Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Для того чтобы семейство М было р-независимо над К, необходимо и достаточно, чтобы любая ковечнан часть семейства М была р-независима над К. в) Часть М расширения Е поля К назовем р-бввнсом (или бвеисоя несовершенство), если семейство М р-независимо над К и если Е=К(ЕР) (М). Пусть Ю вЂ” такая часть Е, что Е=-К(ЕР) (Ю), М— часть множества 8, р-независимая над К; доказать существование такого р-базиса В расширении Е над К, что Мс Вс;Е (см.
$5, упражнение 14). г) Длн того чтобы конечное семейство (хс)зчт<г Различных элементов расширения Е было р-независимо над К, необходимо и достаточно, чтобы элементы е, =хчгхчз ... хтг (О < чз< р для тгчз ° ° ° чг 1 2 ''' г всех е) были линейно независимы над полем К(ЕР). В частности, для того чтобы расширение Е имело р-бааис из г элементов, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (Е: К(ЕР))=р'. Назовем г-степенью несовершенстве поля Е над К. Если г=О, з52 гл. у, 18 поля то есть К (Ег)=Е, то расширение Е называют относительно созершемиыя над К (например, алгебраическое и сепарабельное вад К расширение Е относительно совершенно яад К).
*2) а) Пусть Š— некоторое расширение полн К характеристики р) О,  — р-базис поля Е над К (упражнение 1в)). Доказать, что ь для любого неотрицательного целого числа й Е=-К(Е" ) (В). б) Предположим, что Е~К" ". Для тогочтобы степень(Е:К) была конечной, необходимо и достаточно, чтобы степень несовершенства те расширения Е над К (упражнение 1 г) была конечной. Таким образом, те — минимальное число образующих поля Е над К.
а Если те — степень несовершенства поля К(Е" ) над К, то таю < тд дпя ВСЕХ в; ПОЛОЖИМ /= Я та', тОГда (Е: К)=РГ. а в) Предположим, что Е с К", и пусть Кс — такое подполе поля К, что Е сеиарабгльвс над Кз. Доказать р-независимость семейства Вэ вад Кс. (Заметить, что если (аь) — базис поля К над Кс, то (авь) — базис поля Ка(Кс) над Ко.) Пусть С вЂ” часть поля К без общих элементов с Вв и такая, что множество ВэЦС является р-бааисом поля К над Ке. Доказать, что объединеяие В()С составляет Р-базис поля Е над Ко.
г) Опять предположим, что Е с К" и что поле Е сепарабельпо над подполем Кс поля К. Доказать, что если степень несовершенства поля К над Ке конечна, то Е имеет ту же степень несовершенства, что К над Ко (использовать в)). еЗ) Пусть Š†расширен яоля К характеристики р )О, Р— расширение поля Е. а) Если  — р-базис поля Е над К, С вЂ” р-базис поля Р над Е, то существует р-базис поля Р над К, содержащийсн в В()С. б) Если Р— сепарабельное расширение поля Е, то любые два иэ следующих предложений влекут третье: а) семейство В образует р-бааис поля Е над К; ()) семейство С образует р-бавис поля Р вад Е; у) семейство ВЦС образует р бааис поля Р над К и В()С= ф (воспользоваться тем, что если (с„) — бааис ноля Р над Е, то (св) образует базис полк К (Рг) над К (Еэ) и базис поля Е'(Рг) вад Е).
*4) Пусть К вЂ” поле положительной характеристики р, Š— некоторое расширение поля К и Р— расширение конечяого типа поля Е. Докааать, что если степень яесовершевства полн Е над К конечна, то она не меньше степени несовершенства поля Р над К (свести к двум следующим случанм: 1' Р сепарабельно над Е, 2' Р=-Е(з), где эв бЕ). ьб) Пусть К вЂ” несовершенное поле, Š— алгебраическое расширение.поля К конечной степени.
Для того чтобы Е было простым РАДПКАЛЪНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 153 расширением поля К, необходимо и достаточно, чтобы его степень несовершенства вад К была равна О или 1 (для доказательства достаточности заметить, что если Ее — наибольшее сепарабельное расширение поля К, содержащееся в Е, то (К=Ее(а) н Ье — — К(6). и доказать, что можно найти злемент Х РК такой, что Е=К(а+()е), поскольку поле К бесконечяо). 6) Пусть Ь' — расширение конечной степени поля К.
Пусть г ) О— степень несовершенства поля Е вад К; доказать, что г †наименьш число образующих поля Е над К (длв того чтобы доказать, что Е порождается г злемеитамн, заметить, что если Ез †наибольш сепарабельное расширеяие поля К, содержащееся в Е, то существует г Элементов а; (1(1 ~г) таких, что В=Ее(зо ..., а„), и использовать упражнение 5). Вывести отсюда, что для того чтобы всякое алгебраическое расширеяне кояечной степеви поля К характеристики р)О было простым, необходимо и достаточно, чтобы степень несовершенства поля К вад КР была равна О или 1. 7) Пусть Р— сепарабельное расширение поля К.
Если поле Е< Р лвляется относительно совершеняым расширением полн К, то доказать, что Р сепарабельно вад Е. 8) Пусть К вЂ по положительной характеристики р ) О. Если Š†относитель совершенное расширение поля К или алгебраическое расширевве поля К, то ЕР =Е (К" ) (во втором случае использовать радннальносгь Е над яаибольшнм сепарабельяым расширением Ее поля К, содержащимся в Е).
