Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 51
Текст из файла (страница 51)
А. Ч а п д е г ш о и 6 в, Мешо1ге япг 1а геяо1пИоп без е|(иаИопя, НМ|. Йе 1'Аса|1. гоуа1е !(ез яс!епсея, аписе !771, Рагй (!774), стр. 365 †4. С. Р. О а и за, |ЧегЬе, 1 — Х, Оош!пбеп, !863 — 1923. 1). Н. А Ь е 1, (Епчгея, 2 тт., над. Яу1ом ея Ые, СЬг!яИап(а, 1881. Е. О а 1 о' ! я, (Еичгея ша|ЬешаИ|(иея, РаНв (Сап(Ь!ег-У!1!ага), 1897. БИБЛИОГРАФИЯ 237 (ХЧЦ (ХЧП) (ХЧПЦ (Х1Х) (ХХ) (ХХЦ (ХХ!Ц (ХХПЦ (ХХ1Ч) (ХХЧ) (ХХЧЦ А.-1. 6 а и с Ь у, (Еплев сошр1е!ев (!), т.
Х, Раг!в (6ап!Рйег- Ч!1!агя), 1897, стр. 312 и 351. Ю. 1. 1 о п т ! 11 е, 8ш Йея с!аваев !г5я е!епйпев йе г(пап!!!ев йоп! 1а та1епг и'ея! п1 а!БеЬгщпе, гй шйше гбйпсМЫе а Йев пта!1опе11ев а184Ьгп!пев, Топгп. Йе Ма!Ь. (Ц, т. ХЧ1 (1851), стр. !33. В. В е й е Ь 1 п Й, 6евашшв1!е ша!Ьеша!1ясЬе ърег!ге, 3 тт., Вгапп- всЬтге!8 (Ч!еъге8), 1932. Ь. К г о и е с Ь е г: а) 6гопйя08е е!пег аг!!Ьше!!всЬеп ТЬеопе Йег а18еЬгаЬсЬеп 6юявеп, 1. Йе Сге1!е, т. ХСП (1882), стр.
! — 122 (-гуегЬе, т. П, 1.е!ря!8 (ТепЬпег), !897, стр. 245 — 387); б) Е!и Рппйашеп!а)вв!я йег а68ешешеп Аг!1Ьшег!Ь, 1. Йе Сге!!е, т. С (1887), стр. 490 — 510 (-%вгЬе, т. Ш, Ее!рх!8 (ТепЬпег), 1899, стр. 211 — 240). Н. Чг'е Ь е г, ()пгегвпсЬпп8еп БЬег й!е а118еше!пеп 6гппй!а8еп йег 6а1о!я'ясЬеп 6!е!сЬпп8я!ЬеоПе, Ма!Ь. Апп., т. Х1ЙП (1893), стр. 521 — 544. 6.
Ч е гоп е в е, Рош!ашепМ й! Ееоше!Па, Райота, !89!. К. Н е п в е 1, ТЬеоНв йег а18еЬга1всЬеп ЕаЫеп, 1.е!ря!| — Вег1ш (ТепЬпег), !908. Е. 8 ! е1п ! ! я, А!Бебга!всЬе ТЬеог1е йег Когрегп, К Йе Сге1!е, т. СХХХЧП (!910), стр. 187 — 309. ЧЧ.
К г и 1 1, 6а1о1всЬе ТЬеог1е йег ппепй11сЬеп а18еЬгавсЬеп ЕгтчеПепш8еп, МагЬ. Апп., т. С (1928), стр. 887. А. А г ! ! и, 6а1о!в ТЬеогу..., Апп. АгЬог, 1948. А. % е ! 1, РоппйаВопя о! а18еЬга!с Беошешу, Ашег. МаГЬ. 8ос. Со11. РпЫ1с., т. ХХ1Х, Ееяг Уог!г, !948. ГЛАВА Ч1 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ $1. Упорядоченные группы. Делимость Понятия и реаультаты, излоячепные в атом параграфе, касаются изучения отношения порядка в коммутативных моноидах (гл. 1, у 1, п' 3), важным примером которых являются абелевы группы. Кроме специально оговариваемых случаев, закон композиции в изучаемых группах будет аапнсываться аддитивно, как, например, в применениях к теории интегрирования.
