Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Прежде всего, ясно, что если и — К-линейное отображение пространства У в й», то аи для любого а бй также будет К-линейным отображением пространства У в й» и, следовательно, Х(У, й») является векторным подпространством пространства .т. (Г, й). Пусть (а;)Ряз „вЂ” базис пространства Р над полем К, и пусть и, (1»й3 <и) — линейные отображения У в й», определяемые условиями и;(аз) = бп (символ Кронекера). Эти отобрап жения линейно независимы, так как соотношение ~~Э ~азиз(х) = О ь-1 для всех хЕ$', примененное к х=ая влечет аз=О.
С другой стороны, пусть и — произвольное линейное отображение пространства $' в й», полагая и (а;)=()~ (1 <1~(п), получаем, что отобРах'ение и — ~~э ~Рань Равно нУлю длЯ всех ая следовательно, А=1 равно нулю на Ф', т. е. и= ~~ рьиь. Таким образом, отображеь=1 ния и; (1<ь'.Оп) образуют базис пространства о($', й») над полем й. Следствие.
Ранг (над й) множества ограничений на У всех К-автоморфизмов поля й не превосходит размерности пространства Г над полем К. Действительно, ограничение на т' любого К-автоморфиэма поля й является К-линейным отображением пространства )л в й». Напомним, что для всякого множества автоморфиэмов Ф поля й множество элементов этого поля, инвариантных при всех автоморфизмах исФ, является подполем й и называется полем инвариантов относительно Ф (гл. П, $5, и' 6). ТеоРемА 1 (Лгтин). Пусть й — поле, 3 — множество его автоморфизмов, обладающее следующими свойствами: 1 если ибо и РЕ;т, то и исаа У; 2' тождественный автоморфизм принадлежит У. 11усть К вЂ” поле, инвариантов относительно Для того чтобы часть Р поля й имела конечный ранг и над полем К, необходимо и достаточно, чтобы множество Ут ограничений на К элементов множества У имело ранг и над полем й.
Можно ограничиться случаем, когда У вЂ” векторное подпространство пространства й». В самом деле, пусть Уг — векторное 134 гл. », 17 поля подпространство йя, порожденное множеством»'; тогда, для того чтобы некоторое К-линейное отображение и части»' в поле й было нулевым, необходимо и достаточно, чтобы и(х) = 0 для всех х~у.
Следовательно, ранг множества Б» над полем К равен рангу множества У», над К. Пусть теперь»' — векторное надпространство пространства йл конечной размерности т над К. Ввиду следствия из предложения 1 множество У» имеет ранг, не превосходящий и. Остается доказать, что если У вЂ” векторное надпространство пространства йл, для которого множество У» имеет конечный ранг и над й, то У имеет размерность над К, не з!еньшую п. Пусть (Ь;) (1~<! <и+1) — семейство из л+1 произвольных элементов пространства р. Мы покажем, что зто семейство связано в йк, что и будет доказательством нашего утверждения.
Пусть Ф— векторное пространство на йл, порожденное мноя(еством У». Рассмотрим линейное отображение и — ь(и(Ь!)) пространства Ф в векторное пространство й"+'. Ранг этого отображения не превосходит п, так как размерность Ф равна н; образ И' пространства Ф при этом отображении, следовательно, является подпространством пространства й"+', отличным от й«!!. Для любого автоморфиэма о~У обозначим символом о отображение пространства й'е' в себя, определяемое соотношением и((х!)) =(и(х;)).
Для всякого элемента и~А имеем тогда и((и(Ь!)))=(о(и(Ь!))). Но о «и ~ Ф, ибо и есть ограничение на У отображения ~~, аьию где иьЕУ, следовательно, и«и совпадает с ограничением ь на Р отображения ~ и(а!)(а и!) и, по предполоя!ению, и«их~ л. ь Таким образом, по определению И', мы имеем и(И')С И" для всех оба. Отсюда следует, что подполе й, связанное с И~ (для канонического базиса пространства й«") содержится в поле К инвариан!лов относительно л (гл.
