Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Расширения Галуа .х. Определение расширений Галуа Опгкдклкннв 1. Расширение Е поля К называется расширением Галуа (над К), если оно алггбраично и если К совпадает с полем инвариантов группы всех К-автоморугизмов поля Е," зта группа тогда называется группой Галуа поля Е (над К). Пусть Š— произвольное алгебраическое расширение поля К и г ЭК вЂ” ноле инвариантов группы всех К-автоморфизмов поля Е.
Поскольку каждый К-автоморфизм поля Е является также г-автоморфизмом, Е является расширением Галуа поля Р. Пувдложвник 1. Для того чтобы алгебраическое расширение Е поля К было расширением Галуа, необходимо и достаточно, чтюбы оно было нормальным и сепарабсльным. Это все равно, что скааать, что вес корни минимального многочлена над К для каждого элемента хсЕ должны быть простыми и содержаться в Е (~ 6, определение 2 и у 7, предложения 9 н 10).
гл.ч, это (66 поля Условие необходимо. В самом деле, пусть х принадлежит расширению Галуа Е поля К, и пусть х; (1 ~г <п) — все различные сопряженные с х элементы, лежащие в Е; каждый К-автоморфизм и полн Е переставляет между собой элементы х~ (З 6, ч Я определение 1), поэтому Ц (Х вЂ” х,)= Ц (Х вЂ” и(х;)); это доказыг=г г=! Н вает, что коэффициенты ыногочлена д (Х) = Ц (Х вЂ” х ) с Е (Х) ин 1=1 вариантны при всех К-автоморфизмах поля Е, а тогда, согласно предположению, они принадлежат полю К.
Поскольку у(Х)=-0, мпогочлен у кратен минимальному многочлену ) элемента х над К ($ 3, теорема $), а так как его степень не больше степени 7, то у=); зто показывает, что все корни многочлена ) просты и содержатся в Ь'. Условие достаточно. В самом деле, предположим, что оно выполнено, н пусть элемент х ~ Е не принадлежит К; так как степень минимального многочлена ~ элемента х над К больше единицы и все его корни простые в Е, то существует по крайней мере один элемент у ~ Е, сопряженный с х и отличный от него, следовательно (у 6, предложение 7), существует такой К-автоморфизм и поля Е, что и(х)=у; тем самым все доказано.
Слкдствик. Каждое расширение Галуа )ч' поля К является объединением всех подрасширений Галуа расширения Ф конечной степени над К. В самом деле, каждое нормальное подрасширение расширения Ф сепарабельно над К Я 7, предложение 6), т. е. является расширением Галуа поля К, и утверждение следует иа аналогичного результата Я б„следствие 2 предложения 9), относящегося к нормальным расширениям. 2. Подрастиггрения расмлиреггия Галуа Пгкдложкник 2.
Пусть М вЂ” расширение Галуа поля К. Для каждого промежуточного поля Е, лежащего между К и Л~, )У является расширением Галуа поля Ь, и группа Галуа поля Ж над полем Е является подгруппой группы Галуа поля Ф над полем К. РАСШИРБНИЯ ГАЛУА 167 В самом деле, все корни минимального многочлена 1 над К для каждого элемента хЕХ просты и содержатся в ЛГ, следовательно, то же самое справедливо для корней минимального над Е многочлена элемента х, делящего многочлен 1 ($ 3, предложение 2), что доказывает первое утверждение предложения 2.
Второе же утверждение очевидно, поскольку группу Галуа поля Л' над Е молгно отождествить с группой автоморфизмов поля Л, оставляющих инвариантными элементы из Е. Лгкдложкник 3. Пусть )У вЂ” расширение Галуа поля К, и пусть à — его группа Галуа. Для каждого промежуточного поля Е, лежащего между К и Л", и каждого К-автоморфизма о ЕГ поля Л' поле о(Е), сопряженное с полем Е (над К), содержится в Х, и группа Галуа поля ЛГ над о(Е) совпадает с групой о Ло т, сопряженной с группой Галуа Л поля Л' над Е. В самом деле, для всякого тк Г соотношение то(х) = о (х) эквивалентно равенству о 'то(х) =х. 11гкдложкняк 4. Пусть Л' — расширение Галуа поля К, и пусть à — его группа Галуа.