С другой стороны, попутно мы изложим некоторые важные алгебраические приложения теории упорядоченных моноидов и групп и будем переводить по мере надобности часть результатов на используемый в этих приложениях мультипликативный язык. 1. Определение у>ьормдочен>выем моыоыдоо тг еру>ап Опгвдвлвнин 1. Говорят, что на множестве М структура яоммутативного моноида (в аддитивных обозначениях) и струн- тура порядка (обозначаемая знаком <) согласованьк если они удовлетворяют следуюи(ей аксиоме: (УМ) Для любого г ~ М отношение х <у влечет х + г< < у + г> Множество М, снабженное согласованными структурами номмутативного моноида и порядка, назьыается упорядоченным моноидом; если структура коммутат вного моноида яляется структурой абелевой группы, то М называется упорядоченной группой.
Аналогично можно опргдвлнть попнтне некомнутатнвного упорядоченного мононда (упражненнв 1). УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 239 Если структура порядка согласована со структурой моноида, то та же согласованность имеет место и для структуры противоположного порядка. П р и и е р ы. 1) Аддигиввые группы целых рациональных и всех рациональных чисел являются упорядоченными труппами, если они снабжены структурами порядка, определевнымн в гл. 1, г 2, и'б и $9, п'5.
еТо же справедливо и для аддитнвной группы действительных чисел (Общ. токол., гл. 1»', $1, п»3). 2) "Аддвтввная группа конечных числовых функций, определенных на множестве Е, является упорядоченной группой со структурой порядка, определенной отношением»для любого г б ре ( (г) < Е (г)», которое аапнсывается г( < г». Это отношение означает, что график функции 1 лежит под графиком функции йт в некоторых случаях чвгатель может найти эту графическую интерпретацию удобной, 3 а и е ч а н и е. В главе, посвященной нормированиям, мы увидим, каким обрааом некоторые структуры упорядоченной группы, используемые в алгебре, допускают такую функциональную интерпретацию.
Согласно общим определениям (Теор., мн. Рез., 2 8) взаимно однозначное отображение ( упорядоченного моноида М на упорядоченный моноид ЛХ' называется игоморфигмом М на ЛХ', если структура М получена переносом структуры М с помощью канонических продолжений отображения Х. Равносильное требование: у — такое отображение М на М, что Х(х + р) = Х (х) +Х(у) (т. е. представление моноида М на моноид ЛХ') н что соотношения х <у и ( (х) <Х (р) зквивалентны (отсюда следует, в частности, что из Х(х) = ((у) вытекает х = у, т. е. ( взаимно однозначно).
Пгедложение $ (гсложение неравенств»). Пусть (х») и (р») (Х <1 < п) — две последовательности иг и глементов, принадлежащих упорядоченному моноиду ЛХ, такие, что для всякого ( х» <у;; тогда х»+ + хо< г»+ .. + Уо. Если, сверх того, все элементы х;, у» регулярны (гл. 1, $2, определение 4) (в частности, если М вЂ” группа) и если существует такое (, что х» (у», то х» + ... +х (у» + ... +у ° Случай произвольного и получается индукцией из случая и = 2; в индуктивном доказательстве второго утверждения используется тот факт,что сумма регулярных элементов является регулярным злементом (гл.
1, з 2, п' 2, предложение 2). Первое 240 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ гл.тд г» утверждение является следствием соотношений х, + хг ~',х, + уг и х~ -~-у»<у, +у», вытекающих из предположений теоремы и определения (УМ). Если даже х1 + хе= у» + уг, то х, + хг = = х, +у» — — у, +у„откуда при регулярных х, и уг хг — — уг и х, =- у„что доказывает второе утверждение. Пгедложение 2. В упорядоченной группе 6 неравенства х < у и х -)- г < у — ', г эквивалентны.
В самом деле, от одного к другому можно перейти прибавлением к обеим частям г или ( — г). Этот факт означает, что в упорядоченной группе структура порядка инвариантна относительно сдвигов. Другими словами, в упорядоченной группе сдвиг является автоморсйиемом структуры порядка. Следствие. В упорядоченной, группе 6 отпошения х<у, О< <у — х, х — у«,0 и — у< — х эквивалентны. Действительно, достаточно применить предложение 2, беря последовательно г = — х, г = — у и г = — (х + у). Из этого следствия вытекает, в частности, что если 6 — упорядоченная группа, то отображение х — — х группы 6 на себя преобразует структуру порядка в структуру противоположного порядка. 3, Предупорядоченнэгв моноидьг и гтгунпы Если отношение х ~ между элементами множества В рефлексивно и транзитивно, но оно называется отношением предпорядка на В (Теор. мн., ч.
