Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В самом деле, основным объектом изучения в чистой Алгебре в то времн становится теория групп перестановок, о которой нет нужды говорить здесь подробнее (ср. Исторические замечания к гл. 1). Другие достижения теории алгебраических полей связаны с развитием в тот же пернод Теории чисел и Алгебраической геометрии. Эти достижения, впрочем, относятся главным образом к способу изложения и по большей части принадлежат Дедекинду (ХУ111), который ввел понятия поля н кольца»»), а также (в связи со своими исследованиями ») Если К не содержит всех корней из единицы, пусть Š— поле, полученное присоединением к К всех таких корней.
Поле Е П А> является абелевым расширением поля К, откуда (пользуясь теоремой о строении конечных абелевых групп) беэ труда выводится, что для разрешимости группы поля А> над К необходимо и достаточно, чтобы была разрешима группа поля Е ( >>') над Е. Учитывая, что корни нз едишщы выражаются «в радпкалаю>, мы видим, что критерий Галуа не зависит от каких бы то пи было предположений о числовом поле К (и, более общо, остается справедливым для всякого поля характеристики нуль).
В действительности Галуа не накладывает на К никаких упрощающих ограничений, а проводит индукцню по порядку радикалов, последовательно присоединяемых к полю К ((ХУ), стр. 43). «') Слово «поле» («Ко»реп>.— Прим. яер««.) принадлежит самому Дедекинду; слово «кольцо» было введено Гильбертом (Дедекинд называл кольца «порядками»). ИСТОРИЧИСКИЙ ОЧВРК К ГЛАВАМ гЧ в Ч 233 по гиперкомплексным системам) систематически раввил линейный аснект теории расширений ((ХЧН1), т.
3, стр. 33 и далее), Ему также принадлежиг мысль рассматривать группу Галуа как состоящую уже из автоморфизмов соответствующего расширения, а не только как группу перестановок корней уравнения. Он доказывает (для числовых полей) фундамевтальнуютеорему о линейной независимости автоморфиамов ЦХЧН1), т. 3, стр. 29) иустанавливает существование нормального базиса у всякого расширения Галуа ((ХЧН!), т. 2, стр. 433). Наконец, он приступает к задаче описания алгебраических расширений бесконечной степени, констатирует, что теория Галуа в ее обычном виде адесь неприменима (ибо не всякая подгруппа группы Галуа совпадает с группой расширения относительно какого-нибудь подрасширения) и дерзким валетом интуиции уже предугадывает необходимость рассматривать группу Галуа как топологическую группу *) — идея, которая достигнет зрелости лишь в 1928 году, когда Крулль разовьет теорию расширений Галуа бесконечной степени (ХХ1Ч).
Параллельно с этим развитием уточняется понятие элемента, трансцендентного над полем. Существование трансцендентных чнсел впервые устанавливает Лиувилль в 1844 году с помощью явной конструкции, основанной на теории диофалтовых приближений (ХЧ1Н). В 1874 году Кантор предлагает новое, «неконсгруктивкоеэ доказательство, использующее простые соображения о мощности множеств (ср. 1 3, упражнение 1). Наконец, в 1873 году Эринт докавывает трансцендентность числа е, а в 1882 году Линдеманы аналогичным методом устанавливает трансцендентность и, положив конец старинной аадаче о квадратуре круга "«).
Что касается роли трансцендентных чисел в алгебраических выкладках, Кронекер в 1882 году замечает, что если число х трансцендентно над полем К, то поле К (х) изоморфко полю рациональных дробей К (Х) ((Х1Ха), стр. 7). Впрочем, присоединение переменных к полю становится краеугольным камнем его наложения теории алгебраических чисел (Х1Ха). С другой стороны, Дедекннд и Вебер в том же году ((ХЧШН, т.
1, стр. 238) показывают, как арифметические методы могут служить для обоснования теории алгебраических кривых. Так в разных направлениях проявляются аналогии между Арифметикой и Алгебраической геометрией, которым суждено окааатьск исключительно плодотворными для раавития обеих наук. Во всех этих исследованиях ивучаемые поля состоят из «конкретных» элементов в смысле классической математики — чисел (комплексных) илк функций от комплексных переменных ***) . Но уже К роиекер в 1882 году вполне э) «Со«окупность этих перестановок образует «не»отаром смысло непрерыеное многообраеие — еоппос, который мы не будем уелублкть далее». э*) Простые доказательства этих теорем можно найти, например, в книге: ГА Н1 1 Ь е г «, СезашшеНе АЬЬапб!пплеп, Вег! !и (Эрлпбег), 1932, ч.
