Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Ч, стр. 97 и 124 — 126). >*) О зачаточном состоянии, в котором в то время находилось еще нсчксление комплексных велячнп, можно составить себе отчетливое представление, читая Лейбница (одвого из наиболее опытных в етом исчислении математиков той эпохи), который выражается так, как будто считает невозможным разложить мпогочлен х«+ 1 на два вещественных множителя второй степени ((ЧП1), т.
Ч, стр. 359 — 360). 15 Н. пурбанк 22О ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1Ч и Ч п — 1 уравнения степени — . Что до «основной теоремы», то после многократнмх 2 неудач с общим решеяием «в радикалах» (включая несколько попыток Эйлера (Х)) начинаются поиски априорных доказательств, не использующих яввмх формул для решений. Не входя в детали предлагавшихся методов (которые в конце концов привелп к докааательствам Лагранжа и Гаусса; ср. Исторические замечания к Квнге 11, гл.
Ч\, Ч11 п Книге 111, гл. Ч111), отметим здесь точку зрения, с которой эта проблема рассматривается в середине ХЧ111 нека. Допускается (бев какого бы то ни было оправдания, кроме смутного ощущения «общего случая», несомненно обязанного своим возникновением, как у А, Жирара, наличию соотношений между коэффициентами и корнями), что у всякого уравнения степени л есть и «пдеальвых» корней, с которыми можно вычислять, как с числамп, ие екал, леллютел ли еии числами (вещественными или комплексными). Предполагается доказать (пользуясь правилами действий с зтпмн идеальными корнями), что по крайней мере один нз корней является обычна>м комплексным числом »). В этом несовершенном ниде можно различить уже первым росток общей идеи «формального присоединению, которой, несмотря на возражения Гаусса ((Х111), т. П1, стр.
1), суждено было стать основой современной теории коммутативных полей. С основоположными работами Лагранжа (Х!а) и Вапдермонда (Х11) 1770 год открывает новый п решающий период в истории теории алгебраических уравнений. Безраздельно царившему до той поры эмпиризму более или менее удачных попыток найти формулы для решений приходит на смену систематвческпй аналиа поставленных проблем п методов, способных с ними справиться, — анализ, который через шестьдесят лет привел к окончательным результатам Галуа. Как Лагранж, так п Вандермонд исходят кз неопределенности, к которой приводят разные значения радикалов в формулах для решения уравнений степени < 4.
Это обстоятельство уже привлекало внимание Эйлера, который среди прочего показал, как следует согласовывать значения корней в формуле дель Ферро, чтобы получить 3 корня, а не 9. Лаграяж замечает, что каждый из кубических радикалов в формуле дель Ферро можно записать в виде — (х»+ юхз + ю хз), где ю — некоторый кубический корень из 1 » 3 единицы, х«, хз, хз — три корня рассматриваемого уравнения, взятые вопределенном порядке.
Лагранж затем делает фундаментальное наблюдение, по функция (х> + «>ха+ «>»хз)' от трех корней ма>нет принимать лишь >»еа разных значения при всевозможных перестановках корней, что аириорио объясняет успех методов решения кубического уравнения. Подобный же анализ методов решения уравнения четвертой степени приводит к функции х>ха+ хзх» четырех корней, принимающей только три разных значения прн всевозможных перестановках корней и являющейся, стало быть, корнем *) Следует отметить, что «мнпмые (!шаб>ва!гез) корни» математиков ХЧП1 века — это часто пмекно «идеальные» корни, относительно которых н пытаются доказать, что они имеют вид а + Ь У вЂ” 1 (см., например, (Х!б)).
227 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК.К ГЛАВАМ ГУ в У некоторого кубического уравнения, коэффициенты которого суть рационашные функции от коэффициентов первоначального уравнения в). Лаграюк говорит,.что эти факты веоетавляют иетинньш «рикки«ы и, так сковать, саму мвтаубилику ьь) раарешенив в радикалах уравнений третьей и четвертой еяье«ени» ((Х1), стр. 357). Опираясь иа эти првмеры, Лагранж намеревается изучить в общем случае для уравнений степени «, какое количество т разных значений вьь) может принимать при произвольных перестановках .корней рациональная функция У от этих корней. По существу, он аакладывает тем самым (на языке, еще тесно свяаанном с теорией уравнений) основы теории групп и полей и получает несколько фундаментальных результатов этих теорий, используя те же принципы, которыми мы польауемся сегодня.
Например, он доказывает, что число т делит «), тем же рассуждением, которое служит сейчас для доказательства того факта, что порядок подгруппы конечной группы делит порядок всей группы. Еще более замечательная творема, в которой ои показывает, что если две рациональные функции от корней уь и уз остаются инзариавткыми при одних и тех же перестановках, то каждая из вих является рациональной функцией от другой и от коэффициентов уравнения (частный случай теоремы Галуа, характеризующей всякое подрасширенне расширения Галуа как поле инвариантов его группы Галуа). вдта «роблема,— говорит Лагранж,— «редетавляетея мне одной ив важнейших е теории уравнений, и ее общее решение, которое мы даем ниже, должно «оковать в новом свете ату часть Алаебрьь» ((Х1), стр.