П, $ 5, предложение 10). Итак, существует система уравнений, определяющих И' с коэффициентами в поле К (гл. П, $5, теорема 2), и так как И'Ф й"'!!, то существует семейство ф)!и!<„!.! элементов из К, «+ ! из которых не все равны нулю и таких, что ~, 'р!и(Ь!) = 0 1=! для всех и б Ф. Взяв в качестве и ограничение на У тождест- 135 СЕПАРАЕЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ венного автоморфизма (который, по предположению, принадлеотг жит л), мы получим ~~ ~гЬ; = О, что и завершает доказательство. г=1 Эту теорему легко распространять на провзвольные мекеммутеюкемые тела (упрвжнонне 2); тогда она оказывается обобщеннем теоремм Зб) гл. 11, 1 5, откуда мы скопкровалн доказательство.
2. Сезгарабельные расширения Пусть Š— некоторое расширение поля К, Я вЂ” алгебраически замкнутое расширение поля Е. Следствие из предложения 1 показывает, что для любого подпрострвнства У пространстваЯ», содержащегося в Е и имеющего конечную размерность, множество ограничений на У всех К-автоморфизмов поля Я имеет ранг (над Я), нв превосходящий размерности пространства У (над К). Опгкдкленик 1. Расширение Е поля К называется сепарабелы ным (над К), если существует алгебраически замкнутое расширение Я поля Е, обладающее следующим свойством: (б) Для всякого векторного подпространства У пространапва Я», содержащегося в Е и имеющего конечную размерность, множество ограничений на У всех К-автоморугизмов полл Я имеет ране (над Я), равный размерности У (над К). Ввиду предложения 1 это равносильно утверждению, что для всякого векторного подпространства У ~ Е конечной размерности над К любое К-линейное отображение пространства У в Я» является линейной комбинацией (с коэффициентами в Я) ограничений на У К-автоморфиамов поля Я.
Ззмечанне. Условие сепарабольностн К над К выражается еще следующим образом: для произвольной свободной над К системы, состоящей нз конечного числа л элементов е; расширения К(1<1<о), сУществУет л К-автомоРфнзмов ог РасшиРениЯ гг (1 < < 1< л) таких, что определитель г)ег(кг (ез)) не равен нулю. Действительно, пусть У вЂ векторн подлростренство поля К, порожденное злсментамк еь Размерность пространства У над полем К равна л, н предыдущее свойство означает, что система уравнений Цм;(ез)=0 (1< у <в) имеет только тривиальное решенно в 1), г=г т.
е. что ограанченнл и, на У лннейно неэавнсимы над 1г. гл, т,17 136 поля Ткогвмл 2. Для того чтобы расширение Е поля К было сепарабельным >сад К, необходимо и достаточно, чтобы в алгебраическом замыкании Иг поля Е поле Е было линейно разделено (над К) с полем инвариантов относительно группы К-автоморфизмов поля Ив. Если зто условие выполнено, то всякое алгебраически замкнутое расширение И поля Е обладает свойством (Е).
Действительно, пусть И вЂ” алгебраически замкнутое расширение поля Е, А(И) — поле элементов, инварианткых относительно группы К-автоморфизмов поля И. В силу теоремы 1 свойство (Ю) означает, что для любой конечной части расширения Е ранг атой части над К равен рангу ее над Л(И), иначе говоря, всякая часть расширения Е, свободная над К, является свободной над Ь(И). Это в свою очередь означает, что поля Е и Л(И) линейно разделены над К Я 2, и' 3). Пусть Иг — алгебраическое замыкание расширения Е в поле И; теорема будет доказана, если мы докажем, что Ь(И) =Ь(Иг).