1, з. 1. *ээ) Ни Кронекер, ни Дедекинд и Вебер, как н их предшественники, нв самом деле не определяют понятия «алгебраической функции» одной илм ИСТОРИЧЕСКИЕ ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1У в Т отдает себе отчет в том, что (как неясно предчувствовали Гаусс и Галуа) в его теории «переменные» (шбе«егш)пеев) играют всего лишь роль базисных элементов некоторой алгебры, а не переменных (чаг)аЫез) в сммсле Анализа ((Х1Ха), стр. 93 — 95).
В 1887 году он развивает зту идею в связи с обширной программой, направленной не более и не менее как на преобразование всей математяки в целом с отбрасыванием всего, что нельзя свести к алгебраическим операцням иад целыми числами (ср. Исторические замечания к Канте 1, гл. 1У). Именно по этому поводу, следуя идее Коши (ХУ1), который определил поле С комплексных чисел как поле вычетов В (Х)/(Х» + 1), Кронекер показывает, что теория алгебраических чисел совершенно ве зависит от «оснозной теоремы алгебры» и даже от теории вещественных чисел, ибо всякое иоле алгебраических чисел (конечной степени) изоморфио полю вычетов «7 (Х)/(/) (/ — неприводимый над Д многочлен) (Х1Хб).
Как замечает Вебер (ХХ) через несколько лет, развивая первый набросок аксиоматнческой теории полей, этот метод Кронекера в действительности применим к любому основному волю 7/. Вебер указывает, в частности, что в качестве К можно взять поле Я/(р) (р — простое число), вводя тем самым в теорию полей исчисление сравнений «по модулю р». Последнее зародилось во второй половине ХУП! века в работах Эйлера, Лагранжа, Лежандра и Гаусса, и его аналогия с теорией алгебраических уравнений неоднократно отмечалась.
Развивая эту аналогию, Галуа (в своих исследованиях по теории групп), не колеблясь, ввел «идеальные корни» сравнения, неприводимого по модулю р «), н указал мх важнейшее свойства ((ХУ), стр. 15 — 23) «"). Впрочем, пркмеиенне метода Кронекера к полю 2/(р) приводит (с точностью до терминологии) к представ- нескочьких комплексных переменных. В действительности правильно определить «алгебраическую функцию» одной комплексной переменной (в аналитическом смысле) можно, лишь определив предварительно соответствую«цую рнманову поверхность, тогда как именно введение римановой поверхности (чисто алгебраическими средствами) и было целью Дедекинда и Вебера.
Этот мнвмый порочный круг, разумеется, исчезает, коль скоро поле «алгебраических функций» определяется как абстрактное алгебраическое расширение поля рациональных функций. В действительности, только этим определением и пользуются Дедекинд и Вебер, что вполне узаконивает их результаты. *) В рукопнсв, предположнтельно датируемой 1799 годом, но опублвкованной лишь посмертно, Гаусс уже изложил идею введения таких «мнпмостей» и получил аиачвтельную часть результатов Галуа ((Х111), т. П, стр.
212 †2, в особенности стр. 217). «*) Галуа отчетливо сознает формальный характер алгебраических вычислений, не колеблясь, например, брать производную от левой части сравнения, чтобы доказать, что последнее не имеет кратных «мнвмых» корней ((ХУ), стр. 18). Он подчеркивает, в частности, что теорема о пршчитизнам элементе справедлива для конечных полей так же, как и для числовых ((ХУ), стр 17, примечание 2), впрочем, не доказывая этого. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ГУ н У 235 лению теории «мнимостей Галуа«, уже данному Серре и Дедекиндом ((ХУ111), т. 1, стр.