3?4). Все эти иаыскания, естественно, в духе Лагранжа являются лишь подготовкой к анализу возможных методов решения алгебраических уравнений их последовательным сведением к уравнениям меньшей степени, ибо всяквй такой метод,как показывает Лагранж, связан с образованием рациональных функций от корней, принимающих меньше «аначевий при всевоаможвых пере.становках корней. Руководствуясгн несомненно, своими результатами о кубическом уравнении, ои вводит в общем случае врезольвеиты Лагранжа» уа = ~Ч~ ~шаха, где ыь — корень «-й степени из единицы (1; й .й'„Ь), Л=1 *) В этом слове, столь часто выходящем из-под пера авторов ХЧПГ века, допустимо усматривать первый, еще довольно смутный зачаток совре.- менного понятна структуры.
ьь) Варнкг также заметилхто обстоятельство в своих вАлгебраических размышлениях», которые вышли в свет в том же 1770 году, но был не в состоянии извлечь нз этого наблюдения те следствия, которые навлек из него Лагранж. ьь*) Лаграюк уже проводит различие между различными раииональнььии дробями, которые получаются иа у перестановками переменных хв (1 .я < 1 < «) и различными значениями, которые принимают эти дроби, когда х являются корнями некоторого алгебраического уравнения с данными численными коэффициентами. Все же его изложение не лвшеио колебаний по этому поводу, и лишь у Галуа это рааличие становится более явным.
1ба 228 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ГЧ и Ч с очевидностью показывает, как энание этих и чисел позволяет найти корни уа, и вычисляет в общем случае степень уравнения, которому удовлетворяют числа уь. Он понавывает, например, что если к — простое число, то уа являются корнями некоторого уравнения степени к — 1, коэффицненты которого представляют собой рациональные функции одного корня уравнения степени (л — 2)(; коэффициенты последнего рационально выражаются черен коэффициентыпервоначального уравнения. вЕсли я не обманьюаюсь,— ваключает он,— таковы истинные принциаы разрешении уравнений и надлехса»ций анализ, который к ним криводит; как видно, все сводитач к комбинаторному исчислению сисциальносо рода, которое позволяет акриори находить охсидаемые результаты» ((Х1а), стр. 403).
Что касается мемуара Вандермоида, написанного не»анисима от работы Лаграюка, в нем имеются многочисленные точки соприкосновения с этой работой, в частности идея отыскивать рациональные функции от корней, принимающие по воаможности мало разных значений при перестановках корпей «), и изучение «реэольвент Лагранжа», также введенных Вандермондом по этому поводу. Хотя его мемуар далеко пе вмеет ясности и общности, которые присущи труду Лагранжа, в одном пункте Вандермонд явно идет дальше Лагранжа, применяя все эти»шеи к уравнению деления круга х" — 1 прн простых нечетных к. В то время как Лагранж ограничивается напомни — 1 нанием о сведении этого уравнения к уравнению степени т = — с рациональ- 2 ниии коэффициентами и не пытается решить его при к ,'у.
11, Вандермонд утверждает, что т-е степени реэольвеит Лагранжа этого уравнения рациональны из-аа соотношений между раэличвыми корнями уравнения х"— — 1; но основательность этого утверждения он проверяет лишь при н = 11, не донаэывая его в общем случае. Только тридцать лет спустя сформулированный Вандермондом реэультат был полностью докаэан К. Ф. Гауссом «*). Его окончательные результаты об уравнении х" — 1 = 0 (и — простое нечетное число) находят свое место в общей программе его внаменитых арифметнчесних исследований ((Х111), т.
1, стр. 413 н далее) и особенно ярко иллюстрирует его мастерство в обращении с тем, что мы сегодня наэываем теорией циклических групп. ДокаФ„(х) = (х" — 1) вав, что многочлен " иеприводим при всех нечетных (х — 1) *) В этом исследовании (развитом в действительности лишь для уравнений пятой степени) впервые появляется понятие имаримитивности ((Х11), стр. 390-391).
Кроме того, методы Лагранжа и Вандермоида естественно сближаются и с их работами того времени об определителях, благодаря которым идея перестановки и все, что с ней связано, должно было стать привычным этим ученым. **) Гаусс не ссылается на Вапдермонда в своих «Арифметических исследованиях», но правдоподобно, что он читал мемуар этого автора (ср.
Х111, т. Х, АЪЬ. 4, стр. 58). ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1Ч н Ч 229 простых я "), Гаусс аатем выскааывает идею записать я — 1 корней этого ь многочлена в виде Гз = ~ь (О ( 1« ~ я — 2), где у — примитивный корень сравнения зя т ш 1 шоб п (что на современном языке сводится к выяснению цикличности группы Г уравнения Фи (з) = О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