Н1). Отношение «х < у и у < х» является отношением эквивалентности Ю в В (Теор. мн., Рез., т 6, и' $), согласованным с отношением х ( у. Отношение <~ определяет на фактормножестве Е/Ю отношение порядка, называемое .ассоциированным с Опэеделение 2. Говорят, что на множестве М отношение предпорядка (обозначаемое ~~) и структура коммутативного моноида согласованы, если они удовлетворяют следующей аксиоме: (ПУМ) Для любого г ГМ, х ~< у влечет х + г <,' у + г. Множество М, снабженное структурой коммутативного моноида и согласованным с ней отношением предпорядка, наг»мается предупорядоченным моноидом. л УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ.
ДЕЛИМОСТЬ 241 Пусть М вЂ” предупорядоченный моноид и 8 — отношение эквивалентности «х ~ у и у ~ х» . В силу свойства (ПУМ) отношение х ья х' (шой Ю) влечет для кая»дого у ЕМ отношения х + у ч, х'+ у и х'+ у ~ х + у, т. е. х + у == — х'-(- у (шод О). Другими словами, отношение эквивалентности О согласовано со сложением в М (гл. 1, 3 4, п'3, определение 4). Тогда М/Я с индуцированным законом сложения и структурой порядка, ассоциированной с ~~, становится упорядоченным моноидом.
В случае, когда М вЂ” предупорядоченная группа, М/Я является факторгруппой М по подгруппе М', элементы х которой удовлетворяют соотношениям х ~,0 и 0 ~ х. З. Полоогеытпельные олемеыпзы Пусть 6 — предупорядоченная группа с отношением предпорядка ~; из отношений 0 ~ х и 0 ~ у вытекают отношения у ~ ~~ х + у (с помощью свойства (ПУМ) и 0 ~ х (-у (по транзитивности); это означает, что множество Р тех элементов х~ 6, для которых 0 =;, х, замкнуто относительно сложения; кроме того, отношение х ~ у эквивалентно 0 ( у — х, т.
е. тому, что у — х ~ Р. Обратно: Пгедложение 3. Пусть Р— часть абелевой группы 6, содержащая 0 и такая, что Р -)- Р с Р; тогда отношение у — х ~ Р есть отношение предпорядка, согласованное со структурой группы 6. Для того чтобы вто отношение определяло на 6 структуру упорядоченной группы, необходимо и достаточно, чтобы Р П П ( — Р) = (0); для того чтобы группа 6 при втой структуре была совериенно упорядоченной группой, необходимо и достаточцо, чтобы, кроме того, Р() ( — Р) = 6.
Непосредственно убеждаемся, что отношение у — х Е Р рефлексивно и транзитявно и (если записать его как х ~ у) удовлетворяет аксиоме (ПУМ). Чтобы доказать второе утверждение, достаточно заметить, что множество Р П ( — Р) является такой подгруппой 6', что для всех х ~ 6' х ~ 0 и 0 4 х. Наконец, совершенная упорядоченность группы 6 означает, что для любых элементов х, у б 6 один из элементов х — у, у — х принадлежит Р, чем доказательство заканчивается.
$б Н. ну»гиии упОРядочкннык ГРуппы и пОля Гл. Р1, Ь 1 242 Опгкдклкник 3. В упорядоченной группе положительным (соответствгнно отрицательным) влгмвнтолг называют всякий элемент х, такой что О <х (соответственно х<О). Отметим, что нуль — единственный однееременне пележительний и етрицательний элемент; всякий элемент х, для которого 0(* (соответственно * < 0), называется строго иола»нательная (соответственно етреге етрицательним). П р и м е р.
Пусть в аддитивной группе 3 Х и Р— множество элементов (х, В), удовлетворяющих двум неравенствам ах + Ьу',Э О, ах + ду р О, где а, Ь, е и ໠— некоторые фиксированные целые числа (»или действительные числа„) такие, что аа — Ь»~0; гъопус» Р удовлетворяет двум первым условиям предложения 3.
Таким образом, на 3 Х 3 определяются различные структуры порядка, согласованные со структурой грушгы. При любой из этих структур группа не является совершенно упорядоченной. 3 а меча ние. Используя условие Р+ Р ~ Р, из отношения х ) 0 можно вывести отношение пх э 0 для каждого целого натурального и в упорядоченной группе б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
