Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Вывести из этого подсчета значение числа унитарных непрнводимых многочленов степени в в кольце Рз [Х). 3) Пусть ь — првмитивный корень (а — 1)-й степени из единицы з поле Р, так что любой элемент группы Рз представляется в виде Лл(0(Л(а — 1). Доказать, что гя-ми степенями элементов группы Рз являютсн элементы (в количестве (а — 1)/г)) вида ьаа(0(Ь((д — 1)Щ где а — наибольший общий делитель чисел д — 1 и яг. Каждый иа втих злемевтов является т-й степенью й различных алемеятов полн Р .
4) В поле Рз(а=р", р Ф 2) число т решений (хм хз) уравнения агх[+азхз~=Ь(агат ф. 0) задавтся следующими Формулами: 1' если Ь =-О, а — агат нв язляетсн квадратом алемента в поле Р, то т=1; 2' если Ь Ф О, а — агат не является квадратом элемента в поле Р, ч' то в=а+1; 3 если Ь=О, а — агат — квадрат некоторого элемента в поле Р, Я то в=21 — 1; 4 если Ь чь О, а — а,аз — квадрат некоторого элемента в поле Рз, то ть и — 1. гл. у, 411 поля (Если — а1аз — квадрат, свести уравнение к инду уз=с. Если — агат не является квадратом, присоединить к полю Р ч норень многочлена Ха+агат и принести уравнение к виду ге+1=3 в поле Р „где г7 р Р . Прн этом использовать упражнение 3.) 5) а) В поле Р, (о=-р"', Р ~ 2) число т решений (х„хз, ..., и ю) уравнения а1хт+ азха+ ° ° ° +авзх~зю=д (а1аз...
ав -ь О) задается следующиын формулами: 1' если Ь= — О, а( — 1) а1ат... аз,„не является квадратом,"'то „1, Зм-1, т от-1 2' если 6 4 О, а( — 1)™а1аз... ав„не является квадратом, то ч — уз в — 1Ч д~ — 1 3' если Ь=О, а( — 1) 'агат... аз — квадрат, то т дтю — 1+ дм дт — 1. 4' если Ь чь О, а ( — 1)~агат... азы — квадрат, то т — тат-1 От-1 (Провести индукцию по ш, использовав упражнение 4.) б) Число т решений уравнения агхз-)- азха+... +атзт1хз„, г=Ь (а1аз ., ав,ь1 4= 0) аадается следующими формулами: 1' если 6.=-0, то т — дз 2' если Ь 4= 0 и ( — 1) а,аз ...
ат„,т16 пе явлнетсн квадратом, то зт т. 3* если Ь 4=. О, а ( — 1)'"агат ... аз„„16 — квадрат, то д Йми + дю (Свести к случаю а).) 6) Пусть Š— некоторое циклическое расширение поля К. Дпказать, что К изоморфно тензорному произведению циклических расширений поля К, степени которых равны степеням неноторых простых чисел (нспольвовать теорему 1 из 4 10). 7) Пусть К вЂ по характеристики р, о †ненулев простое число, для которого ноле К содержит коряи о-й степени из единицы. Пусть з — примитивяый корень 4-й степени нз единицы. а) Пусть Š— циклическое расширение поля К степени оз, о— К-автоморфизм поля К, порождающий группу Галуа поля К над полем К.
Пусть Р 1 — промежуточяое поле между полями К и К степени о кад полем К. В этом случае существует элемент 0 РХ, корни иа кдиницы. конкчнык поля 204 являющийся корнем непрнводимого многочлеяа Хч — а, нз кольца Р[Х), для которого Р=Р(0) и 0»=~0 (где т=д' — ~). Доказать, что Е=К(0), 0»=90, где [)бр, причем а» г=рч н г[ (р)=ь. (Заметить, что по предложению 6 0»=90з при О ., Л(д и [) бр. иВЪ3 Вычислив 0», доказать, что И'ч — 1 ж О (шод7). Отсюда вывести, что 1=1.) б) Обратно, пусть Р— циклическое расширение поля К степени д' — Д Пусть» — К-автоморфизм полн Р, порождающий группу Галуа полн Р аад полем К.
Пусть существует элемент р бр, для которого )(р~„.(0)=Е, и пусть элемент пбр таков, что а» доказать, что для любого злемеята Х бК* многочлен Хз — Ха яеприводим в кольце Р[Х[. (Испольэовать при этом предложение 7.) Пусть Π†од из корней атого многочлена.
Доказать существование К-нзоморфиама» поля Е=Р(0) в поле 11, продолжающего», причем 0»=.РО. Вывести отсюда, что Е является циклическим расширением поля К степени д', причем» порождает группу Галуа поля Е над К и Е=К(0). Докавать, наконец, что кансдое циклическое расширение поли К степени ч', содержащее поле Р, является полем корней многочлена Хч — 2а из кольца Р [Х[ при соответствующем выборе элемента 1бК" (применить теорему 3).
в) Рассмотреть в качестве поля К поле () рациональных чисел. Многочлен Хе+1 непрнводнм в кольце О[Х). Если ( — один иэ его корней, то Р =О (1) является циклическим расширением поля О степени 2, но при этом не существует никакого циклического расширения поля О степеян 4, содержащего Р. *8) Пусть К вЂ по характеристики р ) О. а) Пусть Š†циклическ расширение степени р поля К. Доказать существование такого неприводнмого многочлена в кольце К [Х[ вида Хг — Х вЂ” а, что поле Е порождается произвольным корнем О этого многочлена.