40). Ко всем этим примерам «абстрактных полейз в самом конце века прибавились 'поля нового и совершенно иного типа — поля формальных степенных рядов, введенные Веронезе (ХХ1) и особенно р-адические поля Гензеля (ХХ11). Именно ато последнее открытие привело Штейница (по его собственному свидетельству) к вьщеленвю абстрактных понятий, общих всем этим теориям, в фундаментальном труде (ХХ111), который можно рассматривать как зарождение современной конце1щии Алгебры. Систематически развивая следствия из аксиом коммутативного поля, Штейввц вводит понятия кратного поля, сепарабельных (алгебраических) элементов, совершенного поля, определяет степень трансцендентности расширения и, наконец, доказывает существование алгебраически замкнутых расширений любого поля.
' В самое последнее время теория Штейница была дополнена в нескольких важных отношениях. С одной стороны, работы Артина с очевидностью выявили линейный характер теории Галуа (ХХУ). С другой стороны, общее понятие дифференцирования (скопированное с формальных свойств классического дифференциального исчисления), предвосхищенное Дедекиндом ((ХУШ), т. 2, стр. 412) и введенное Штейницем в частном случае поля рациональных дробей ((ХХ111), стр.
209 †2), было с успехом использовано в (важном для современной Алгебраической геометрии) изучении трансцендентных расширений, в частности в обобщении на эти последние понятия сепарабельности (ХХУ1). БИБЛИОГРАФИЯ (Н) (11 Ь~з) (1Н) (1У) (У) (У1) (ЧН) (У1Н) (1Х) (Х) (хц (хн) (хш) (Х1У) (ХУ) О. Ы е и 3 е Ь а и е г, Чог!езипбеп 6Ьег ОеясЬ!сЬ(е бог ап!йеп Ма(ЬешаИЬ, т. 1: Чогбг!есЬ!ясЬе Ма!ЬешаИЬ, Вег1!и (Яргшбег), 1934. [Русск.
перевод: О. Н е й ге б а у а р, Лекции по истории античных математических наук, т. 1: Догреческап математика, ОНТИ, М.— Л., 1937.) Епс1И1з Е!ешепга, 5 тт., няд. 1. 1. Не!Ьегб, !лря!ае (ТеиЬпег), !883 †18. Т. Е. Н е а | Ь, ТЬе |Ь~г|ееп ЬооЫя о1 Епс1Ы'я Е!ешеп|я, 3 тт., Сап|ЬгЫде, !908. Н.
С а г д а п о, Орега, 1.уоп, 1663. К. В о и| Ь е 111, 1 'А!3еЬга, Во1о3пе (О. Кояв), !572. Р г а п с ! я с ! У ! е | а е, Орега ша|Ье|паИса..., Епб|!ип1 Ва|а- чогпш (Е!яеч!г), 1646. А. О 1 г а г |1, 1пчспИоп попче11е еп А13еЬге, Ашз!егдаш, 1629. К. В е я с а г | е я, Оеоше!г!а, |тай. )аИпе де Рг. чап ЯсЬоо|еп, 2-е пзд., 2 тт., Ашя|еп)аш (Е!зеч!г), 1659 — 1661.
О. %. 1, е 1 Ь п 1 я, МайешаИясЬе ЯсЬг!(геп, пяд. С. 1. ОегЬагдЕ 7 тт., Ввг11п — На!1е (АяЬег — ЯсЬпибЦ, 1849 — 1863. Нег Вг!е(ччесЬяе! чои Сош(г1еб чг!1Ье!ш 1.е1Ьп!я ш|е МайешаИ- Ьегп, Ьегапяб. чоп С. 1. ОегЬагбг, т. 1, Вег!!и (Мауег апб М611ег), 1899. 1.. Е и!в г, Орега Оп|и!а (1), т. У1, Вег1!п — )п1рг13 (ТепЬпег), 1921: а) Эе рогш!я Каб!сиш Ае|(иа|!оппш..., стр. ! — !9; б) Оо Кеяо1пИопе Ае|(паИоппш сп)ияч!я бгадия, стр. 170 — 196. Х.-Ь. Ь а 3 г а п 3 е, (Еичгея, т. Н1, Раг!я (Сапй|ег-Ч!1!агя) 1869: а) Ке(1ех!опоя яиг 1а геяо!пИоп а!3ебг!|(ие дея е|(иаИопя, р. 205— 421; б) Яиг !а 1оипе йея гас1пея !шаб!па!гея |!ея е|(паИопя, стр. 479.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