Для того чтобы промежуточное поле Е, лежащее мемеду К и Х, являлось расширением Галуа поля К, необходимо и достаточно, чтобы группа Галуа Л поля Л' над Е была отличной от Г подгруппой в Г; тогда группа Галуа поля Е над К изоморфна Г!Л. Для того чтобы поле Е было расширением Галуа над К, необходимо и достаточно, чтобы оно было нормальным, поскольку оно сепарабельно над К Я 7, предложение 6).
Другими словами, необходимо и достаточно, чтобы о(Е) = Е для любого автоморфизма об Г Я 6, предложение 7). В силу предложения 3 из этого условия следует, что оЬо з=й для любого автоморфизма оРГ. Обратно, так как поле о (Е) является полем инвариантов группы оЬо ', из равенства обо"з=Ь следует, что о(Е)=Е, что доказывает первую часть предложения 4. Если Š— расширение Галуа над К, то для каждого о ~Г ограничение ог автоморфизма о на поле Е является К-автоморфизмом поля Е; отображение о -+ок будет представлением группы Г на группу Галуа поля Е (над К), поскольку каждый К- автоморфизм поля Е продолжается до некоторого Х-автоморфизма поля Х ($ 6, предложение 7); для того чтобы ок было тождест- 168 гл. т, 1 1о поля венным отображением, необходимо и достаточно, по определению, чтобы о ~ Л.
Тем самым утверждение доказано. Расширение 7У поля К называется абелевым, если оно является расширением Галуа и если его группа Галуа абелева. Из предложения 4, в частности, вытекает следующее утверждение: Слидствив. Если Р7 — абелево расширение поля К, то каждое промежуточное поле, лежащее между К и Х, является абелевым расширением поля К. З. Селгейстпва расширений л'алуа В этом и следующих пунктах ьв означает алгебраически гамкнутое расширение поля К, и все расширения поля К, которые здесь рассматриваются, являются подрасширениями расширения Я.
Пгкдложкник 5. Пусть (Х,) — некоторое семейство расширений Галуа поля К. Пересечение П Х, и поле К(() )У,), порожь В денное объединение.ч полей Х, являются расширениями Галуа поля К. Действительно, каждое подрасширение сепарабельного расширения сепарабельно ($ 7, предложение 6), поэтому каждое расширение, порожденное алгебраическими элементами, сепарабельно (~ 7, предложение 10). Тогда предложение 5 является следствием аналогичного предложения для нормальных расширений (~ 6, предложение 8), если принять во внимание характеризацию расширений Галуа, данную в предложении 1. Слвдствив.
Пусть (М,) — семейство абелевых расширений поля К; тогда поле Я=К(() )У,), порожденное объединением полей Л'„также является абелевым расширением поля К. В самом деле, Х вЂ” расширение Галуа поля К; пусть о и т— какие-нибудь К-автоморфизмы поля Х. Для каждого ь ограничения автоморфизмов а и т на Х, являются К-автоморфизмами поля )У, (1 6, предложение 7), а так как )У, абелево над К, то ограничение азтоморфизма ото 'т 1 на Л'„является тождественным отображением.
Отсюда следует Я 6, и' 1), что ото 'т ' — тождественное отображение на всем поле Я=К(() Х,), а это означает, что Л вЂ” абелево расширение поля К. Рлсшигкния ГАлуА В частности, поле, порожденное объединением всех абелевых расширений поля К, содержащихся в (г, является наибольшим абелевым расширением, содержащимся в ьв; зто поле называется абелевым замыканием поля К. Ясно, что зто расширение не зависит (с точностью до К-изоморфизма) от рассматриваемого алгебраически замкнутого расширения ьг поля К.
