Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Таким образом, существует и корней и-й степени из единицы в поле Я. Любой корень из единицы, будучи алгебраичным над полем Р, к тому же сепарабелен над Р, потому что Р— совершенное поле. 186 л. ч, 11т поля Отметим, что поле К можвт не содержать никакого корня в-й степени иг единицы, кроме самой единицы. Например, это имеет место в случае простого поля О при любом нечетном целом и, Ткогкмл 1. Пусть Р— простое поле характеристики р, и — целое положительное число, которое не делится на р. Группа корней и-й степени иг единицы (во всяком алгебраически замкнутом расширении ь1 поля Р) является циклической группой п-го порядка. Мы используем несколько предварительных лемм. Напомним, что наибольший общий делитель (н.
о. д.) д двух положительных целых рациональных чисел т и и выделяется .из множества всех положительных общих делений чисел т и и тем, что существуют целые рациональные числа и, к, для которых а=пт+кп (гл. 1, ~ 8, п' 6). Из этого следует, что для любого положительного целого числа г н. о. д. чисел гт и гп равен гсл. Числа т и и называются взаимно простыми (а каждое из чисел — простым относительно другого), если их н. о. д. равен единице. Лкммл 1.
Для того чтобы смежньсй класс по людулю и положительного целого числа х порождал цик.пл1сеекую группу Ес(п), необходимо и достаточно, чтобы числа х, п были вгаилсссо просты. Действительно, необходимо и достаточно, чтобы класс элемента х имел порядок и в группе Я!(п), то есть чтобы из соотношения ху вп 0(шой и) (где у — целое) вытекало сравнение уенО(шос)п). Но это означает, что в кояьце Х((п) класс и элемента х не является делшпелем нуль. В этом случае отображение и -+ ии кольца Е,с(п) в себя взаимно однозначно.
Ввиду конечности кольца Я/(и) оно является отобраисением кольца Я(п) на себя. Таким образом, элемент и обратим в кольце Яс'(сс). Обратное утверждение получается немедленно. Но это и означает, что существует два целых числа й, к, для которых Ах= =11'-кп. Следовательно, числа х и и взаимно просты. Количество целых положительных чисел х, взаимно простых с и и не превосходящих п, обозначается символом су(п) и называется функцией Эйлера от и. Таким образом, ее значения являются числом обрагуюсцих в циклической группе порядка п (гл. 1, $6, предложение 8), а также числом обратимых элементов в кольце 7с'(и). 187 коуци из ндиницы, конвчнык поля Лвимл 2.
Для любого целого положительного числа п справедливо равенство ~„<р(Н) =и, (1) в котором целое число с) пробегает множество положительных делителей пе). Действительно, найдем количество целых х, 1 < х< и, для которых н. о. д. х и и равен заданному делителю 6 числа п. В ахом случае Б=йх+)си для некоторых целых рациональных х н чисел 6, )с, откуда следует, что 1=6 — +)с —. Это доказывает взаимную простоту чисел х/6 н п~б = д; обратное получается х немедленно.
Ввиду того, что — < д, искомое количество равно ц (д). Когда 6 пробегает множество положительных делителей числа п, то же множество пробегает к д=п~Б. Из этого вытекает формула (1). Лвммл 3. Пусть С вЂ” конечная группа порядка п. Если для любого целого положительного делителя с) числа п числа элементов группы С, порядок которых делит д, не болыие чем Ы, то группа С циклическая. В самом деле, пусть д — положительный делитель и. Коли в группе С существует элемент х порядка Ы, то порядки всех с( различных элементов х' (0<г<с) — 1) делят д. Таким образом это единственные элементы группы С, порядки которых делят с). Следовательно, число элементов группы С порядка с) в этом случае равно числу образующих циклической группы, порожденной элементом х, т. е. ц(Н) (лемма 1), Порядок любого элемента группы С делит и (гл.
1, $ б, и' 7). Из соотношения (1) вытекает, что для любого положительного делителя Н числа и суи)ествует ц(д) элементов группы С порядка с(. В частности, существует ц(п) элементов группы С порядка и, каждый из которых, следовательно, порождает группу С.
() э Доказав эти леммы, покажем, что лемму 3 можно применить к группе корней п-й степени из единицы в поле ьв. Действительно, прн любом положительном делителе д числа и для корня из единицы х, порядок которого делит с), справедливо соотноше- ч) Соотношение д/и между положительными целыми числами означает что а делит я (см. гл. Ч, 1 1, и' 5).
гл. ч, 111 188 поля ние х" = 1 и обратно. Таким образом, имеется точно а' корней из единицы, порядок которых делит д, что доказывает требуемое. Корень и-й степени из единицы называется примитивным, если его порядок равен и, то есть если он иорохсдает группу корней п-й степени из единицы. При доказательстве теоремы 1 мы показали, что: Слвдствив. Для любого целого полохсительного числа п, которое не делится на р, число примитивных корней п-й степени из единицы равно ц (и).