Но это вытекает из следующего более точного результата: Пгкдложвкив 2. Пусть И вЂ” алгеброически замкнутое расширение поля К, и пусть К вЂ” алгебраическое замыкание поля К в И; тогда Е (И) = Х (К). Действительно, всякий элемент х Е Л (И) алгебраичен над полем К Я 5, следствие из предложения 3), следовательно, принадлежит К. С другой стороны, всякий К-автоморфизм поля К продолжается до некоторого К-автоморфизма поля И Я 6, следствие 1 из предложения 2), следовательно, х должен быть иявариантным при всех К-автоморфиамах поля К, так что Ь (И) с ' Л (К).
Обратно, поскольку К вЂ” алгебраическое замыкание поля К (1 4, следствие из предложения 1), оно является нормальным расширением К, следовательно, ограничение на К всякого К-автоморфизма поля И есть автоморфизм К (1 6, предложение 6). Поэтому всякий элемент поля Л(К) инвариантен прн всех К-автоморфизмах поля И, чем завершается доказательство тождества Ь(К) =Л (И). Мы уточним этот результат в $ 8, п' 1, полностью описав поле Л(К). Сейчас ыы можем сказать, что поле Л(К) состоит 15т СЕПАРАВЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ из тех алгебраических над К элементов, которые совпадают со. всеми своими сопряженными (т. е.
из алгебраических элементов, минимальный многочлен которых над полем К имеет тольвоодин корень). 3. Прмягерьс сепарабельнесзс раешмренмтв. Соверыгеггиеге тьоля Пгедложение 3. Всякое чисто трансцендентное расширение поля К является сспарабгльным над К. Действительно, известно Я 5, следствие из предложении 11), что такое расширение Е линейно разделено со всяким алгебраическим расширением поля К, и в частности, с полем инвариантных элементов Х (К) относительно группы К-автоморфизмов. алгебраического аамыкания К поля К в алгебраическом замыкании Яв поля Е.
Следовательно, предложение вытекает из теоремы 2 и предложения 2. Опгеделенне 2. Поле К называется совершенным, если оносовпадает с множсстволс олсментов, инвариантных относительно группы К-автоморфизмов алгебраического замыкания поля К. Пгедложение 4. Если поле К совершенно, то всякое его расширение сепарабельно (над К); обратно, если всякое алгсбраичесное рас~аирение поля К сепарабсльно, то К вЂ” совергиенное поле. Предложение является следствием теоремы.2 и предложения 2. Пгедложение 5. Для того чтобь| поле К, имеющее хараетсристическую экспоненту р, было совершенным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие К"=К.
Условие необходилш: действительно, пусть Я вЂ алгебраическ замыкание поля К, х †произвольн элемент поля К, у †так элемент поля 1г, что у" =х. Дяя любого К-автоморфизма и расширения Й имеем (и(у))"=х и, следовательно, (и(у))"=у", откуда и(у)= у (1 1, предложение 1). Поскольку поле К совершенно, у~К, т. е. Ко=К. Условие достаточно: действительно, если оно выполнено, то подкольцо К]ХР] кольца К]Х] равно КР]ХР], следовательно, совпадает с (К]Х])" Я 1, предлонсенке 2). Пусть элемент х~(2. инвариантен относительно всех К-автоморфизлгов ноля й, тогда х алгебраичен пад К, и его минимальный многочлен ~ над К гл.ч, 17 й38 поля .не имеет других корней, кроме х. Если хйК, то многочлен у ,должен иметь степень больше 1, следовательно, иметь кратный корень.
Это невозможно при р=1. а при р) 1 из этого вытекает включение ~~К [Хэ] (б 3, предложение 1), но, как было только что замечено, тогда (=бэ, где К~К]Х], что невозможно, так как ~ иеприводим. Слкдствии, Если поле К конечно или алгебраически замкнуто .или имеет характеристику нуль, то оно совершенно, В саст.ности, всякое простое поле совершенно. Следствие очевидно в случае, когда поле К имеет характеристику О, так как отображение х-+хв (р — характеристическая экспонента поля К) является тождественным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
