Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 40
Текст из файла (страница 40)
то Ф< (Х)=Х +1. Отсюда, окончательно, Ф„(Х) =Ха — Хз+ 1. Отметим, что мяогочлея Ф,з(Х) приводам яад полем характеристики 5, поскольку Хз — Ха+1=-(Х вЂ” 2Х вЂ” 1) (Х +2Х вЂ” 1) (см. упражяепие 1). 3амечаяия. 1) Сравяиваястепеяидвухчлеяов вравеястве (2), найдем соотяошеяие (1).
Отсюда можво вывести аналогичный рекур- Положим Ь~<р(н). Пусть Ь< (1 ~ < < Ь) — Ь примитивных корней а иа едияицы. Мяогочлея Ф„(Х) =Ц (Х вЂ” ь!) принадлежит кольцу <=! Р Щ, ибо оя иявариаятея при любом автоморфизме из группы Гз. Уравяеяие Фн (х) =О называется уравнением деления круга на и равных час<ней или циклотомическим уравнением индекса к„Мяогочлен Ф„называют Чнклон<ол<нческим мноеочленом индекса к. Много- член Ф„пеприводим в кольце Р (Х) в том и только в том случае, если группа Го имеет порядок, равкый <у (н). Если число и задано явно, можно явяо вычислить мяогочлея Ф„ с помощью следующего рекурректяого процесса. Если корева н-й степени из едиивцы имеет порядок а<, то <( делит н (в' 1) и является примитивным корвем,степеяи й.
Обратяо. любой примитиввь<й корень степеяи Ы является корнем к-й степени из едипвць<, если й делит и. Таким образом, им<ем КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 191 рентный процесс для вычисления !р(я). Позднее мы дадим другие выражения для <р(л) и многочлена Ф„. 2) Метод вычисления Ф„, указанный выше, дает для Ф„многочлен с целыми рациональными коэффициентами, которые определены однозначно (как зто легко доказать индунцией) н не зависят от характеристики ноля Р. 3. Котаатзмэсн тЕО.~М Мы докажем в главе ЧШ, $ И, и' 1, что любое конечное тело обязательно коммутативно (см. упражнение14). В атом и' мы изучим структуру конечных тел, предполагая нх коммутатнвными.
Мы уже заметили (1 1, и' 1), что конечное поле К необходимо имеет характеристику р ) О (которая, следовательно, совпадает с характеристической экспонентой поля К). Оно является расширением своего простого подполя Р (изоморфного полю ю/(р)), причем, очевидно, конечной степени и над Р. Напомним, что любое некоторое пространство Г размерности и над полем Х. изоморфно пространству Ьн (гл.
11, б 3, следствие 1 к теореме 3). Если поле Ь состоит нз г элементов, то векторное пространство .Е содержит гь элементов. Это доказывает, что рассматриваемое поле К имеет ро=гг элементов. Мультипликативная группа Ке ненулевых элементов ноля К является группой порядка 9 в 1. Следовательно, для любого элемента х из К* имеем хч ь = 1 (гл. 1, й 6, следствие к предложению 8), и тем более х'= х.
Это последнее соотношение справедливо н,"при х=О. Поэтому мы видим, что д элементов $! (1 <1<д) поля К являются корнями мпогочлена Хч — Х, откуда следует тождество Х' — Х= И (Х вЂ” $!). Таким образом, мок!- !=! но сказать, что поле К совпадает одновременно е полем корней и с мнозгееетвом корней многочлена Х' — Х. Это доказывает изоморфнзм двух конечных полей с одним и тем же числом элементов "). *) В самом деле, пусть р! и рз — два различных простых числа; тогда р~ Ф рз для любых целмх положительных чисел т и л.
Иначе из равенства р,"=р! вытекало бы, что р," ш 0(шой р!). Ввиду того, что и!(р!)— поле, в нем отсутствуют делители О. Отсюда получим, что рз ш О (шод р,), что невозможно (см. гл. ЧП, 1 1, и' 3). гл.т,)й поля Обратно, пусть у=р" — любая степень некоторого простого числа р. Рассмотрим в алгебраическом замыкании йр простого поля У/р корни многочлена Х» — Х, нли, что то же самое, элементы поля йр, инвариантные при автоморфиэме х — +х» совершенного поля йр ($1, предложение 1 и $7, следствие предложения 5).
Эти элементы обраауют поле, которое мы обоэначим (для удобства) символом Р . Это поле является расширением конечной степени поля У/(р)=Рр. Так как производная много- члена Х» — Х равна — 1, то все корни многочлена Х» — Х в йр простые (глава 1У, $4, предложение 3). Следовательно, поле Р» содержит у=р" элементов и является расширением Галуа поля Рр ($ 10, следствие предложения 6) степени и. Мультипликативная группа Р» ненулевых элементов поля Р» совпадает с группой корней (д — 1)-й степени иэ единицы в поле йр. В итоге: Ткорвмл 2.
а) Число элементов д конечного поля необходимо является степенью р" некоторого простого числа р. б) Для любого простого числа р и любого целого числа п,О существует поле Р, состоящее иэ д=р" элементов: поле корней многочлена Х» — Х над простим полем Рр — — Х'(р). Любой элемент поля Р» являетея корнем этого многочлена. в) Р» есть поле инвариантов относительно автоморфиэма х — +х» (произвольного) алгебраически замкнутого расширения поля Р». г) Любое поле иэ ц элементов иэоморфно полю Р . д) Аддитивная группа поля Р» являетея прямой суммой и циклических групп порядка р. Мультипликативная группа Р" являетея циклической группой порядка д — 1, 4. Алеебраические расширения конечной стив»лени конечного поля Првдлоя<внив 3.