9) Пусть К вЂ” поле положительной характеристики р, Š— еенарзбеаьнее расширение пола К,  — р-базис поля Е над К. а) Доказать, что семейство В алгебраически свободно над К (рассмотреть алгебраическое соотношение каименьшей положительной степени между элементами В н представить степени переменных, которые в яем участвуют, з виде йр+й, где ОЧ;й < р — 1).
Вывести отсюда, что если Е имеет конечную алгебраическую размерность над К, то степень весовершеяства Ь' яад К не превосходит алгебраической размерности Е над К. б) Докааать, что поле Е сепарабельно и относительно совершенно яад полем К (В). 19) Назовем базис трансцендентности В расширения Е поля К еенарнбеяьныл, если поле Е являетсн алгебраическим сепарабельным расширением поля К(В) (см.
1 9, в' 3). Для того чтобы расширение Е полн К положительной характеристики р и конечной алгебраической раамерности над К допускало сепарантный базис трансцендентяости над К, необходимо и достаточяо, чтобы поле Е было сепарабельно нзд К и его степень несовершенства над К была равяа его алгебраической размерности над К. а аким образом, всякий р-базис полн Е над К является сепарабельвмм базисом трансцев- гл.ч, зй а54 полн девтвости поля Е вад К (использоаать упражнение 9б) и упражнение Зб)). 11) Докааать, что относительно совершенное трансцендентное расширение Е пола К положительной характеристики р ве мок<ет иметь конечный тип над К.
(Доказать, используя предложение 4, что з противном случае для любого базиса трансцендентности В расширения Л яад К расширение Е сепарабельво над К (В).) 12) Пусть К вЂ” поле положительной характеристики р, Š— сенарабеаьнае расширение К канечнгй алгебраической размерности. а) Если существует некоторый базис трансцендентности Те расширения Е над К и неотрицательное число т такое, что К(Еа ) сепарабельно вад К(Та), то доказать, что для любого базиса трансцендентности Т расширения Е над К существует такое неотрицательное число а)~0, что поле К(Еа ) сепарабельно вад К(Т).
б) Вывести отсюда, что если выполнено условие а), то Л допускает сепарантный базис трансцендентности над К (есть В есть р-базис полн Е вад К, 8 †баз трансцендентности полн Е над К, содержащий В (упражневне 9а)), то, используя упражнение 96), доказать, что 8 — сепаравтвый базис трансцендентности). 13. Пусть К в несовершенное поле характеристики р и а †элемент, травсцеядентнмй над К. Доказать, что объединение Е расширений К (аа ) поля К является сепарабельным расширением К алгебраической размерности 1, не допускающим сепарантвого бааиса трансцендентности над К. * 14) Пусть Л вЂ расширен поля К, à †расширение по Е, а) Если поле Е допускает сепаравтвый базис трансцендентности вад К и если Р допускает сена базис трансцевдевтности над К, то поле Р допускает сепараятвый бааис трансцендентности иад К.
б) Если поле Р допуснает сепаравтвый базис трансцендентности вад К и если Л имеет конечную алгебраическую размерность над К, то поле Л допускает сепарантный базис трансцендентяости над К (сзести к случаю, когда р имеет конечную алгебраическую размерность над К и применить упражнение 12). з) Если Р допускает сепарактный базис трансцендентности вад К и сепарабельно над Л, то поле Р допускает сепарабельный базис трансцендентности над Е (использозать упражнение 12). 15) Пусть К вЂ по положительной характеристики р и степени несовершенства над К", равной 1. Для того чтобы расширение Е поля К было сепарабельно над К, необходимо и достаточно, чтобы поле Л не содержало никакого радикального над К элемента, не принадлежащего К (если злемент а поля К образует базис поля К яад Кг, то доказать,что поля Ка =К (аг ) и Е линейно разделены вад К). 155 ДИФФВРВНЦИРОВАПИЯ В ПОЛЯХ 16) Пусть ( — унитарный непрнводимый многочлен кольца К(Х), К вЂ по положительной характеристики р. Доказать, что з кольце К[Х) многочлен )(ХР) непрвволим вли явлнется р степенью непризодимого многочлена в зависимости от того, существует или нет козффициент многочлена 1, яе принадлежащий полю К".
з17) Пусть Кс — поле характеристики р)2, и пусть К вЂ” лоле рациональных функций Ке (Х, У). Рассмотрим алгебраическое расширение К=К(()) поля К, порожденное корнем б многочлена ((Я)= =Я~Р+ХЯР+У в кольце К[Я). Доказать, что поле Е не сепарабельно нал К, но не содержит радикальных над К злементоз, не приладлежащих К (см. упражнение 16). (Заметить сначала, что много- член [ неприводкм в кольце К[Я); если существует такой элемент [) б Е, что ()Р бК, 6 4 К, то г' приводим в кольце К([)) (Я); используя унражневие 16, докааать, что тогда злемеяты Хит и Уи" принадлежат Е и что [Е: К) > рз.) 18) Пусть () — алгебранческн замкнутое расширение поля К, Е н Р†расширен поля К конечной алгебраической размерности, содержащиеся в (), и Е~ Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
