Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Всякому делвтелю е числа я — 1 Гаусс ставит в соответствие 1 = (и — 1)/е епериодов» «Ъ= ге»+»»е««+ ге»+те+ + геты1 — е)е (1 < т < 1) и показывает, по существу, что линейные комбинации с рациональными коэффициентами чисел «)е образуют поле, порожденное любым из 1 периодов»)„ и имеющее степень)над полем рациональных чисел (это поле, естественно, соответствует подгруппе порядка е группы Г).
Здесь пе место входить в детали этого анализа и важные арифметические следствия, из него происходящие. укажем лишь, что он приводят, в частности, к знаменитой теореме о возможности строить «линейкой и циркулем» правильные многоугольники, число сторон которых — простое вида 2»а + 1 **). Что до решения в радикалах уравнения Фи (х) = О, то оно легко получается из теории периодов в применении к 1-й степени реаольвенты Лагранжа 1-! ~ юе»1» (где ы1 = 1) *"*). »=о Непосредственно с работами Лагранжа связаны изыскания его соотечественника Руффиви, одновременные с «Арифметическими исследованиями». Начиная с того, чем Лагранж кончил, Руффини провозглашает своей целью доказательство неразрешимости в <радикалах» «общего» ****) уравнения ') Понятие непрнводимого многочлена (с рациональными коэффициентами) восходит к ХЧН веку.
Ньютон и Лейбниц уже описали способы, позволяющие (по крайней мере теоретически) определить непрнводнмые множители многочлена с данными рациональными коэффициентами ((ЧП1), т, 1Ч, стр. 329 и 325), но результат Гаусса — первое доказательство непрнводимости, применимое к целому ииожестеу многочленов сколь угодно больших степеней. »") Гаусс явно утверждает, что он может доказать, что это — единственный возможный случай построения циркулем и линейкой многоугольника с нечетным простым числом сторон ((ХН!), т.
1, стр. 462). Однако это доказательство никогда не было опубликовано и не найдено в его бумагах. 'ее) На самом деле, если хотеть доказать только раарешимость в радикалах, достаточно положить е = 1 и провести индукцию по я. ее»*) Математики Х1Х века понимают под этим, по сугцеству, уравнение, коэффициентами которого являются лере»»«иные ()вде1егш!пбез) над полем рациональных чисел. Но современное понятие переменной появляется не раныне последних лет Х1Х столетия. До тех пор под «многочленом» илн ерацнопальной дробью» всегда понимали фуиэлию комплексных переменных. «Общее» алгебраическое уравнение рассматривается как уравнение с неаависнмыми комплексными переменнымн (тат(аЫез) в качестве коэффициентов, корни которого суть еалгебраические функции» от этих переменвых,— ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ГЧя Ч пятой степени.'Многословное и веясное доказательство Руффини осталось неполным, хотя и переделывалось несколько раз.
Все же оно было уже очень близко к (в принципе верному) доказательству, поадиее полученному Абелем "). Его главный интерес заключался во введении исчисления подстановок и первых понятий теории групп, которые Руффиви развивает для доказательства несуществования функции от 5 корней уравнения, принимающей болыпе 2, но меньше 5 значений при всевозможных нерестаяовках корней. Мы уже описывали (Исторические замечания к гл. 1), как несколько лет спустя Коши развил и систематиаировал этот первый набросок теории групп перестановок. Но если в том, что касалось подстановок, понятия, необходимые для развития идей Лагранжа, постепенно прояснялись, основные принципы теории полей еще оставалось представить в столь же явном виде.
Именно этого недоставало Руффини и имевно это предстояло сделать Абелю и Галуа в последней фазе раавятия задачи о решении алгебраических уравнений. Всю евою недолгую жизнь Абель ие прекращает заниматься этой проблемой. Будучи еще почти ребенком, он думает, что получил формулу решения в радикалах уравнений пятой степени. Обнаружив позже свою ошибку, он не успокаивается, пока не находит докааательства того,что такой формулы не существует ((ХГЧ), т. 1, стр. 66). Но и па этом ои ке останавливается.
Тогда как его соперник Якоби развивает теорию зллиптических функций как аналитик, в трудах Абеля на агу тему, посвященных теории уравнений деления эллиптических функций ((Х1Ч), т. 1, стр. 265, 377 ет разе)ш) доминирует алгебраическая точка зрения. Так, он получает новые твпы разрешимых в радикалах уравнений методом, скопированным с метода Гаусса для уравнений деления круга ((Х1Ч), т.
1, стр. 310 и 358) **). Исходя иэ етого, оя поднимается до общего понятия «абелевых уравиенн«Ъ, раарешвмость в радикалах которых доказывает в знаменитом мемуаре ((Х1Ч), т. 1, стр. 478). Именно в этой связи он вводит точное определение понятие, лишенное поистине какого бы то ии было точного смысла, если слову «функцияэ придавать его современное значение. Разумеется, рассуждения, в которых фигурируют этн «алгебраические фувкцяиэ, в общем по существу верны, в чем можно убедиться, переводя их на современный алгебраический язык. «) См. Р.
