Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Тогда предложение 1 можно выразить в следующей эквивалентной форме: Пгкдложкник 2. Пусть Л вЂ” расширение Галуа поля К, à — группа Галуа поля Х над полем К. Подгруппа Ь группы Г, поле инвариантов которой совпадает с полем К, всюду плотна в группе Г. Действительно, для любого элемента сб Г и любого расширения Галуа Ь ~ Ю поля К конечной степени над полем К существует элемент т ~ й, для которого ограничения элементов с и т ва Л, в силу предложения 1, совпадают.
Следовательно, о 'т ~ у (Х), откуда следует предложение. х. Свойства пчопологичеснмю групп Галуа Пусть Л' †расширен Галуа поля К, à †е группа Галуа, АС 1у — расширение Галуа конечной степени поля К. Для двух элементов т, с группы Г имеем с 'т Е д (Е) в том и только в том случае, если с (х) = т (х) для всех элементов х некоторой системы образующих поля Ь над полем К, которую, в силу предполоясенвя„можно выбрать конечной.
Наоборот, поскольку всякое расширение Галуа поля К, порожденное конечною частью поля 1т, имеет конечную степень над полем К Я 6, следствие 1 к пред- Ф РАсшиРения РАлуА Бесконечнои степени 215 ложению 9), мы видим, что топология группы Г является в точности топологией простой сходимости. Предполагается при этом, что поле Лг наделено дискретной топологией (Общ. топол., гл. Х, 4 1, и'3). Можно добавить, что при рассмотрении группы Г в качестве части множества Л'» отображений пэ Л в Ф ее топология индуцируется топологиеп произведения дискретных топологий на сомножителях в Лг .
Если Л' наделить развокорзой дпскретной топологией, то группа Г является ойшсопиао. Нто заново доказывает, что топология лростой сходвиостя согласуется со структурой группы Г (Общ. толол., гл. Х, 1 3, предложенве Н). Пгедложение 3. Группа Галуа Г расширения Галуа поля К является вполне несвязной компактной группой.
Действительно, Г как подпространство пространства Лг и отделимо и вполне несвязно, как все пространство Л (Общ. н топал., гл. 1, 1 11, предложение 9). Для любого элемента х~дг множество элементов вида о (х), где о пробегает группу Г, конечно, поскольку оио является множеством сопряженных над полем К к алгебраическому над полем К элементу х. Все проекпии группы Г на пространства сомножителей произведения Л'н являются конечными множествами. Это доказывает относительную компактность группы Г в Фл (Общ. топал., гл. 1, й 10, следствие к теореме 2).
Остается лишь доказать замкнутость Г в Л' . Но если и нрннадлежит к замыканию Г в Ф, то для я и любой пары (х, у) точек из ЛГ существует элемент С~Г, для которого о(х)=-и(х), о(у)=и(у), а(х+у)=и(х+у) и а(ху)= =п(ху). Отсюда следует, что и(х-,' у)=и(х)+и(у) и и(ху)= = и (х) и (у). Это доказывает, что и является эвдоморфизмом поля Л. Для всякого элемента х с К подобными же рассуждениями покажем, что и(х) = — х. Таким образом, и, является К-эндоморфизмом поля Л', а в силу алгебраичпости поля Л' над К и является, следовательно, и К-автоморфизмом полн Л (б 6, предложение 4).
То обстоятельство, что группа Г вполне несвязна, вытекает также и нв того, что для любого подрасширения з. поля Ф, являющегося расширением Галуа конечной степени над полем К, подгруппа д(Ь) группы Г, которая, по определению, есть 216 пгиложении ы н ГлАВе у окрестность нуля, открыта в Г. Следовательно, она также и замкнута (Общ. топол., гл. 1П, $ 2, предложение 4). Более общо: Пгвдложение 4. Пусть Лт — расширение Галуа поля К, 1' — его группа Галуа.
Если Р— подрасширение поля тт' конечной стпепени над полем К, то группа Галуа у(Р) поля Лт над полем Р является подгруппой, одновременно открытой и замкнутой в группе Г. Действительно, пусть Ь вЂ” расширение Галуа, порожденное Р; Ь имеет конечную степень над полем К ($ 6, следствие 1 и предложению 9), причем у(Ь)С у(Р). Следовательно, единичный элемент группы Г явлиется внутренней точной подгруппы у(Р), что и доказывает предложение (Общ. топал., гл.
П1, 1 2, предложение 4). Рассмотрим теперь произвольное подрасширение Е поля Лт. Группа Галуа у(Е) поля Лт над полем Е является множеством элементов аЕГ, для которых а(х)=х для любого х~Е. Поскольку любая из проекций о-+о(х) группы Г на пространства сомножителей в Лт непрерывна, у(Е) является замкнутой подгруппой группы Г (Общ. топал., гл.
1, 4 8, следствие предложения 6). Топология группы Г индуцирует на у(Е) топологию простой сходимости в Лт. Таким образом, индуцированная топология совпадает с топологией, определенной на группе Галуа у(Е) методом и' 1. Обратно, рассмотрим произвольную подгруппу Л группы Г.
