Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Более общо, для каждого элемента Л= ~к~ Ь!о! 1=1 из этой алгебра и для каждого хйи положим Л х=~ Ь;о! (х); 1=1 непосредственно видно, что этот внешний закон композиции (вместе со сложением в и) определяет на Е структуру левого А-модуля. В том же случае, когда рассматриваются нормы элементов иа Е, предпочтительнее записывать хо вместо о !(х) длн каждого а р Г. » Положим для каждого элемента Л= ~" Ь!а! пз А и каждого х б Ео 1=1 »» х = () (х !) 1=- () (х !) !. 1=! 1=-1 о +от+..
+о» Слсдовательпо, можно писать (ч (х) =х ! з "' ". Легко убедиться, что (ху) =х у, х +л=х хк и (х )"=х к; другими словами, закон ь ь ь а+и ь и гл. ч, 1 !О 176 поля умпоженпп мулыпипликашивчоа (абелееой) группы Е» и впешапй заков (Х, х)-~.х определяют па и» структуру про»ого А-модуля. Пгкдложвнив 9. 11усть Š— сепарабельное расширегьие конечной степени и поля К, У вЂ” сепо рабельное расгаирение поля Е конечной степени т.
Для каждого х~р справедливы равенства 1пг!л (х) = Хшл ()))шп (х)), (5) Тгяш (х) = Тгшл (Тгшв (х)). (6) Действительно, пусть С вЂ” расширение Галуа поля К, порол<денное множеством Р; К-изоморфизмы произвольного подрасширения Е расширения С в алгебраическое замыкание поля К отображают Ь в С и могут быть продолжены до К-автоморфизмов поля С (1 6, предложение 7). Пусть о! (1 < ! < и) — все К-изоморфнэмы поля Е в С; предположим, что каждый из них продолжен до некоторого К-автоморфиэма поля С, который мы обозначим через оь Пусть, с другой стороны, т! (1 <1<т) — все Е-изоморфиэмы поля Р в С. Если ф — нроизвольпый К-изоморфизм поля Р в С, то его ограничение на Е является К-изоморфизмом поля Е и, следовательно, совпадает с одним иэ оь Отображение о!го!р является тогда Е-иэоморфизмом поля Р и, значит, совпадает с некоторым тг, другими словами, гр=аготь и ясно, что каждый К-игоморфиам поля Р единственным образом записывается в таком виде; следовательно, для каждого х~ Р » пг Тгггк(х)= ~ (~ аг(тг(х)))»» г=! = 2„а!( ~ т((х))= ~~; ей(Тг,ш(х)=-Тгшл(Тгшв(х)), г=! поскольку элемент Тгшп(х) принадлежит полю Е.
Аналогично доказывается формула (5). Слвдствнв 1. Для каждого элемента х~Е справедливы равенстпва Жшп (х) — (Жшл (х)) Тгшк (х) = т 'Тгв(л (х) Слвдствив 2. Пусть Š— сепарабельное расширение конечной степени и поля К. Пусть еще х — глемент поля Е степени т ог над К, и 1(2)»»Ям+ ~ аь2" ь — его минимальный многочлен В=! 177 РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА над К. Тогда (7) »ч" к»к (х) = (( — 1) '"ам) и Тгк»к (х) = — — а,. (8) В самом деле, применим следствие 1 к расширениям К (х) и Е и к элементу х~К(х); пусть х» (1<»<т) — все сопряженные с элементом х над К, тогда Тгк».ук(х) = ~ х» = — а» и Жк» -ук(х) = Ц х» = ( — 1)иа 1=1 1=1 поскольку Х(Х) = П (г,— х,), отсюда следуют формулы (7) и (8). »Ы» Пендложвнив 10.
Х(ля всякого сепарабельного расширения Е конечной степени поля К суи(есгпвует такой элемент хс Е, что Тгк»к(х) Ф О. В самом деле, в противном случае между различными К-изоморфизмами о» (1 <» < и) поля Е существовало бы линейное и соотношение ~ а» = О, что противоречит теореме Дедекинда 1=1 (З 7, теорема 3). Пгвдложвник 11.
ХХусть Š— сепарабельное расширение конечной степени поля К; для каждого дифференцирования Р поля Е такого, что Р(Е)С 'Е и для всех хЕЕ имеем Тгк~я(Рх)= =Р(Т., ( )). В самом деле, пусть»»» — расширение Галуа поля К, порожденное множеством Е. Дифференцирование Р однозначно продолн»ается на Ж и Р(»»») С»ч' (1 9, предложение 5 и следствие 1 предложения 5). Пусть о» (1 <» <и) — различные К-изоморфизмы поля Е в»»», продолженные до К-автоморфизмов поля»»».
Нетрудно проверить, что и отображений х — эо»Ро,'(х), определенные в»»», являются дифференцированиями, совпадающими с Р на поле К. В силу предложения 5, $ 9, о»Ро,.'=Р, откуда о»Х»(х)=Ро»(х) для каждого х~Е (1<»<п). Сложив почленно зти и равенств, получим требуемое утверждение. Пгвдложвник 12.
Пусть Š— сепарабельное расширение степени и поля К, (а»)»я»<„— некоторый богис поля Е над К, 12 н. втрвгии гл. и, 14О поля о! (1.<! <и) — и различных К-игоморфиг.ков поля Е в алгебраи- ческое замыкание поля К. Тогда ЙеС (Тг (а!аг)) = (![ес (о! (ау)))з. (9) В саыом деле, пусть А — матрица (о! (а!)). Положим 'А.А = (Ьп); п и тогда Ь!г= ~~~~ оа(а!)оа(аг)= ~ оа(изи!)=Тг(а;ау). Тем самым а=! аэы все доказано. Определитель де! (Тг (а!а!)) называется дискрилшнантом базиса (а!) поля Е. Он является ненулевым элементом поля К (б 7, замечание, следующее за определением 1).
