Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Назовем висотой элемента у относительно х наибольшую из степеней многочленов у и й. а) Доказать, что в кольце К (у) [Х[ многочлен у (Х) — уй (Х) неприводим (использовать упражнение 3 из 4 4). Вывести отсюда, что если элемент у имеет высоту л относительно х, то поле К(х) являетсн алгебраическим расширением степени л поля К(у).
б) Вывестн нз а), что всякий элемент убК(х), длн которого К(у)=К(х), имеет внд (ах+Ь)/(ох+ й), где а, Ь, с, И вЂ” алементы поля К, подчиненные условию аЫ вЂ” Ьс чь О; доказать обратное утверждение. Найти все К вЂ” автаморфизмы поля К (х). в) Доказать, чта если элемвп убК(х) имеет высоту в относительно х, а элемент з 4 К(у) имеет высоту ов относительно у, то элемент з имеет высоту жв относительно х. г) Пусть Р— такое расширение поля К, что К С Р ~ К (х) и Р ~ К; пусть у — элемент расширении Р, высота которого ж относительно х принимает наименьшее возможное значение; доказать, что Р= К (у) (втеорема Люротас).
(Пусть ф — минимальный многочлен злемента х над полем Р; доказать, что ф=и(Х, у)/ы(у), где и — много- член кольца К[Х, У[ степени ве меньше ж относительно У и не делящийсн ни на наной непостоянный многочлен кольца К [У); если у=у(х)/й(х), где у и й взаимно просты, заметить, что аунду а) мнагочлен у (Х) й (У) — у (У) Ь (Х) не делится ни на какой непостоянный мнагачлен кольца К [Х) илн К [У); вмвестн отсюда„что у (Х) й (У) — у (У) й (Х) =- К и (Х, У), используя упражнение 3 $4).
б) Вывести из упражнения 5 в) другое докааательство упражнения 4 4 4 (заметить, что в случае, когда ставень о больше нуля, степень многочлена и(о) равна его высоте). 7) Пусть Р— расширение конечного типа поля К. Доказать, что вснкое поле Г, промежуточное между К и Р, является расширением ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ конечного типа поля К (пусть  — базис трансцеядевтности расши. реыия Е поля К, С вЂ” бааис траысцеыдевтности поля Р над Е; дока вать, что Е имеет конечную степень над К (В), испольауя, что Р' имеет конечвую степень яад К (В Ц С) и что расширение й" и К (В Ц С) линейно разделены над К (В) (предложение 11). «8) Пусть й — расширение поля К, Е и Р— расширения поля К„ содержащиеся в й и алгебраически разделенные над К. Доказать, что для того, чтобы Е и Р были линейно разделеыы над К, необходимо и достаточно, чтобы тензорное произведение Е®Р (отыосительно К) было областью целостности (чтобы доказать достаточность, рассмотреть базис трансцендентности А расширения Е вад К и базис траысцеыдентвости В расширения Р ыад К.
Доказать, что поле частных Е кольца Е®Р алгебраичыо ыад полем частных Ь кольца К (А)(9 К (В). Пусть ф †каноническ изоморфизм кольца ЕЭР в поле К(Е Ц Р), з ыекоторый элемент кольца ЕЯР, п Я Р~Х« Р— минимальный мвогочлев влемеыта з вад Ь, умножев(=е ыый на некоторый ненулевой элемент кольца К (А) ® К(В), так, что коэффициенты и, принадлежат кольцу К(А)®К(В). Доказать, что равенство ф(з)=0 влечет ф(иа) =0 и, следовательно, з=О).
9) Пусть й — расширение поля К, Р и Р— подрасшнревия й, линейно рааделеныые над К. Пусть и и т — К-изоморфизмы полей Е и Р соответственно в поле й. Доказать, что если поля п(Е) и т(Р) алгебраически разделены над К, то оыи линейно разделены над К и существует единственный К-иаоморфизм 6 расширеыия К(Е (] Р) на К(п (Е) (] т(Р]), который совпадает с и на Е и т на Р.
