Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Это затруднение, видимо, было обнаругг<ено чрезвычайно давно. Одним из важнейших математических вкладов вавилонян следует считать то обстоятельство, что им удалось свести решение квадратных и бпивадратных уравнений к единственной новой алгебраической операции: извлечению квадратных корней. (Это устанавливается дошедшими до нас текстами ((1), стр. 183 — 193), в которых таким способом решены многочисленные уравнения с числовыми коэффициентами.) Что касается разработки формального исчисления, античной науке так н пе удалось продвинуться в задаче решения .алгебраических уравнений дальше этого. В самом деле, греки классической эпохи лшвь переоткрыви вавилонские формулы в геометрических терминах; использование этих результатов в алгебраическом виде' засвидетельствовано ве раньше Герона (100 г.
и. э.) и Диофанта. Решительный прогресс был достигнут греками в совершенно ином напранлении. Мы почти не знаем, как вавилоняне представляли себе корни квадратные нз целых чисел, не являющихся квадратамн, и как ови нх нычисляли ь). В немногочисленных дошедших до нас текстах по атому вопросу авторы, по-вгщимому, довольствуются довольно грубыми приблн- е) Во всея примерах квадратных и биквадратных уравнений в вавиловскнх текстах данные подобраны так, что корни приходится извлекать из точных квадратов. 220 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ХЧ в У жеввыми методами ((1), стр.
33 — 38). Пифагорейская школа, строго определившая понятие соизмеримых величии и придававшая атому понятию почти религиозный характер, не могла оставаться на этой точке зрения. Возможно, что именно безуспешность последовательных попыток рационально выразить число у'2 привела к доказательству иррациональности этого числа *).
В другом месте (см. Исторические замечания к гл. 1Ч Книги 1П) мы уже укааывали, что ато открытие, знаменующее решительный поворот в истории математических наук, оказало глубокое влияние на понятие «числа» у греков и нривело их к созданию алгебры исключительно геометрического характера. Цель этого состояла в отыскании способа представления (или, быть может, доказательства «существования>) несонаморимых отношений, которые греки отказывались считать числами. Чаще всего они сводили алгебраическую аадачу к нахождению пересечения двух вспомогательных плоских кривых, выбранных подходящим образом, или же к последовательному рааысканию нескольких таких пересечений.
Поздняя и ве эаслув«ивающая большого доверия традиция приписывает Платону первую классификацию этих конструкций, которой суждена долгая и блистательная история. По-видимому, по причинам скорее философского, чем математического, характера Платон специально выделил так называемые «построения циркулем и линейкой», т. е.
те, в которых лшпь прямые линии и окружности используются е качестве вспомогатевьных кривых *«). Во всяком случае, Евклид в своих «Началах> (11) ограничивается только аадачами, разрешимыми этим способом (ве называя их, впрочем, особым термином) . Это обстоятельство, беаусловно, немало способствовало привлечению внимания к таким задачам математиков последующих веков. Тенерь, одна- *) Один современный автор высказал остроумное замечание о том, что построение правильного звездчатого пятиугольника, известное пифагорейцам (пятиугольвнк был у них одним иа >«нстнческвх символов), немедленно дает иррациональность числа г'5. Он же предложил гипотезу (к сожалению, не подтвержденную никакими текстами) о том, что именно на этом пути пифагорейцы открыли иррациональные числа (К.
чов Р г 1 ( х, Апп. о1 3(дх)>., х. ХЕ"«'1, 242 (194»5)). **) В связи с этим Платону приписывается также разделение плоских кривых на «плоские» (прямая и окружность), «телесные» (конические сечения, получаемые как пересечение плоскости с твердым телом-конусом) и все остальные, объединенные общим названием «т'яо» уйарр»конь Любопытно, что влияние этой классификации прослеживается еще у Декарта, который в своей «Геометрии> относит к одному и тому же «роду» уравнения степени 2л — 1 и 2л: без сомнения потому, что уравнения первой и второй степени решаются перечислением «плоских» кривых, а уравнения третьей и четвертой степени — перечислением «телесных» кривых.