Првдложвнив 1. Пусть П вЂ” алгебраически замкнутое поле характеристики р. Группа Ю(И) корней из единицы в ьг изоморфна группе Яр/Я, где Бр — подгруппа аддитивной группы Ч', образованная дробями г/з, у которых г не делится на р. Заметим сначала, что из соотношения з1ав О (шеар) следует, что либо зев О (шойр), либо 1неО (шойр), поскольку кольцо Е/(р) — кольцо целостности. Таким образом, множество Яр действительно является подгруппой группы (). Пусть (ч„) — строго возрастающая последовательность всех целых чисел, которые не делятся ва р.
Положим Х„=ч,чг... ч„. Обозначим через Нь группу корней Х„-й степени из единицы. При этом Н„+, ~Н„ н Я(ьг) = ()Н„. Поскольку группа ̈́— циклическая порядка Х, п то существует последовательность (а,) корней из единицы, где а„— примитивныи корень 1„-й степени из единицы и а„=а " чр+! Далее, любой элемент хбЯ можно записать в виде гй„(и притом бесконечным множеством способов). В силу определения а элемент а„" нв зависит от записи г/Х„элемента х. Мы обозначим элемент а„' в группе Я(й) символом /(х). Очевидно, что / — представление Кр в Ю(И), отображающее Яр ва Я(1г)= ()Н„. С друч гой стороны, соотношение / (г/Х„) = 1 означает, что а,", м'1, то есть что г/)' — ццлое число. Таким образом, группа Я (1г) изоморфна группе 8р/Я- .в.
Поле корней пюй сгпепени из единицы Пусть К вЂ” поле характеристики р, и — целое число, которое не делится на р. Назовем полем корней и-й степени из единицы над полем К и обозначим символом Н„(К) поле корней много- козни из кдпницы. конвчнык поля 189 члена Х" — 1 над полем К Я 4, и' 2). Так,как этот мвогочлен сепарабелен, то поле В„(К) является расширением Галуа конечной степенй поля К (см.
З 10, следствие предложения 6). Если ( — некоторый примитивный корень и-й степени из единицы, то любой корень и-й степени из единицы является степенью Таким образом, В (К) = К ( ь) Пусть à — группа Галуа поля В„(К) относительно поля К. Для любого элемента обГ элемент о(~) должен быть примитивным корнем и-й степени из единицы.
Следовательно, о Я) = ~', где г-целое число, смежный класс которого по модулю и является вполне определенным злементом мультиплнкативной группы обратимых элементов в кольце Я/(п) (следствие из теоремы 1). Этот элемент мы обозначим символом т(о). Пусть т — второй автоморфизм из группы Г, причем т(~)=~', тогда о (т (~))=о (~') =(о (~))'=~". Отсюда следует, что у (от) = у (о) )((т). Другими словами, отображение о-+Х(о) является представлением группы Г на подгруппу мультипликатнвной группы обратимых элементов в кольце Я/(и). Более того, представление о — >)( (о) является игоморфивмом, поскольку два К-автоморфизма поля В„(К) совпадают, если онн имеют одинаковые значения на элементе ~ (З 6, и' 2).
В итоге: Пгедложение 2. Пусть К вЂ” поле характеристики р, и— целое полоясигпельное число, которое не делится на р, Поле В (К) корней и-й степени ив единицы над полем К является абелевым рапыирением конечной степени поля К, группа Галуа которого ивоморфна подгруппе мультипликативной группы обратимых глементов кольца Я/(и). Отсюда вытекает, что степень (В„(К):К) является делителем числа ц (и). Отметим, что В„(К) = К (В (Р)).
Таким образом, группа Галуа поля В„(К) над полем К изоморфна группе Галуа поля В„(Р) над К () В„(Р) 5 10, теорема 1), т. е. подгруппе группы Галуа Г, поля В„(Р) над полем Р. Мы увидим далее, что при р = 0 группа Галуа Г, поля В„(~) иад () изоморфна группе всех обратимых элементов кольца 2/(и) и, следовательно, имеет порядок ц (и). Но это уже не так.
если р О. гл. у, $11 поля Х.-1 = Ц Ф„(Х). й/н (2) Это определяет Фн(Х), если известяы Фо (Х) для всех делителей <<' (строго меяьших к) числа к. Так как Ф< (Х)=Х вЂ” 1, то имеем, таким образом, рекурревтяый процесс, определяющий Ф„. Например, если Ь = д — простое число, то Х вЂ” 1=(Х вЂ” Ц Ф (Х), откуда Ф,(Х)=хо- +Хо- +... +Х+1. В качестве другого примера вычислим Ф!2(Х). Имеем Х<2 — 1 = Ф< 2ФзФ<ФзФ2Ф< Х' — 1 = ФзФз<рзФ< Х +1=Ф12Ф<. откуда Но 1 = Ф<Ф2Ф1. Так как Ф, (Х)=Х вЂ” 1, а Фз(Х)=Х+1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