10] В алгебраическом аамыкании й поля Я(Х) рассматрива1отсв дза чисто трансцендентных расширения Е=Я(Х) и Р=о(Х+1] (где 1з= — 1) поля 9. Докааать, что Е и Р ые ывлнются алгебраически разделенными ыад ф но Е П Р=О (пусть р и д — взаимно простые многочлеыы кольца ~',1(Х], а также г и а вааимно просты е () (Х]; доказать невоаможность равенства р (Х + 1) а (Х) = =д(Х+1) г(Х), заметив, что вааимно простые многочлеыы в кольце 1) (Х) остаются взаимно простыми в кольце й(Х]). 11) Пусть Е, Р, С вЂ” расширения поля К, содержащиеся в расширении й поля К, н пусть Р~С. Длв того чтобы поля Е и С были алгебраически разделены над К, необходимо и достаточно, чтобы полы Е в Р были алгебраически рааделевы яад К и чтобы поля Е(Р) н С были алгебраически разделеыы над Р.
«12) а) Пусть К вЂ” поле, Ь вЂ” подполе поля,К; предположим, что существует конечное число элементов а; (1(1(л) поля К таких, что К«Е(ам ам ..., а„]. Докааать, что элементы а1 а«зебра«чнм ыад Ь (рассуждая от противного, предположить, что ам ..., ам (т > 1) образуют максимальное алгебраически свободное подсемейство семейства (а;)1,; „, заметить, что е кольце А=-Ь(ав ..., а ] пересечение 122 гл.ч, $3 поля всех максимальных идеалов равно (О), применить упражнение 4б), из $3). б) Вывести из а), что в алгебре многочленов К[ХО ..., Х„] всякий максимальный идеал имеет нонеиную коравмерыость над К.
Вывести отсюда, что если А — коммутатизыаы алгебра над полем К, обладающая единяцей и если существует коыечное число злемеытов Ь| б А (1 ~ 1 ~< д) таких, что А = К [Ь„Ьз, ..., Ье], то всякое подполе алгебры А, содержащее К, имеет конечный ранг яад К. 13) Пусть К вЂ” поле, К((Х)) — поле формальных рядов от одной переменной над К (гл. 1У, $5, н' 7). Доказать, что всякий базис трансцеыдеыткости поля К((Х)) над К равномощеы множеству К~.
Будем различать два случая: а) Если мощность множества К строго меньше мощности К~, то заметить, что множество К((Х)) равыомощыо К, и использовать уыражыение 2. б) Если множества К и К равномощиы, то пусть Р— простое «ч подполе поля К, Ю вЂ” некоторое бесконечыое мыожество элементов поля К((Х)), алгебраически независимых иад К, Т вЂ” множество (равномощное Я) коэффициентов всех формальных рядов, принадлежащих Я. Пусть Š— алгебраическое замыкакне в К((Х)) поля К(Е); пусть и — элемент поля Е и 1 — его минимальный мкогочлеы над К(о).
Умножая [ на ненулевой элемент полн К(Я), можно считать, что и удовлетворяет уравнению вида у (г„..., гн«, и) =О, где б — мяогочлен кольца К[Х„..., Хж, Х,ы], а г„..., зм — злементы множества Ю. Пусть А — множество коэффициеытов мыогочлеяа С(и) — множество коэффициеытов формального ряда и.
Доказать, что поле Р (Т) (А Ц С (и)) алгебраично над Р (Т [) А), показать, что в противном случае должыо существовать бесконечное множество степенных рядов о, принадлежащих полю П((Х)), где П вЂ” алгебраическое замыкание поля К, удовлетворяющих уравыеыию у(з„... ..., г„„и) =О. Используя упражнение 2, доказать, что если множество Я имеет строго меньшую мощность, чем мощность К, то степень трансцендентности поля К ыад Р (Т) бесконечна, и вывеств отсюда, что в этом случаа поле Е отлично от К ((Х)).
