5, упражнение (О и 1 9, упражнения 2 и 3).) й 7.
Сепарабельные расширения Х. Теорема Артптлна Пусть И вЂ” поле. Для всякой части У поля И ьшожество у'(У,й)=й отображений У в И снабжено структурой векторного пространства над И, относительно которой произведение аи элемента а~И и отображении и части У в й является отображением х-+аи(х) (гл. П, 9 1, п' 4). Рангом над И части множества ~'(У, И) является, таким образом, размерность векторного подпространства в Я- (У, И), порожденного этой частью (гл.
11, 3 3, п'2). Поле И обладает структурой векторного пространства над К. Мы будем обозначать символом И„множество И, снабженное только этой структурой векторного пространства. Когда мы будем говорить об автоморфигмах И, то речь будет идти всегда об автоморфизмах структуры поля И. Пт кдложвник 1. Пусть К вЂ” некоторое подполе поля й, У вЂ” векторное подпроетпранство пространства Ил размерности и (над К). Тогда совокупность Ж (У, Ил) всевозмоленых К-линейных СЕПАРАБЕЛЬЫЫЕ РАСШИРЕНИЯ отображений пространства У в й» является векторным пространством размерности и (над й).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
