Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Второе следует в силу предложения 9а) в случае п>0; случай и<0 вытекает отсюда с помощью соотношения ! — х(=(х!. Пркдложкние 11 (ДЕЛ). Предположим, что множество дхи рги»гточноупорядочгно, и пусть а, Ь, с — тпройка таких целых элементов в К, что а нг зависит от Ь; тогда всякий н. о. д.
элементов а и с является также и н. о. д. для а и Ьс. Слкдствие 1 (ДЕЛ) (елемма Евклида»). Пусть а, Ь, с— три целых элемента из К. Если а не зависит от Ь и делит Ьс, то а делит с. Следствие 2 (ДЕЛ). Если х нв зависит от у и г, то х не зависит от уг.
Слкдствие 3 (ДЕЛ). Пусть (х,) и (уг) — два конечных семейства целых элементов из К такие, что каждый элемент х~ не зависит от каждого у;. Тогда произведение элементов х; не зависшп от произведения элементов ур Следствие 4 (ДЕЛ). Если д — н. о. д. »лементов х и у, то аи— н. о. д. элементов х" и у" для всякого целого и. В самом деле, хд х и уа ' — независимые элементы(предложение 10 (ДЕЛ)) и то же самое верно для х"д " и у"д " (следствие 3). Предложение 12. Пусть х; (1<1 <и) — п попарно независимых элементов реигеточно-упорядоченной группы. Тогда БПР (ХГ ° ° ° Хи) = Х1+ ° ° ° + Хи. 'рак как элемент х; независим от х,+... +х;, при всех 2 <1<и (следствие 3 предложения 11), это равенство выводится из формулы и+о=бор(и, о)+1п1(и, о) (предложение 7) индукпней по и. 3амечаале.
Предложение 7 показывает также, что для того, чтобы к к у были леззвисимы, леобходимо и достаточпо, чтобы к-~-у=бор(к, у). Предло»канне 12 (ДЕЛ). Пусть а; суть и попарно независимых целых элементов из К. Тогда их произведение а, ... а„является и. о. к. злементов аи ..., а„. 17 Н. Бурбаки гл. у>,1> 258 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ Пгвдложение 13.
Пусть в решеточно-упорядоченной группе С дано множество (х ), допускающее нижнюю (соответственно верхнюю) грань у и произвольный элемент гЕС; тогда множество (вор (г, х„)) (соответственно ()п1(г, х ))) обладает >сижней (соо>пветстве>сне верхней) гранью, причем имеем соответственно >п1(аор(г, х„))= епр(г, >п1х„), 1 ьпр (101 (х, ха)) = 1п( (г, впр ха). (4) а а В самом деле, гор(г, х„)=я+(х„— г)+, поэтому при помощи сдвига мы можем свести все к случаю в= О. Другими словами, достаточно показать, что множество (х+а) обладает нижней гранью, равной у+. Так как уя.х„, то у+ <х+ для каждого а (предложе- ние 9в)). Если, обратно, аа.х+а для каждого а, то а<ха+ха (предложение 9а)); но иэ у<х„следует, что у >х,; поэтому а<х„+у для каждого а; другими словами, а <у+у =у+.
Вторая формула выводится аналогично с заменой эпр на сп1. Слкдствие. Если элеменпь г решеточно-упорядоче>ьной группы С не зависит от каждого ив элементов х„, образующих семейство с верхней гранью у, то х не зависит от у, Это непосредственно вытекает иэ второй формулы (4). 3 а м е ч а я и е. Примеяяя формулы предлежеяия (3 к мяежеству яэ двух элементов х, у, получим следующие формулы, выражающие, что в решетечяо-уперядечеяяей группе каждая кэ двух еперацвй епр и ш1 дастрабутавяа относительно другой." епр(ь, 1п((х, у))=-1п((эпр(ь, х], епр(х, у)), ьп((ь, епр(х, у))=шр(ш((ь, х), >п((ь, у)).
Пте свойстве дястрябутявяестя является специальным свойством решеточно-упорядоченных групп; ояо яе распресгракяется яя яа мяежества, яи даже яа решеточно-упорядочеяяые мояояды (см. упрежяеяие 24). лЗ. Э>сетпремальньсе элементпы Опгеделение 6. Элемент х упорядоченной группы С называется экстремальным, если он является минимальным в множестве строго положительных элементов группы С. Пусть х — экстремальный элемент упорядоченной группы С. Для всякого положительного элемента у~С элемент 1П1(х, у), УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 259 если он существует, может быть равен только либо х, либо О. Таким обрааом, в решеточно-упорядоченной группе каждый положительный элементлибо больше, либо независим с экстремальным элементом х; в частности, разные экстремальные алементы независимы. (ДЕЛ) Целый элемент р в К называется элстремальныи, если идеал (р) являетсн акстремальным элементом упорядоченной группы д".
