Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пуста К вЂ” некоторое подполе поля й, Е~й — расширение поля К, Для того чтобы Е было сепарабельным над К, необходимо, чтобы поля Е и КР были -1 линейно разделены над К, и достаточно, чтобы поля Е и КР были линейно разделены над К. 447 РАдикАльные элементы Критерий сепарабельности ($ 7, теорема 2) означает, что Е и КР линейно разделены над К. Следовательно, остается докар — г зать, что если поля Е и КР линейно рааделены над К, то линейно разделены поля Еи КР . Действительно, всякое семейство (а,) элементов поля Е, свободное над К, свободно над КР ', следовательно, семейство (ар) свободно над К и по индукции семейство (аР~) свободно над К для всех неотрицательных чисел 1.
Таким образом, соотношение вида ~)ь„а„=О, где )г„~КР все В равны нулю„кроме конечного числа, эквивалентно соотношению,""„)ьР аьг = О для всех положительных чисел (. Так как В существует число 1 такое, что рр гК для всех ь, то р,=О для всех ь, и предложение докаэано. Следствие. Пусть Š— некоторое расширение поля К. Если Е сепарабельно над К, то для любого линейно свободного над К семейства (а,) элементное расширения Е, семейсгпво (ар) линейно свободно над К. Обратно, если существует линейный базис (Ьь) расширения Е над К такой, что семейство оь линейно свободно над .К, то Е сепарабельно над К. Это утверждение непосредственно следуетиэ критерия линейной разделенности 8 2, и' 3). Замечание.
Если поле и сепарабельво иад К, то иа предр О ложенкя 3 вытекает, что К() К . Однако может существовать алгебраическое расширение Е поля К, ае сепарабельиое вад К р О и такое, что ЕДК = — К (сы. упражиекие 17 и 1 1О, предложаике 14). 3. Пртллооюетьтле м сепаргьбельным алгебра ическтгм расштгрен тслм Пгхдложккие 4. Пусть А — некоторое множество алгебраических элементов над полем К, и пусть поле К(А) сепарабельно над К. Тогда К(А )=К(А). Обратно, если А имеет конечный ранг над К и К(АР)=К(А), то К(А) сепарабельно над К. 10' гл.
у, $8 поля Будем предполагать сначала, что А имеет конечный ранг над полем К н (а,)1яг — линейный базис пространства К(А) над К. Тогда К(А)=К[А[ и К(АР)=К[АР) Я 3, предложение 3), следовательно, элементы аР являются системой образующих векторного пространства К(А") над полем К 6 1, предложение 3). Если расширение К(А) сепарабельно над К, то элементы ар линейно независиьэы пад К (следствие из предложения 3), следовательно, [К(А"): К[=[К(А):К[ и К(А")=К(А). Обратно, если выполнено это условие, то элементы ар линейно независимы над К (гл.
11, ~ 3, следствие 2 из теоремы 3), следовательно, расширение К(А) сепарабельно над К (следствие из предложения 3). Если же множество А имеет бесконечный ранг над полем К, то расширение К(А) является объединениеы подполей К(Р), где Р пробегает множество конечных частей л1ножества А Я 2, следствие из предложения 3). Если поле К(А) сепарабельно над К, то любое подполе К(Р) сепарабельно над К, следовательно, К(Р") =К(Р) н поле К(А"), являясь объединениеы полей К(Р'), совпадает с К(А).
Следствии. Пусть Š— некоторое сепарабельное алгебраическое расширение поля К; если система (Ьь) образует базис поля Е над К, то система (Ьр) тоже образует базис Е над К. Действительно, семейство (Ьр) линейно свободно над К (следствие из предложения 3), следовательно, оно является базисом пространства К [ЕР[ над К ($ 1, предложение 3). Так как расширение Е алгебраично пад К, имеем К (Е") = К [Р'] = Е Я 3, предложение 3). Замечании. 1) Используя предложение 4, можно дать другое доказательство того, что всякий сепарабельный алгебраический нэд К элемент х будет сепарабольным над любым расширенном Р поля К, содержащимся в Я (4 7, следствие 3 иэ предложения 9): действительно, Р (хР)=К(Р) (хэ)=К(хэ) (Р]=К(Р) (х)=Р (х), 2) Если К вЂ” алгебраическое расширение бесконечной степени поля К, то условие К(ЕР)= — К не нвластсн достаточным для того, р" чтобы К;было сепарабельным над К: например, поле К=К удовлетворяет этому условию.
149 глдиклльнык элкмкнты Пгкдложкник 5. Пусть Š— произвольное сепарабельное расширение поля К, Р— некоторое алгебраическое расширение поля К, содержащееся в Е. При этих условиях Е сепарабельно над Р (см. $ 7, и' 4). Пусть (аь) — некоторый базис поля Р над К, (Ь„) — некоторый базис поля Е над Р. Достаточно доказать, что семейство (Ь„") линейно свободно над Р (следствие из предложения 3).
Пусть У () Ьй —— 0 — линейное соотношеште между алементами Ь~ с коэффициентами ()н Е Р. Так как элементы (а~) составляют базис поля Р над К (следствие из предложения 4), имеем рн= ~ акнаьн, где ь,н аьн ~ К. Следовательно, 2, аьн (аьйн)н = О, и так как семейство ь н (а1Ьн) образует базис поля Е над К (з 2, и' 1) (следствие из предложения 3), семейство (аьЬн)н линейно свободно над К, откуда следует, что ахи=О для всех пар (т, р), т. е. рн=О для всех р.