(Заметитьч что Ггк (1)=0.) Элемент ь порождает поле Е и является корнем многочлена вида Хв вЂ Х в из кольца К [Х) в том н только в том случае, если $= »О+а, где 9 †яекотор ненулевое целое число, а 1 б К. б) Обратно, доказать, что при любом а бК многочлен Хв вЂ Х вЂ » либо непряводим в кольце К [К], либо все его корни принадлежат полю К. В первом случае доказать, что поле корней Е этого многочлена явлнется циклическим расширением полн К степени Р и порождено проиавольным корнем многочлена Хг — Х вЂ” а.
(Рассуждать, как в предложении 7.) *9) Пусть К вЂ” поле характеристики р>О. а) Пусть Š— цвклкческое расширение поля К степени ре, »вЂ” К-автоморфнзм поля Е, порождающий группу Галуа поля Е над полем К. Пусть Р— промежуточное поле между полями Е и К, степень которого яад полем К равна р' г. Если т=...р» г, то 202 гл. ч, Ь 11 поля существует корень ООЕ неприводимого многочлева Хг Х вЂ” а из кольца Р (Х), для которого Е=Р (О) и о"' (О) =- 6+ 1 (упражнение Оа)). Доказать, что при этом также Е=К(О) и а(О)=О-)-(), где элемент О 6 Р таков, что о (а) — и = Ов — () и Тги~к (й) = 1.
б) Обратно, пусть Р— циклическое расширение полн К сгепеяи р' г(е з 1), о — К-автоморфизм полн Р, порождающий группу Галуа поля Р над полем К. Доказать существование двух элементов а, 6 из поля Р, для которых Тг (6)=1 и о(а) — а=Ос — О. (Использовать предложение 10 нз $ 10 и теорему 3 из 1 М.) Вывести отсюда, что при любом 2 б К мяогочлев Хв — Х вЂ” а — Л неприводим в кольце Р(Х) (см.
упражнение Об)). Пусть Π— корень этого многочлена. Доказать существование К-изоморфизма о полн Е=Р(О) в поле Я, продолжающего о, длн которого о(О)=О+(). Заключить отсюда, что полеЕ нвляетсн циклическим расширением полн К степени р', о порождает группу Галуа поля Е яад полем К и К=К(О). Доказать, наконец, что каждое циклическое расвтирение поля К степени р', содержащее поле Р, нвляется полем корней многочлена Хв — Х вЂ” а — 2 из кольца Р[Х) при подходюцем й из поля К. 10) Пусть К вЂ но характеристики р,в — яекоторое целое число (не делящееся на Р), для которого поле К содержит все корни ~й степени из единицы. Пусть Кс †подпо поля К, для которого К вЂ расширен Галуа поля Ке.
Пусть а †элеме поля К, для которого поле корней Е многочлена Х" — а имеет степень, равную я, над полем К. Поле Е является расширением Галуа поля Ке в том и только в том случае, если для любого Ке-автоморфнзма т поля К существуют целое число г ) 0 и злемент Ь ОК, для которых т(а)=Ь"а". (Использовать предложение 6.) е11) Пусть К вЂ” поле характеристики р, в — целое число, которое не делится на р и для которого поле К содержит все корни а-степени из единицы. Пусть Є— подгруппа мультипликативной группы Кз ненулевых элементов поля К, состоящая из л-х стеве ней элементов группы К».
Пусть С вЂ подгруп группы К*, содерязащаи Р„. Доказать, что нз коясчности индекса (С: Р„) вытекает, что поле И" (полученное присоединением к полю К всех корней многочленов Х" — а, где а пробегает группу С) является абелевым расширением поля К, степень которого конечна и равна (С: Р„). Группа Галуа поля И'над почем К иаоморфна группе С(Р (разложить группу С(Р в примое произведение циклических групп, провести индукцию по числу групповых сомножителей, используя предложение 7, предложение 6, упражнение 10, как и теорему 1 вд $10).
е 12) Пусть К вЂ” поле характеристики р, л — целое число, не кратное р. Мвогочлен вида Х" — а из кольца К(Х) нсприводим в том и только в том случае, если для любого простого делителя о КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ, КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 2(Я числа л алемент а не равен з-й степени какого-либо злемевта поля К н, кроме того, при н ж О (щоб 4), если а непредставим в виде — 4сз, где с б К. (Доказательство достаточности условии прн помощи упражнения 1, $7 свести к случаю, когда н=з' (е простое); аатем, определив с помощью упражнения 1 из 4 7 внд свободного члена каждого непрнводимого сомножителя многочлена Хз — а, провести индукцию по е.) 13) Пусть Л' — расширение Галуа конечной степени поля К, à — его группа Галуа над полем К.
Пусть (яс)сзг — семейство ненулевых элементов нз ноля 17. Для того чтобы выполнялись соотношения х ~=с *с для произвольных элементов о и т группы Г, необходимо и достаточно существование ненулевого элемента з б)У, для которого я =з~ е при любых о б Г. (Образовать елемент з= ~~р ~зс1с, где 1бк.) Доказать, что этот результат содержится сбг как частный случай теоремы 3, если группа Г циклическая. 14) Пусть К вЂ” конечное тело, не обязательно ноллутативное, 2— его центр, 7 †чис элементов поля 2,з †ра тела К над полем 2. а) Доказать, что для любого подполя К поля К, содержащего поле з, ранг К над полем 2 является делителем н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