Пгкдложкник б. Пусть А — множество алгебраических над К глементов поля (г. Для того чтобы нормальное расширение поля К, порожденное множеством К (А), было разваренном Галуа, необходимо и достаточно, чтобы все влементы в А были сепарабельны над К. Условие, очевидно, необходимо (предложеяие 1). Оно достаточно, поскольку элемент, сопряженный с алгебраическим сепарабельным элементом, сепарабелек (1 7, следствие 1 предложения 9), а нормальное расширение, порожденное множеством К (А), порождается множеством элементов, сопряженных с элементами из А ($ б, предложение 9) и поскольку, наконец, каждое расширение, порожденное множеством алгебраических сепарабельных элементов, сепарабельно (з 7, предложение 10).
Слкдствик. Пуапь Ц,) — некоторое семейство секир бельных многочленов кольца К(Х), А — множество их корней в Р; тогда К(А) — расширение Галуа поля К. В частности, поле корней сепарабельного многочлена ~~К(Х) есть расширение Галуа поля К. Группа Галуа Г этого расширения называется группой Галуа многочлена 1. Пусть х~ (1 < <1.<п) — различные корни многочлена 1 в Я, н )У=К(х„... ..., х„) — поле корней многочлена 1; ограничение каждого К-автоморфизма и поля )т' на множество (хп хг, ..., х„) является перестановкой этого множества, и обратно, если известны значения и (х;) (1 < ( < и), то значение и (х) определено для каждого элемента х~)У (з 6, и' 2).
Следовательно, группа Галуа Г поля Л" над К канонически игоморфна группе перестановок элементов х,, порожденной ограничениями автоморфизмов ирТ на множество элементов хб следовательно, Г нзоморфна подгруппе симметрической группы Я„(но, вообще говоря, не изоморфна всей группе Яо; другими словами, произвольная подстановка алементов х~ не является, вообще говоря, ограничением какого-нибудь К-автоморфизма поля )т'). гл. ч,116 170 поля Если ( — неприводимый сопарабельный многочлон, а поле К(го гз, ..., г„) многочлена ( совпадает с хаким-либо из полей К(г~), уравнение 7 (г)=0 называется уравненном Галуа (см.
1 6, в' 3). Это, в частности, будет тогда, когда ноле корней К(го лз,, ла) ыногочлена у является абелевым расширением поля К: действительно, из следствия предложсннл 4 вытекает тогда, что К(г~) — абелево расширение поля К; оно содержит позтому каждый сопряженный с г~ злсмонт н, следовательно, совпадает с К(гь гз, ..., л„). Вэтом случае уравнение ((г) =0 называют аеелеаым. 4.
льоммозмш растмирения Гаятуа и произво.ььного расьииренмм ТБОРемА 1. Пусть Л вЂ” расширение Галуа поля К, Š— какое- либо расширение поля К (содержащееся в И), и А=-.ЕПЛГ. Поля Е и Лг линейно разделены над Е; Е(Лг) — некоторое расширение, Галуа поля Е, и каждый Г-автоморфизм поля Лг единственным образом продолжается до Е-автоморфизма поля Е(Х); если Г— группа Галуа поля Лг над Е, Г' — группа Галуа поля Е(Лг) над Е, то отображение, ставящее в соответствие каждому Е-автоморфизму поля Лг единственный Е-автоморфизм поля Е(ЛГ), являющийся его продолжением, есть изоморфизм групп Г и Г'. Пусть и есть Е-нзоморфизм поля Е(ЛГ) в ьг, имеем и (Е (Х) ) = Е (и (Л')) =- Е (Л'), поскольку и(Л")=Лг, )'т' — ь Е(Ж) КьŠ— ь Е Рис. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