еь. Радикальные раеилиренин Опгкдклкник 2. Расширение ЕС й поля К называется радикальным, если все его элементы радикальны над К. Таким образом, радикальные расширения поля К суть расширения поля К, содержащиеся в Кн; все они алгебраичны над К. Для любого множества А радикальных элементов над К расширение К(А) радикально над К. Если Š— радикальное расширение поля К, а Р— радикальное расширение поля Е, то Р— радикальное расширение поля К, так как для всякого элемента х Е Р существует такое целое число т, что хэ" Е Е и такое целое число и, что (хэ")иь бК, т.
е. хн ' ЕК. ПРедлОжение б. Для всякого радикального расширения Е поля К конечной степени число (Е: К) являетпся степенью характеристической экспонентпы р. Действительно, пусть Е=К(ап аг, ..., а„) и все элементы а; радикальны над К; тогда тем более элемент о; радикален над полем К (ат, ..., а~ ~) при 1 < т < и, а так как число (Х (а„..., а~): : К(ао ..., а;,)) является степенью р (предложенне 1), число (Е:К) также является степенью р (1 3, предложение 5). 13О гл.
в, 18 поля Пгвдложввив 7. Для любого алгебраического над К элемента х рИ суи]ествует такое целое число т.л. О, что злемент хз сепарабелен над К. Действительно, пусть 7 — минимальный многочлен элемента х; если р=1, то предложение очевидно — достаточно взять т=О ($ 7, предложение 9 и 8 3, предложение 1). Если р) О, то пусть т — наибольшее из чисел й, для которых / Е К [Х~], тогда 1(Х) =у(Х "), где КАК[К] и уфК[Х"].
Очевидно, что у — неприводимый многочлеи. Так как д ~[ К [Х" ], то все корни миогочлена д простые Я 3, предложение 1), следовательно, элемент хз", являясь корнем многочлена д, сепарабелен над К (8 7, предловгепие 9). Спвдствив, Пусть Š— алгебраическое расширение поля К, Ев — наибольшее сепарабельное расширение поля К, содержащееся в Е Я 7, предложение 11); тогда Š— радикальное расширение поля Ев. Действительно, для любого элемента 'х~Е существует такое целое число т> О, что элемент хз" сепарабелен над К (предложение 7), следовательно, хо" ~ Ев по определению.
Пгвдложвнив 8. Пусть Š— алгебраическое расширение поля К, Ед — наибольшее сепарабельное расширение К, содерзкащееся в Е. Для того чтобы число К-изоморфизмов поля Е в И было конечным, необходимо и достаточно, чтобы поле Ег имело конечную степень над К; тогда зто число равно [Ев. К]. Действительно, всякий К-иэоморфиэм и расширения Еь в поле И продолжается до некоторого К-автоморфиэма поля И ($ 6, следствие 2 из предложения 2). Пусть и и и~ — К-автоморфизмы поля И, продолввающие и.
Тогда отображение ош ь является,'Ев-автоморфизмом поля И, следовательно, его ограничение на расширение Е (которое радикально нгд Ео) будет тождественным отображением. Иначе говоря, всякий К-изоморфизм поля Е, однозначно продолжается до К-изоморфизма поля Е. Предложение вытекает тогда иэ сепарабельности поля Ев Я 7, предложение 8). Слвдствив. Если Е имеет конечную степень над К, то число К-изоморфизмов поля Е в И является делителем степени [Е: К], 151 РАдикАльные элементы Определение 3. Лусть дано алгебраическое расширение Е поля К конечной степени. Назовем сепарабельным множителем степени поля Е (над К) и будем обозначать символом [Е:К[, степень над К наибольшего сепарабельного расширения Ео поля К, содержим(егося в Е (равную числу К-изоморфизмов поля Е в ьв); несепарабельным множителем степени поля Е (над К) называем степень поля Е над Ео и обозначаем ее [Е: К). Таким образом, число [Е: К)с является степенью р (предложение 6 и следствие из предложения 7), и [Е:К[ =[Е:К) [Е:К! .
3 а м е ч а н и е. Заметим, что несепарабельный множитель степени поля Е не обяаательно равен наибольшей степени р, на которую делится число (Е:К), так как может сузцестзовать сепарабельное расширение поля К степени р ($ 11, предложение 5 и упражненяе 8). Когда степень поля Ес над К (соответстзенно степень поля Е над Ео) бесконечно, говорят еще для удобства речи, что сепарабельный множитель (соответственно несепарабельный множитель) степени воля .Е над К бесконечен. Упражнения. в1) а) Пусть Š— поле характеристики р)О, х и у — такие радикальные над Ь элементы, что хи Ь, у ЧЬ, хоби, урби. Доказать эквивалентность условий у б5(х) и лба(у). б) Пусть Š— расширение поля К характеристики р > О, Часть М расширения Е назовем р-нееввнскяоа нкд К, если для любой части М' множества М, отличной от М, ноля К(ЕР)(М') и К(ЕР)(М) различны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