а) Для любого целого т) 0 поле Р»ю являетея расширением степени т поля Р . Для любого образующего Х циклической группы Р* имеем Г» = Р» (~). б) В произвольном алгебраичееки замкнутом расширении й поля Р» существует единственное расширение степени т поля Р», иэоморфное полю Р»т. Первая часть предложения получается немедленно. С другой стороны, всякое расширение степени т поля Р», содержащееся КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 193 в 1в, состоит из ды элементов. Следовательно (теорема 2 в)) оно является полем инвариантов автоморфизма х — > хч в поле Й, чем и заканчивается доказательство.
Следствие. Каждый ненулевой злемент алгебраического замыкания конечного поля являегпся корнем из единицы. Действительно, если элемент х алгебраичен над полем Рз, то Рч(х) есть алгебраическое расширение конечной степени поля Ее, слодовательно, конечное поле. Первая часть предложения 3 позволяет сформулировать теорему о примитивных элементах Я 7, предложение 12) во всей ее общности: Пгкдложкник 4. Каждое сепарабельное алгебраическое расширение Е конечной степени над поггм К является простым. Пгкдложкник 5.
Поле Ре» является абелевым расширением поля Рч. Его группа Галуа над полем Рс является циклической группой порядка т и состоит. из автолворфизмов х -+ х (О < )с < т — 1) . Действительно, пусть и — автоморфизм х — +х" поля Р Я 7, следствие к предложению 5). Полем инвариантов для автоморфизма о служит поле Рв '(теорема 2). Следовательно, оно является и полем инварнантов для циклической группы Г, порожденной о.
Из этого вытекает (2 10, теорема 2), что Г является группой Галуа поля Р „, над полем Рч н имеет, таким образом, порядок, равный т. 5. Цнтслнчесзсме расмвирення Опркдклкник 2. Расширение Е поля К называется циклическим, если оно является расширением Галуа, а его группа Галуа над полем К циклическая. П р и м е р ы. 1] Каждое сепарабсльиое квадратичное расширеиие Е поля К циклично иад полем К. В самом деле Я т, предложение 12), имеем Š— -К(ы), где ы — корень некоторого иеприводимого миогочлеиа Хз+аХ+() из кольца К(Х).
Второй корень ы' етого миогочлсиа равен а — ы и, влачит, также принадлежит полю Е. Поле Е является расширением Галуа поля К, его группа Галуа иад К имеет порядок, равный двум, и, влачит, цикличиа. 2) Предложение 5 показывает, что поле г" является цикли- Я ческим расширением степени ш поля гч. 13 н.
вурааее 194 гл. ч, 111 поля 3) Пусть К вЂ” произвольное поле, о — автоморфвэм конечного порядка и поля К (то есть и — вто наименьшее нэ целых чисел А, для которых а" есть тождественный автоморфнэм). Поле ь ннварнантов автоморфнвма а в то же время есть н поле ннварнантов циклической группы и-го порядка, порожденной о. Следовательно (1 10, теорема 2), поле К является цанлнчеспнм расшвреявем степенн и поля й. Известно (гл. 1, $ 6, предложение 8), что каждая циклическан группа и-го порядка иаоморфна группе Хl(пЕ). Подгруппы группы Х, содержащие пЕ, имеют вид с(2, где с( пробегает множество делителей числа и.
Поатому подгруппы группы 2/пЕ являются факторгруппами вида с/2/пЕ (гл. 1, 4 6, теорема 6). Но если и =Об, то изоморфиам х — > дх группы Е на ИХ отображает подгруппу 62 группы Е на подгруппу пХ группы дЕ. Таким образом, группа с)2/пЕ изоморфна группе 2/62. С другой стороны, факторгруппа группы Е/пХ по подгруппе ЫЕ/пЕ иаоморфна группе Е/йЕ (гл.
1, $ 6, теорема 6). Тем самым, мы видим, что каждая подгруппа и каждая уэакторгруппа циклической группы опять являются циклической группой. Таким образом ($ 10, теорема 3 и предложение 4), если Е— циклическое расширение степени и поля К, то любое поле Р, промежуточное меячду К и Е, циклично над К, а поле Е циклично над Р, Точнее, имеется взаимно однозначное соответствие между делителями числа и и промежуточными полями между К и Е: каждому делителю с1 числа п соответствует промежуточное циклическое поле Р степени и/й над полем К, для которого Š— циклическое поле степени с) над полем Р.
В произвольном циклическом расширении Е поля К норма и след алемента поля Е обладают следующим фундаментальным свойством: Твогемл 3 (Гильввгт). Пусть Š— циклическое рапиирение полл К, а — образующий элемент группы Галуа полл Ь' над полем К. а) Длл элемента хбЕ равенство )ч)лтя(х) =1 имеет место в том и только в том случае, когда существует ненулевой влемент у ГЕ, длл которого х=у1 в(=у,'о '(у)).
Калсдый элемент у,бЬ', длл которого х=у1-в, имеет вид )у, где Х РК*; б) длл элемента хРЕ равенство Тгкэл(х)=0 имеет место в том и только в том случае, когда существует элемент г гЕ, длл которого х=г — о(г). Каждый элемент г,бЕ, длл которого х=г,— а(г,), имеет вид г+(г, где (гг К. 195 КОРНИ ИЭ ЕДИНИЦЫ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
