Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пусть (и„) — семейство К-автоморфизмов поля () таких, что ограничения и„на Е попарно различны н составляют множество К-изоморфизмоз полн Е в (). Пусть (ог)— семейство различных Е-изоморфизмов. Доказать, что всякий К-изоморфизм поля Р может быть однозначно записан в виде и огз. Вывести отсюда, что если Е н Р— алгебраические расширения поля К конечной степени н Е~ Р, то [Р:К),=[Р: Е),[Е:К) . й 9. Дифференцирования в полях л. Продолжение дифференцирования Пусть И вЂ” некоторое поле, Š— подполе в И. Мы уже определилн в главе 1Ч, у 4, и'3 и 4 понятие дифференцирования подполл Е в поле И (где поле Е рассматривалось как алгебра над кольцом Е целых рациональных чисел).
Пгкдложкник 1„Длл каждого дифференцирования П подпали Е в поле И множество Л" тех влементпов х ~ Е, длл которых Юх=О, явллгтсл подполвм поля Е. В самом деле, известно, что )Ч является подкольцом поля Е, содержащим единицу (гл. 1Ч, у 4, и' 3 и 4). С другой стороны, так как всякое дифференцирование в поле И любой области целостности, содержащейся в И, однозначно продолжается до дифференцирования ее поля дробей (гл. 1Ч, $4, предложение 11), множество )Ч совпадает с атим полем дробей. гл.ч,зв г56 поля Отсюда следует, что Р(ах)=аВх для всех аЕЖ, х~Е; другими словами, Р является дифференцированием подполя Е поля ае, если поле Е рассматривать как алгебру над полем Х.
Вообще пусть К вЂ” произвольное подполе поля Е; всякое дифференпирование подполя Е в ае, рассматриваемого как алеебра над К, называется К-дифференцированием. Эти дифференцирования Р характеризуются тем свойством, что Рх=О для всех х ЕК. Из предыдущего вытекает, в частности, что всякое дифференцирование яроеюоео полн в любом его расширении является нуяееын. Пгвдложвняк 2.
Пусть Š— некоторое подполе поля Я, Р— дифференцирование поля Е в ае, г' = Е (х,)мы — расширение поля Е, содержащееся в Й, и (и,)иы — семейство гл ментов иг Й. Для того чтобы существовало дифференцирование Р поля г", являющееся продолжением дифференцирования Р и такое, что Р(х,)=и„для всех гЕХ, необходимо и достаточно, опобы для каждого конечного подмножества Н~1 существовало дифференцирование Рн поля Е(х„)ин, являющееся продоллсением дифференцирования Р и такое, что Рл (х„) = и, для каждого г ~ Н. Дифференцирование Р в етом случае является единственным. Единственность Р следует из того, что множество тех элементов хЕР, которые аннулируются некоторым дифференцированием, является подполем в г".
"если оно содержит Е и х„то оно совпадает с г". Если продолжение Рл существует для каждого конечного подмножества Н Е1, то для двух таких подмножеств НС Ь дифференцирование Рь является продолжением Р, в силу единственности Рь. Для кап<доге злемента х~р существует такое конечное множество Н, что хЕЕ(х„)шн (З 2, следствие предложения 3),и значение Рн(х) в силу сказанного выше не зависит от выбора конечного множества Н, удовлетворяющего этому условию; обозначив зто значение через Рх, мы определим, таким образом, Р на всем поле г".
Остается убедиться в том, что Р является дифференцированием, но зто немедленно следует нз того, что для всяких двух элементов х и у, принадлежащих г", существует такое конечное множество НЕ1, что х и уЕ Е(х,),ен. дифевгвнциэовлния в полях 157 В частности, нулевое дифференцирование является единственным дифференцированием поля Р, авнулирующим все поле Е и каждый из элементов т,.
Пэвдложвннв 3. Пусть Š— некоторое подполе поля 1в, Р— дифференцирование подпола Е в 1г. Пусть Р=Е(х„..., х„)— расширение конечного типа поля Е, лежагцее в Я, а — идеал алгебраических соотношений между элементами х; с коэффициентами иэ Е (множество таких многочленов 1~ Е[Х„..., Х„[, что ~(хп ..., х„)=0). Для данного семейства и;(1<1.сп) элементов поля 1г необходимым и достаточным условием сугцествования дифференцирования 0 поля Р в И, являюы(егося продолжением дифференцирования П и такого, что Зх;=и; для всех 1 <1~п, является выполнение равенств 1~(х„-..., х„)+,", д, и;=О, (1) где 7" — многочлен (кольца Я [Хи ..., Х„)), полученный применением дифференцирования .0 к каждому коэффициенту много- члена 7' (гл.
1У, З 4, и' 4). Покажем сначала, что условия (1) необходимы и достаточны для того, чтобы можно было продолжить дифференцирование П до дифференцирования З кольца Е [хо хг, ..., х„), удовлетворяющего условинм Зх; = и; (1 ~ 1 ь. и). Каждый элемент яз Е[х„..., х„[ имеет вид д(х„..., х„), где у~Е[Х„Хю ..., Х„). В силу правила вычисления производной для кагндого дифференцирования Ю, являющегося продолжением О, имеет место тождество П(У(хи ..., .т„))=Ул(х„..., хь)+ ~Ч~~ --й-и;, (2) г 1 откуда сразу же следует необходимость условий (1).