Это означает, что каждый целый алемент, делящий р, ассоциирован либо с р, либо с 1. Если группа йт* решеточиоупорядочена, то всякий целый алемент а либо неаависим с р, либо кратен р. Замечание. 1) Тот факт, что целый элсмснт р является ф экстремальным, ие о«нечаеве, что (р) — максимальный идеал кольца Л (см.
упражнонко 26). 2) В некоторых случанх употребляют вместо слова экстремальный слово простой (напрпмср, для целых рацвональных чисел см. Гл. УП, 1 1, и' 4) клв слово иелривогияиа для полвяомон (см. гл, е"П, 1 1, п* 6). Пгедложение 14. ((еля того чтобы элемент х 0 структурно- упорядоченной группы был вкстремальным, необходимо и достаточно, чтобы из отношений «х<у+г, 0<у, 0<э» следовало отношение «х<у или х<г».
Если х экстремален, то, как мы только что видели, у либо больше х, либо не зависит от х; в последнем случае следствие 1 из предложения 11 показывает, что г больше х. Обратно, предположим„что условие теоремы выполнено: из 0<у <х выводим, полагая х=у+г (г> 0), что либо х <у, либо х<г. В первом случае х=у, во втором х <х — у, следовательно, у <О, а значит, у=О; ато показывает, что х действительно экстремальный.
Отметим, что мы не пользовались решеточной упорндоченностью труппы С прк доказатсльстве достаточностк условия. Вгкдложкние 14 (ДЕЛ). Пусть ог' — решеточно-упорядоченная группа. Необходимое и достаточное условие экстремальности целого злемента рсК заключается в том, что р должен бьипь отличен от единицы, и если р делит произведение двух целых элементов, то р делит хотя бы один из них. Пгедложение 15, Пусть С' — подгруппа решеточно-упорядоченной группы 6, порожденная множеством (р,),ш попарно различных экстремальных элементов группы 6. Каждый элемент 1то 200 гпогядочвнныв ггтппы и поля гл.
ть $1 х~С' можно однозначно представить в виде х= чан„р„где и,— В целые рациональные числа, отличные от нуля только для конечного числа индексое. 1<ля того чтобы элемент х был положительным, необходимо и достаточно, чтобы все и, были положительнь<ми. Ясно, что С' — множество элементов из С, представленных в виде ~ п,р„. Предположим, что ~ п,р,>0.
Перенося в правую В часть все члены с коэффициентами п,(0, получаем соотношение вида т р1+... + т„р„> к<у<+... + п„у„ где г>0, г>0 и р;, д~ составляют множество из с+в различных экстремальных элементов; следствие 3 предложения 11 показывает тогда, что правая и левая части неравенства независимы, и следовательно, в=О. Отсюда видно, что из соотношения ~~~ п,р„>0 следует положительность и, для всех ы Поэтому нз равенства ч~" „п,р,=О вытекает одновременно, что п,>0 и и, <0 для всех ь, т.
е. п„=О, и это завершает доказательство. Этот результат означает, что упорядоченная группа С' нзоморфна группе Х<Н вЂ” прямой сумме упорядоченных групп 2 (и' 6). упорядоченные гру<шы Е<п мол<но охарактеризовать следующим способом: Твогвмл 2. Для того чтобы упорядоченная группа С была игоморфна прямой сумме зрупп 2 (упорядоченных обычным образом) необходимо и достаточно, чтобы она была решеточно-упорядочена и удовлетворяла следующему условию: (МИН) Каждое непустпое множество положительных влементов группы С, наделенное отношением порядка, индуцированным отношением порядка в группе С, содержит минимальный глемент. Покажем сначала, что группа l<н решеточно-упорядочена и удовлетворяет условию (МИН). Она является решеточно-упорядоченной группой, поскольку зто прямая сумма совершенно упорядоченных групп.
С другой стороны, пусть Š— непустое множество положительных злементов из я<ц; пусть х= ~~э, п,е,— любой ь элемент множества Е це„) — канонический базис группы Е<н). Число полол<ительных елемеятов у г 2<ц, которые меньше х, конеч- хз упогядоченнык Ггунпы. Дклимость 261 но и равно Ц(п,+1) (лишь конечное число множителей в этом е произведении отлично от единицы). Следовательно, множество Р элементов из Е, меньших х, и подавно конечно; так как оно непусто, оно содержит минимальный элемент у (Теор. мн., гл. Н1), который является, очевидно, минимальным элементом в Е. Предположим наоборот, что условие (МИН) удовлетворено. Сначала докажем следующую лемму: Лкммл.
Пусть 6 — упорядоченная группа, удовлетворяюи(ая условию (МИН). Для каждого элемента х ~О иг 6 существует экстремальный элемент р Е 6 такой, что р<х. В самом деле, множество положительных элементов группы 6, меньших х, непусто и обладает минимальным элементом р, который, очевидно, будет экстремальным в группе 6. Приняв это во внимание, вернемся к доказательству теоремы 2. Чтобы применить предложение 15, нам достаточно показать, что группа 6 порождается своими экстремальными элементами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
