Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Слвдствив 2. Всякое алгебраическое расширение соверивенного поля К совершенно. Действительно, пусть Š— алгебраическое расширение поля К, Р— алгебраическое расширение поля Е; всякий элемент х расширения Р алгебранчен над К (1 3, предложение 8), следовательяо, сепарабелен над К по предположению о совершенности 143 СКПАРАБКЛЬНЫК РАСШИРВНИЯ (предложение 4).
Отсюда вытекает, что х сепарабелен над Е (следствие 3 из предложения 9) и, следовательно, р — сепарабельное расширение полн Е (следствие из предложения 10), но это значит, что Е совершенно (предложение 4). ПРкдложкник 11. В любом алгебраическом расширении Е поля К множество Е, элементов этого поля, сепарабельных над К, является сепарабельным расширением поля К, которое совпадает с объединением всех сепарабельных расширений поля К, содержаигихся в Е. Действительно, поле К (Е) сепарабельно над К (предложение 10), следовательно, Ке(Ее)ь Еь и, значит, К(Ее) =Ее.
T, Прнмггэггггвные э геменпгы Пусть дано алгебраическое расширение Е поля К конечной степени и. Элемент х с Е называется примитивным элементом расширения Е, если Е = К (х): существование примитивного элемента означает тем самым, что Š— простое расширение поля К. Элемент х, следовательно, имеет степень и над К; обратно, всякий элемент расширения Е, степень которого равна и, является примитивным элементом расширения Е (4 2, следствие 2 из теоремы 1). Пгкдложкник 12.
Лусть К вЂ” бесконечное поле, тогда всякое сспарабельнос алгебраическое расширение Е поля К конечной степени является прост ылг. Пусть (Е: К) = и; по предположению, существует и различных К-изоморфизмов иг(1 <г<п) расширения Е в поле ьг (предложение 8).
Пусть Гп (г~у) — множество тех элементов усЕ, для которых и;(у)=иэ(у); тогда Ф'гэ — подполе поля Е, содержащее К и, следовательно, являющееся векторным подпространством пространства Е (пад К). По предположению, множество Ун отлично от Е, н так как поле К бесконечно, то существует элемент хсЕ, не принадлежащий ни к одному из п(п — 1)~2 векторных подпространств $'и (гл. 1У, з 2, предложение 8); это значит, что все элементы иг(х) различны (1ч, г (и), следовательно, х имеет по крайней мере и различных сопряженных в ьв, т.
е. степень х над К не меньше и, и так как хсЕ, то степень х равна и, т. е. Е= К(х), 444 поля Мы увидим в 1 11, что предложение 12 распространяется на случай навечного поля К (1 11, предложеыие 4). У пра ж в ее ня. 1) Пусть 1 — непрнводнмый многочлен кольца К(Х), сепарабельыый ыад К, и пусть а; (1(1(н) — его корни в алгебраическом замыкании й поля К. Пусть л — произвольный мыогочлев кольца К(Х), й — ыекоторый веприводнмый множитель (в К(Х)) многочлена 1(д(Х)). Доказать, что степень многочлеыа Ь является целым кратным гн числа н и что й имеет точно г общих корней с каждыы из мыогочленов у(Х) — и; кольца й(Х) (рассмотреть сопряженные произвольного корня многочлена и).
*2) Пусть й — тело (не обязательно нвммутативное), К вЂ” подтело тела й, йя — множество й, снабженное структурой нраввгв векторного пространства над К. Для любого векторного надпространства У пространства йя рассмотрим множество и (у, йя) линейных отображений пространства Увй, снабженное структурой нвввво векхорного пространства над й, нндуцированыой структурой йи (см. гл. 11, 15, и'6). а) Доказать, что если У имеет размерность н над К, то размерность пространства с (у, йя) ыад й равна н. б) Пусть С вЂ некотор множество автоморфизмов тела й, содержащее тождественный автоморфизы и такое, что если и б С, и б С, то и в и б С. Пусть А — тело алементов, ивварнаытыых относительно С. Для того чтобы векторное подпространство в' пространства йь имело конечную размерность н над Е, необходимо н достаточно, 'чтобы множество Су ограниченый на У элементов С имело ранг н над й (то же доказательство, что для теореыы 1).
в) Пусть К вЂ” некоторое подтело тела й; ыазовем векторыое подпространство У пространства йх конечной размерности н сепарабельиым над К, если любое линейное отображение пространства У в йк является линейной комбиыацней (с коэффициентами нз й) ограничений ыа г' К-азтоморфнзмов тела й. Для того чтобы в" было сепарабельыыы, необходимо н достаточно, чтобы его ранг (справа) над полем ннварнантных злементов относительно К-автоморфпзмов тела й был равен и; вывести отсюда, что вснкое векторное подпростраыство пространства У сепарабельно. г) Пусть Š— подтело тела й, содержащее К.