В главе ЧШ мы снова вернемся к понятиям следа и нормы как к частным случаям более общих понятий, приложимых к любой алгебре конечного ранга иад коммутативным кольцом К и, в частности, к кесепаребелькмм расширениям поля К; мы увидим также, каким образом эти понятии содержат в себе как частный случай понятия следа и определителя квадратной матрацы (гл, Ш, Ц4ибр Т. Алгебраическая незаеыснмостпь аепзоморсбномое Тногима 4. Пусть К вЂ” бесконечное поле, Х вЂ” расширение Галуа конечной степени поля К, и пусть о; (1 <! <и) — все К-автоморфигмы поля Х Пусть Й вЂ” некоторое расширение поля !Ч; если много член [, принадлежащий кольцу(е [Хг, Хз, ..., Х„[, удовлетпворяет условиям !'(о, (х), ..., о„(х)) =О для каждого х С !'Ч, то 1 = О. Пусть (аг)«ву „— базис поля Л~ над К.
Каждый элемент хЕ !«! однозначно записывается в виде х =,«~ ууау, где у, б К, сле- (1 < ! <и). Обозначим через довательно, о; (х) =. ~ уго! (а,) е=! у(У!, Ую ..., У„) многочлен и и у(~„'о!(а~)Уу, ..., ~ о„(а;) У1) е=! кольца И[У„..., Уи[. По предположению, д(у„..., у„) =О для всех векторов (уг) с К'; следовательно, у= О, так как поле К 179 РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА бесконечно (гл. )У, З 2, предложение 8). Но матрица (п>(ау)) обратима (1 7, замечание, следующее за определением 1), и если (б>т) — обратная для нее матрица, то [(х„х„..., х„)=д(;; ь„х,, ...,,"„ь,х,), >=> >=> следовательно, также 1= О. Теорема неверна, когда поле К неиечно.
В качестве примера возьмем Ф=--К=о/(р) (р простое); тогда хн — х=э для каждого хС К, так как изоморфизм х — э-хР нзляется тождественным автоморфнзмом полн К, а многочлен Хл — Х б К [Х) не равен нулю. 8. Нормальньету базис растатзрения Галра Опгеделение 3. Нормальным базисом расширения Галуа )У конечной степени над полем К называется базис, в котором любые два алемента сопряжены. Другими словами, если [)У:К]=п и если о; (1<[<я) — ' К-автоморфизмы поля )У, нормальный базис составляют все сопряженные элементы о; (х) (1 <1 <и) элемента х р )У. Для того чтобы сопряженные с х элементы составляли нормальный базис, необходимо и достаточно, чтобы и, (х) были линейно независимы над К.
Это условие можно перефразировать так: Пгидложение 13. Для того чтобы сопряженные с хР))> влементы и;(х) составляли нормальный базис поля )У над К, необходимо и досп>аточно, чтобы деь(п>(ау(х))) ~ О. Условие достаточно. Действительно, если оно выполнено, то из соотношения .~ )впу(х)=0, где яуЕК, следуетдля 1 <1<п, >=> что ~, )вп;(оу(х))=0, поскольку о>(йт)=-)ь>, откуда )ь~=О для >-> 1 <1<и. Условие необходимо. Предположим, действительно, что деь(п>(оу(х)))=0.
Тогда существуют п элементов, не все равные нулю,')ь)~ )У такие, что ""„р>п>(о>(х))=0 для 1<1<п. (10) >=> 180 гл. 1, 1 ~О поля Так как существует элемент а~Л' такой, что Тг„, к(а) Ф 0 (предложение 10), можно считать, что существует по крайней мере оДин инДекс 7' такой, что Тгпгк ()ьг) Ф 0 (УмножаЯ в слУчае необходимости уравнения (10) на ар,' для такого индекса у', что )лчеь 0). Иначе уравнения (10) можно записать ~ а,' (рз) оз (х) = 0 (1 < с < и), (11) откуда, сложна эти п уравнений (11), получим ~ Тг(р;) оз(х) = О. з=$ Так как алементы Тг(рз) принадлежат К и поскольку по крайней мере один из них не равен нулю, то о;(х) линейно зависимы над полем К, чем доказательство завершается.
Твогвмд 5. Если К вЂ” бесконечное поле, то каждое рапиирение Галуа конечной степени обладает нормальном базисом над полем К, Согласно прежним обозначениям положим азат=ела,зь где р (г', у) — одно из целых чисел 1, 2, ..., и. Рассмотрим многочлен у(Хм Хз... Х„)=оеь(Х а,я), принадлежащий кольцу К(Х„Хю ..., Х ), н покажем, что у ~ О.
В самом деле, ясно, что из соотношения р(с, 7') = р(Ь, 7) следует, что й=с, и аналогично из р(~,))=р(з, 1.) следует, что )=)с. Следовательно, значение 7'(1, 0„..., 0) является определителем матрицы, имеющей единственный не равный нулю элемент (равный 1) в каждан строке к каждом столбце, другими словами, матрицы подстановки (гл. 11, $ 6, и' 5); следовательно, 7'(1, О,..., 0)= ~ 1, что доказывает наше утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