Обратно, если эти условия выполнены, то для каждого элемента у=у(х,, ..., х„) из Е[х„..., х„) мы можем определить Лу с помощью правой части равенства (2), так как условие (1) показывает, что определенное таким образом значение Зу будет одним и тем же для каждого многочлена д такого, что у = у(хп, х„). Нетрудно убедиться, что описанное отобра- 158 гл. т, $ Э поля жение Й является дифференцированием кольца Е(х„..., х„), удовлетворяющим нужным условиям; оно однозначно продолжается на поле дробей Е(хы ..., х„) кольца Е(х„...> х„) (гл.
1т, 1 4, предложение 11), чем и завершается доказательство 3 а и е ч а н и е. Пусть (1ь) — некоторая система образующих идеала а; для того чтобы условие (1) выполнялось для каждого многочлена 1Е а, достаточно, чтобы оно выполнялось для всех ~ы В самом деле, каждый многочлен 1б а записывается, по предположению, в виде 1= ~ ць(ю где цк — некоторые многочлены; следовательно, ь ь ь Так как, согласно предположению, 1ь(х„..., х„)=0 для всех Х, имеем 1" (х, .", *.)+ У; —, а1 д1ь ='~',цъ(х~,, хя)(1 (хь, хо)+.'5', д и!), ь 1-1 откуда следует наше утверждение.
Применим критерий предложения 3 к различным типам расширений полей. Пгвдложзнив 4. Пусть Р~й — чисто трансцендентное расширение поля Е, (х„) чистпмй базис поля Р над Е„ Для каждого дифференцирования й поля Е в й и каждого семейства (и,) злементов из й существует дифференцирование 6 поля Р в й, причем единственное, продолжающее П и такое, что 1)х„= и„для каждого В самом деле, идеал а алгебраических соотношений между злементами х, с козффициентамн нз поля Е сводится к нулю, следовательно, условия (1) выполняются. Пгкдложкник 5. Если Р с й — сепарабельное алгебраическое расширение поля Е, то каждое дифференцирование лз поля Е в й однозначно продолжается до дифференцирования 1з поля Е в й. Сначала покажем, что если продолжение воаможно, то оно единственно.
В самом деле, пусть 1 ~ Е (Х) — минимальный 159 дифакгкнциговлния в полях многочлеи некоторого элемента х ~ Р над полем Е; в силу формулы (1) должно выполняться равенство 7п (х) + 7' (х) Рх = О; поскольку элемент х сепарабелен над Е, )'(х) ~ О (з 7, предложение 9), так что элемент Рх определен однозначно. Для доказательства существования Р достаточно рассмотреть тот случай, когда поле Р=Е(х„..., х„) является конечным расширением над Е (нредложение 2).
Проведем индукцию по и; при и = О утверждение очевидно. Положим Ь=Е(хь хз, ..., х„1); тогда Р=Р(х„) и элемент х„сепарабелен над Ь (з 7, следствие 3 предложения 9). По предположению, дифференцирование Р, поля Ь является продолжением Р. Пусть у — минимальный многочлен элемента х„над А; для существования дифференцирования Р поля Р, продолжающего Р„в силу замечания к предложению 3, необходимо и достаточно, чтобы можно было так определить значение Рх„в й, чтобы оно удовлетворяло уравнениюю а зто всегда возможно, поскольку у'(х„) чь О.
Слкдстзик 1. Пусть Р— такое дифференцирование поля Е, что Р(Е)С Е; тогда Р(Р)СР. Слкдствик 2. Любое К-дифференцирование расширения Е поля К является нулевым в каждом алгебраическом сепарабельном расширении поля К, содержащемся в Е. В частности, так как каждое дифференцирование простого поля Р является нулевым н так как Р совершенно ($ 7, следствие предложении 5), каждое дифференцирование алгебраического расширения поля Р нулевое. Пгкдложкник 6. Пусть Е С й — радикальное расширение поля К конечной степени, большей 1; тогда существует ненулевое К-дифференцирование поля Е в й. В самом деле, пусть (х;),и;и„— система образующих поля Е над К такая, что х„(К(хь ..., х„1), элемент х„радикален ь над Ь; пусть ) (Х) = Х вЂ” а — его минимальный над Ь мпогочлен (где р — характеристика й).
Для того чтобы К-дифференцирование Р поля А продолжалось до дифференцирования Р поля Е, необходимо и достаточно, чтобы Рх„можно было определить гл. ч, 19 160 поля Это оэначает, что верно; но для .0=0, существует такое Йх„— проиэвольный иэ соотношения уп (х„) + 7' (х„) У (х„) = О. 7в (х„) = О, что, вообще говоря, не всегда очевидно, 7о (х„) = 0 и, следовательно, К-дифференцирование П ноля Е, что элемент иэ й, 2. Дифференцирования сенарабельных расширений Если Е нс является расширением конечного типа поля К, может случиться, что пулевое дифференцирование по-прежнему является едннстненным К-днфференцнрсганнем, но поле Е ужг не сенграбельно над К. Нанрнмер, пусть К вЂ” несовершенное поле характсрнстнкк р; тогда каждов К-днффгренцнрованке д поля Е=КР является нулевым, так как дяя каждого элемента х рЕ существует алвмент у СК такой, что х=ух, сяедовательнс, йх=руо И>у=о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