В и 1 1 1 и 1, Орете МамшаысЬе, ч. 3, Воша (Ей. Сгешопеэе), 1953 — 1954, а также Н. В и г 1« Ь а г й Ц ЕейзсЬг. Рйг Ма«Ь. впй РЬуэ., ХХХЧН зпрр1., 121 — 129 (1892), *«) Гаусс в своих «Исследованняхэ уже отмечал возможность обобщения его методов на уравнения деления лемнискаты ((Х1Ч), т. 1, стр. 413), и в деленян на 5 ((Х!11), т. Х, стр. 161, 162 и 517). Как многие другие краткие и аагадочные укааания, которыми Гаусс по своей излюбленной привычке усеивал свои работы, соответствующая фрааа иа «Исследованяйэ возбуждала воображение современников. Мы внаем, что она играла немалую побудительную роль для Абеля и Якоби в их исследованиях на зту тему.
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ГЧ и Ч гЗ2 пеприводпмости мкогочлепа пад дапкым полем (порождепяым коэффициентами изучаемого уравнения *). Смерть иастигла его в 1829 году, когда оп занимался общей проблемой описания всех уравнений, разрешимых в радикалах, и только что сообщил Кроллю и Лежакдру о своих результатах, уже весьма близких к будущим достижениям Галуа ((Х1Ч), т. 11, стр. 219 †2, 269 †2 и 279). Именно Галуа довелось три года спустя аавершить всю постройку (ХЧ).
Как и Абель, по с еще большей отчетливостью, оп начинает с определений (с точностью до терминологии) принадлежности величппы к полю, порожденному данными величинами; понятия присоединения; понятия мкогочлепов, пеприводимого пад данным полем. Задавшись уравнением Р (к) = О без кратпых корней, с коэффициептами в данном поле К, Галуа последовательно показывает, что «есегда можно обравовать такую (бункцию У от корней, что еж вна«ения, лринимаемме ею лри есевогможннк лерестановкак корней, будут раеними», что эта функция воблодает тем евойплвом, что еге корни лервона«ел»ного уравнения рационально выражаютп«иерее У», п иакопец, обозначая через У, У', У',... все корни пеприводимого уравнения, которому удовлетворяет У, что «если а = 7' (У) — один ие корней лервоначального уравнегаия, гло 7' (У') также будет его корнем» ((ХЧ), стр.
36 — 37). Выражаясь совремекпым языком, Галуа докааывает тем самым, что У, как и любая сопряженная к У величина, порождает поле гЧ корней мпогочлепа Р. Затем оп определяет группу Г уравнения Р = О как мяожество тех перестановок корней хм которые получаются подстановкой всевозможпых сопряженных к У в рациональные выражения корней к« через У. После атого оп пемедлекпо устанавливает то фундаментальное обстоятельство, что элементы поля К характеризуются их ипвариаптпостью при всех подстановках группы Г ((ХЧ), стр.
38 — 39). Затем оп доказывает, что если поле »Ч содержит поле корней Ь другого мпогочлека, то группа поля »Ч пад А является нормальным делителем группы Г (покятие, специально введенное по этому поводу) ((ХЧ), стр. 41 и 25 — 26). Отсюда оп выводит, пакопец, критерий раарешимостп в радикалах с помощью рассуждения, существенные этапы которого состоят в следующем. Принимается, что основное поле К содержит все корни из единицы. Тогда, по предположению, должна существовать возрастающая последовательность полей (К;), промежуточных между К и 1Ч, где мы положили Ко = К, К„, = гЧ и где поле Кьи получается присоедивепием к К« п« всех корпей двучлевиого ураивдккя к 1 — аг — — О (аг 6 К,).
Следовательно, в группе Г существует такая убывающая последовательность (Г;) подгрупп, для которой Ге =- Г, Г,„=- (е) (едипичпый элемеит), Гг,г является кормальпым делителем в ГО а факторгруппы Г;!Г;+ цкклпчпы (в атом случае в) Само понятие поля (как и болев общее понятие множества) остается почти чуждым математической ммсли до Каитора и Дедекипда. Абель и Галуа определяют элементы своих «осповпых полей» как величины, рационально выражающиеся через задапкые величины, по и пе помышляют о рассмотре пии в явкам виде всего множества зтих элементов.
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ГЧ и Ч группа Г называется раарежимой). Обратно, если это условие выполнено, использование подходящей реэольвенты Лагранжа показывает, что поле Кг+> получается присоединением к К» всех корней некоторого двучленного уравнения (ср. $ 11, теорема 3) и, стало быть, уравнение Е (з) = О разрешимо в радикалах *).
Невозможность решить в радикалах «общее» уравнение степени я ) 4 следует тогда из того обстоятельства, что группа Г такого уравнения„изоморфная симметрической группе бз (Принс>кение 1, и 1), не является разрешимой (ср. гл. 1, Э 7, упражнение 11). 1 ° » Иак мы уже отмечали (ср.
Исторические аамечания к гл. 1), начиная с середины Х1Х нека, алгебраисты значительно расширили область своих исследований, до тех пор почти исключительно посвященных яэучению уравнений. В свете открытий Галуа становится ясным, что задача решения «в радикалах» — всего лишь частвьгй случай, и притом довольно искусственный, общей проблемы классификации иррациональностей. Именно ее будут атаковать с разных сторон впоследние десятилетия века, и многочисленные разрозненные результаты будут накапливаться, подготавливая почву для синтетической работы Штейвица. В отнопюпии прежде всего алгебраических иррациональностей фундаментальный принцип классификации доставила теорема Галуа, сводившая изучение алгебраического уравнения к изучению его группы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