*14). Пусть Š— ыекоторое множество, ф — отобрал«ение множестве «Е(Е) в В(Е), удовлетворяющее следу«ощнм условиям: 1' Х~«р(Х) длн всех Хс Е; 2' «р(«р(Х))=«р(Х) для всех Хс: Е; 3' для всякого Хс:Е «р(Х) является объединенном мнол«еств ф(у), где У пробегает множество конечных частей Х; 4' если у б «р(Х) и у 4«р(Х[] (](х]), то хб«р(Х(](у)) («аксиома заменыь). Часть Х множества Е назовем системой «р-образующих части Е, если Я=ф(Х). Назовем Х «рсвободной частью множества Е, если Х вЂ” минимальная система «р-образующих «р (Х).
Назовем «р-базисом множества Я систему «р-образующих етого множества, являющуюся «р-свободной. а) Доказать, что если множество Х ф-свободно и хб«р(Х), то мыоже ство Х (] (х) «р-свободно Вывести отсюда, что всякая НРОдолжкния изомОРачтзмов максимальная зьсвободнан часть части У множества Е нвлнется ~р-базисом множества ~р(У). б) Пусть А †некотор часть множества Е, У вЂ систе ~р-образующих множества А, Х вЂ” ср-свободная часть У. Доказать существование такого ~р-базиса В части А, что Х ~ В с У.
в) Если А †произвольн часть множества Е, то отображение тл $ (Е) в $ (Е), определяемое соотношением ул (Х)=~р(А()Х), удовлетворяет тем же уравнениям, что и ср. г) Если А — часть множества Е, обладающая ~р-базисом нз и элементов, то всякий другой ср-базис части А состоит из п элементов (рассуждать индукцией по и: пусть В есть зьбазис из в элементов части А, В' †друг ~р-базис; рассмотреть элемент а б В'. Доказаттч с помощью б) существование части С базиса В такой, что (а)()С вЂ” ~р-базис части А и а б С; наконец, применить предположение индукции к функции ~р( ().
д) Две части А и В множества Е назовем ф-разделенными, если пересечение всякой ф-свободной части множества А с ф-свободной частью множества В пусто и если объединение всякой ~р-свободной части множества А и всякой ф-свободной части множества В а-сво бодно. Доказать, что для того, чтобы части А н В были <р разделены, необходимо н достаточно, чтобы всякая з свободная часть А была ~рп-свободной. й 6. Продолжения изоморфизмов. Сопряжеииые элементы Нормальные раоширения. .х.
Продолзюенгся изоморфнзмов Теорема 1 $4, устанавливающая возможность «погрузитьэ всякое алгебраическое расширение ноля К в алгебраическое замыкаиие поля К, следующим образом обобщается иа трансцекдентцые расширения. Пгвдложвнив 1. Пусть Š— расширение поля К, (а„),ес — базис трасссс(ендентности распсссрензя Е над К. Пусть К' — поле, изоморфное полю К, и Й вЂ” алгебраически замкнутое расширение поля К'. Для всякого изоморфизма и, поля К на К' и всякого семейства (Ь„)„ес элементов расширения 1«, алгебраически свободного над К' и имеющего то же множество индексов, что (а,), суи(ествует изоморфизм и расширения Ь' в ь«, продоллсающий ио и такой, что и(а„) = Ь, для всех « ~У.
Действительно, сущеотвует изоморфизм с — ьс поля К(Х„)„вг ка К'(Х„)мс, который продолжает ие и оставляет инварпантиыми 124 гл. т, 16 поля переменные Х, (гл. 1Ч, $ 3, предложение 1). Следовательно„ определен изоморфизм и, чистого расширения К(а,),ы на чистое расширение К'(Ь„)„гн продолжающий и, и ставящий в соответствие кавгдому элементу ~((а,)) (где )кК(Х,)мг) элемент К((Ь„)~ (1 5, предложение 2). Пусть Р— алгебраическое аамыкание поля К'(Ь,)иы в ьг; тогда поле Р алгебраически замкнуто ($ 4, следствие из предложения 1), следовательно, поскольку расширение Е алгебраично над К(а,)мп существует изоморфизм и расширения Е на Г, продолжающий и, Я 4, следствие иэ теоремы 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