Пусть Е =й(Л) †по инвариантов группы Л. В силу предложения 2 подгруппа Л всюду плотна в группе Галуа у(Е), которая является, следовательно, замыканием подгруппы Л в группе Г. В итоге основная теорема о расширениях Галуа конечной степени ( $ 10, теорема 3) обобщается следующим образом: Твогкмл 1. Пусть Х вЂ” расширение Галуа поля К, à — его (топологическая) группа Галуа. Пусть Ы вЂ” множестпво промежуточных полей между полями К и Лт, пусть 3 — множество замкнутых подгрупп группы Г.
Д"ля любой подгруппы Е ~ У пусть й(Л) — поле инвариантов группы Л. Д'ля любого подполя Е~еЪ' пусть у(Е) — группа Галуа полл .У над Е. Отображение Е-+у(Е) является взаимно однозначным отпображением из М на У, для которого Л -+ й (Л) является обратным отображением. РАсшиРения ГАлуА весконечнои степени 217 Пввдложвнив 5. Пусть М вЂ” расширение Галуа поля К, Š— расширение Галуа полл К, содержащееся в поле )г'. Пусть à — группа Галуа поля )ч' над полем К, К вЂ” группа Галуа поля )г' над полем Е. Группа Галуа поля Е над полем К игоморфна (топологической) группе П~Л. Поскольку группы Галуа полей )т' и Е относительно поля К компактны, все сводится к доказательству того, что отображение а — ьал (которое каждому автоморфизму С ~Г ставит в соответствие его ограничение на Е) является непрерывным па Г (2 10, предложение 4 и Общ.
топал., гл. 1, 2 10, теорема 1). Но если à — некоторое подрасширение поля Е, являющееся расширением Галуа конечной степени относительно поля К, то ив включения асд(Ь) следует, что ак содержится в группе Галуа поля Е относительно поля Г,. Отсюда следует предложение. Уира ж вен и я. 1) а) Пусть Х вЂ” расшпревпе Галуа поля К бескояешой степеви иад К. Докаэатгч что группа Галуа Г поля )ч' вад К не леелется счетной (испольэуя упражнение 18 иэ 1 8, построить множество К-автоморфиэмов полн )ч' мощности континуум). б) Вывести пэ этого, что в етом случае в группе Г существуют веэамкяутые подгруппы (рассмотреть счетэые подгруппы группы Г) 2) Пусть (1 — расширение поля К, Х вЂ” подрасшпреяие поля (), явлшощееся расшвреяием Галуа поля М', Š— произвольное подрасширеиве поли П.
Докааать, что (топологическая) группа Галуа поля Ф вад Е())ч" пэоморфяа (топологической) группе Галуа поля Е (Л') яад Е (испольэовать следствие 1 теоремы 1 пэ 1 10). 3) Пусть Х вЂ” расширение Галуа поля К, (Е,),зг — семейство подрасширевий поля су, каждое иэ которых является расширением Галуа яад К и для которых: 1' для любого индекса и, обоэяачая символом Е„' поле, порождеяиое объедияеяпем Е, с ч ~ и, имеем ЕхпЕ'„=К; 2' поле )ч' порождено объедияением Ег а) Доказать, что поле К иэоморфао теяэорвому проиэаедевию ЯЕ, расширений Е, поля К (гл.
1И, Приложеяпе 1, и' 2) (опре(и делить пэоморфиам этого проиэведеякя яа Ф, использовав теорему 1 иэ 1 10). б) Пусть Г,— группа Галуа поля Е, относительно К; доказать, что (топологическая) группа Галуа поля Х отвосптелько К паоморфва пропэведеиию (топологяческих) групп Гг 4) Пусть )ч' †расширен Галуа полн К, Л вЂ наибольш абелево расшпреяие поля К, содержащееся в )ч' ( 1 10, следствие предложевиа 5). Пусть à †груп Галуа поля )ч' яад К; доказать, что ПРИЛОЖЕНИЕ Ш К ГЛАВЕ Ч группа Галуа поля гг над А являетсн замыканием коммутанта группы Г.
а 5) Пусть Пр — алгебраическое замыкание простого поля гр. Для любого простого числа ( пусть Хг — объединение расширений поля г"р, содержащихся в Пр, степени которых являются степенями числа й а) Доказать, что Л'р является абелевым расширением поля г"р, группа Галуа Г~ которого наоморфна (топологической) аддитивной группе Я~ целых (-адкческих чисел (определить изоморфнзм из И~ па Гь испольауя при атом предложение 5 из 1 11). б) Доказать, что поле ()р язлпется абелевым расширением поля Рю что его группа Галуа Г нзоморфна произведению топологвческих групп Яь где 1 пробегает множество простых чисел (см.
упражнение 3]. ,Доказать, что счетная подгруппа группы Г, порожденная автоморфвзмом з — ьла всюду плотна в Г. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1У И У (Римские цифры относятся к библиографии, помещенной в конце этих замечаний.) Теория полей, а такгке тесно связанная с ней теория многочленов— прямой продукт деятельности, состанлявшей до середины Х1Х века основное содержание классической алгебры. Эта деятельность была направлена ва решение алгебраических уравнений и сводящихся к нпм задач о геометрических построениях. Вытаясь решить алгебраическое уравнение выше пергой степени, мы оказываемся перед совершенно новыми вычислительными трудностями, ибо становится невозможным определить значение неизвестной, пользуясь лишь «рациональными» действиями над данными задачами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