Гудом говорить, что Е сепарабельво над К, если всякое векторное подпространство пространства Е конечной (правой) раамерности над К сепарабельно ыад К. Доказать, что если в цепочке К ~ Ес РС й тело Е сепарабольно вад К, а Р сепарабельно над Е, то Р сепарабельно над К. д) Пусть Š— подтело тела й, содержащее К, и пусть (и,), г— ыекоторое семейство К-нзоморфизмов тела Е в й. Для того чтобм отображении и, были линейно зависимы (над й), необходимо и достаточно, чтобы существовали К-изоморфиам и пространства Е в й, 145 РАдикАльные элементы конечная непустая часть Х множества у к семейство ф~)~ ее рггвых вулю элементов тела Я танке, что ~ р;=О и и;(х)=[эр(г) р,.' зев для всех 18 э' к всех гйР..
й 8. Радикальные элементы. Критерий сепарабельеости В этом параграфе П вЂ” алгебраически замк ~утес поле характеристической экспоненты р; все пргдлохсгния, доказываемые в этом параграфе, тривиальны для р=1. Х. Радимальные э.те иеэвт,м Пгедложение 1. Пусть К вЂ” некоторое подполе поля Я. Лгля того чтобы элемент хЕЯ был инвариантсн при всех К-автоморфизмах поля Я, необходимо и достаточно, чтобы существовало целое число т>0 такое, что х" ЕК. Вусть с — наименьшее аз этих чисел; тогда минимальный многочлен элемента х над К имеет вид Хэ" — хэ .
условие достаточно; в самом деле, пусть и — произвольный К-автоморфизм поля й. Если хэ СК, то (и(х))Р =и(хэ ) =хг следовательно ($1, следствие из предложения 1), и (х) = х. Обратно, если элемент х инвариантен относительно всех К-автоморфизмов поля Я, то х алгебраичен над К, и его минимальный много- член ) над К имеет только один корень (З Б, предложение 3). При р=1, как мы уже видели хйК ($ 3, предложение 1); если же р) 1, то пусть е — наибольшее из чисел й, для которых [~К [ХР [. Имеем[(Х) =д[Х" ], где многочлен уЕК [Х), очевидно, неприводим и в(К[Х"[.
Так как у ииеет только один корень хэ в П, то у (Х) = Х вЂ” хг' (13, предложение 1). Предложение доказано. Опведеление 1. Пусть дано подполе К поля Р.; элемент х~Р называется радикальным над К, если существует такое целое число т> О, что х" ~К. Множество радикальных над К элементов поля Р является, таким образом, полем элементов, инвариантных относительно всех К-автоморфизмов поля Я (см. $ 7, п' 2); ввиду предложения 1 это поле можно определить как множество корней всех многочленов вида Х" — а кольца К[Х) (е — произвольное неотрицательное число). !О н. Етэбаги поля гл.
ч, бз Так как поле й алгебраически замкнуто, то оно совершенно (~ 7, следствие из предложения 5), следовательно, отображение ре х — + хп является автоморфнзмом й. Мы будем обозначать спм-в мр' волом х — э хр нли х — э х ' обратный автоморфизм, а симво-в !~рв -е лом КР или К ~ — образ поля К при отобра|кении х -+ хп р-в поля К в й. Поле К ' является множеством корней много- членов Х вЂ” а кольца К (Х), следовательно, оно является алгере брааческим расширением поля К, имеющим, возможно, бегло-в р †) нечгвуле степень. Если е <7, то КР С КР .
Подполе поля й, состоящее из радикальных над К злементов, являетси объединением полей КР ' при е, пробегающем все неотрицательные числа. Будем обозначать зто поле символом КР; оно является алгебраическим расширенмем поля К (см. ~ 7, предложение 2). е Првдложвник 2. Поле КР является наименьшим совершенным подполвм поля й, содержащим К. Действительно, пусть Š— произвольное совершенное подполе -е поля й, содержащее К; тогда ЕР =Е для всех г>0 Я 7, пред— е ее ложение 5), следовательно, К~КР и, значит, К' ЗКР .
Обратное непосредственно следует из того, что всякий К-автоморфизм ее ее поля й является КР -автоморфизмом, следовательно, КР является полем элементов, инвариантных относительно всех К' автоморфизмов поля й, т. е. поле КР совершенно. -е 3 а м е ч а н и е. Если поле К не совершенно, то все поля К р различны, так как тогда КР ~ К Я 7, предложение б) ппзоморфизм -е -в — ее-т > — поля К на КР отображает КР на К" . Поле КР является, таким образом, алгебраическим расширением бесконечней степени над К, когда К не совершенно. и. Критерий Манлейтса Пгкдложвннв 3 (Маклейн).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