22т ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ГУ в Ч ко, мы знаем *), что алгебраические уравнения, которые можно решить »циркулем н линейкой», относятся к весьма специальному виду: в частности, непринодимое уравнение третьей степени (над полем рациональных чисел) нельзя решить таким способом. Между тем, греки уже давно встретились с подобными аадачами, которым суждено было стать знаменитыми: удвоение куба (решение уравнения зз = 2) и трисекция угла. С другой стороны, квадратура круга поставила древних математиков перед лицом трансцендентной проблемы. Мы обнаруживаем, что для решения этих задач вводились многочислевнме алгебраические кривые (конические сечения, циссоида Диоклеса,конхоида Никомеда) и трансцендентные кривые (квадратриса Динострата, спираль Архимеда). Это обстоятельство не могло не привести к изучению таких кривых самих по себе, что подготовило почву для будущего развития аналитической геометрии, алгебраической геометрии и исчисления бесконечно малых.
Подобные методы, однако, не способствовали никакому прогрессу в решении алгебраических уравнений е»). Единственным трудом античности, содержащим аначительный вклад в этот вопрос и долгое время влиявшим на алгебранстов средневековья н Возрождения, осталась книга Х »Начал» Евклида (Н). В этой книге (основные результаты которой некоторые историки склонны приписывать Тезтету) Евклид рассматривает выражения, получающиеся в результате комбинации нескольких радикалов, например 3~ )в а ~ )в Ь (а и Ь вЂ” рациональные числа). Он дает условия, при которых такие выражения иррациональны, разделяет ") Отыскание точек пересечения прямой и окружности (или двух окружностей) равносильно решению уравнения второй степени, коэффициенты которого являются рациональными функциями от коэффициентов рассматриваемой прямой и окружности (или двух окружностей).
Отсюда легко вывести, что координаты точки, которую можно построить »циркулем и линейкой», исходя из данных точек, принадлежат некоторому расширению Ь поля рациональных чисел О, описываемому следующим образом. Пусть К вЂ” поле, полученное присоединением к О координат ааданных точек. Тогда существует возрастающая последовательность полей (ь;) э .в „, промежуточных между К н Ь и удовлетворяющих условиям К = Ео, Ь = А„, (Ц: Ь;,) = 2 при 1 < (1 ( и. Индукция по к показывает, что степень над полем К распшрения Галуа )У, порожденного расширением Ь, является ствкекью двойки.
Можно доказать, что я наоборот, прн выполнении последнего условвя оуществует последовательность полей (бв), промежуточных междуК и Ь с описанными выше свойствами. Тогда поставленная задача решается циркулем н линейкой (ср. Н. Г. Ч е б о т а р е в, Основы теории Галуа, Гостехиздат (1934), ч. 1). **) Из-за отсутствия удобного алгебраического исчисления у греков мы пе находим каких-либо попьпон классифицировать задачи, которые не удавалось решить »циркулем и линейкой». Арабы первыми свели многочисленные аадачи этого рода (например, построение правильных семи- и девнтиугольников) к решению кубических уравнений.
222 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ГУ в У их на многочисленные категории (и доказывает, что ати категории не совпадают), а также изучает алгебраические соотношении между зтнми иррациональностями типа (в современной ааписи) Все зто выражено обычным геометрическим яаыком «качал», что делает изложение особенно тяжеловесным и неудобным. После упадка классической греческой математики ноыцепции, относящиеся к алгебраически»> уравнениям, претерпевают изменения.
Несомненно, что на протяжении всего классического периода греип владели методами сколь угодно точного вычисления квадратных корней. К сожалению, мы мало осведомлены об этом *), У индусов, затем у арабов и их аападных соперников средних ванов павлечение корней любых порядков становится постепенно одной из основных операций наряду с рациональными операциями алгебры и, как эти последние, обозначается все более удобными для вычислений символами *«). Теория уравнений второй степени, непрерывно совершенствуемая в продолжение всего средневековья (число корней, отрицательные корпи, неразрешимый случай, двойные корни), а также теория биквадратных уравнений дают те образцы формул решения «в радикалах», которые алгебраисты нескольннх веков будут пытаться перенести на уравнения высших степеней, в первую очередь кубические.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
