Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Определение 1 применимо без изменений к произвольному элементу х алгебры А. Если элемент х алгебраичен над К, то идеал з алгебраических соотношений с коэффициентами в К,,которым удовлетворяет элемент х, является главным идеалом (/), где (-унитарный многочлен кольца К [Х), который. вообще говоря, не обязан быть неприводимым. ПодалгебраК [в]алгебры Аизоморфна кольцу К [Х]/ (/), н если 1 имеет степень з, то элементы 1, х, хз,... ,, „ х"-! образуют базис алгебры и ]х] „над К. Заметим, что если к з 2„' о!,Х" и есля ое ~= О, то — 1.=х ~~ аб!азхз, следовательно, А=О А=! х обратим и К[х] и х г=- — ~ аз!аг,х". з=1 2. Алгебраические расширения Определение 4.
Расширение Е поля К называется алгебраическим (или надполе Ь' поля К называется алгебраическим над К; или еще, что то же, расширение Ь' является алгебраическим над К), если всякий элемент расширения Е является алгебраическим над К. Расширение Е поля К, не являющееся алгебраическим, называется трагзсг[ендегзтным (над К). Првдложенив 3. Для того чтобы расширение Р. поля К было алгебраическим, необходимо и достаточно, чтобы всякое кольна А, для которого КС Ас Е, было полем. Условие необходимо, так как если Š— алгебраическое расширение поля К и х Ф О вЂ” злел!ент кольца А, то подкольцо К[х] кольца А совпадает с полем К(х) (теорема 1а))„следовательно, элемент х обратим в А, т.
е. А — поле. Условие достаточно; если оно выполнено и х — произвольный ненулевой элемент расширения Ь, то кольцо К[х] представляет собой поле, следовательно, х !гК [х], т. е. (гл. [У, $ 2, предложение 1) существует многочленд~ К [Х] такой, что х '= д(х). Тем самым хд(х) — 1= О, что означает алгебраичность х над нолем К; следовательно, Š— алгебраическое расширение поля К. Предложение 4. Если расширение Е поля К имеет конечную степень гг, то оно алгебраическое, и степень над К произвольного элемента расширения Е делит и.
7 Н, Бурбаки с8 гл.ч, 13 поля Дейст вительно, для любого х ~ Е число (К (х):К( конечно и делит п (2 2, следствие 1 из теоремы 1), и следовательно, элемент х алгебраичен над К. Утверждение, обратное этому предлолгенкю, неверно; позже (1 4, и' 2) мы дадим пример алгебраического расширения бесконечной степени. Пгкдчожкник 5.
Пусть Е=К(а„а„..., а,„) — расширение поля К конечного пгипа и пусть все элементы а;(1 < ( <т) алгебраичны нсд К. Тогда Š— расширение поля К конечной степени. Пусть и; — степень элемента аэ над полем К(а„аю ..., аш,); тогда степень поля Е над К равна п,п,... и, и элементы а,"готье... а"» (0<чт; < пи,) образуют базис расширения Е поля К. Действительно, элементы ат'(О <тэ<пэ,) обРазУют базис поля К(аы аз,..., а;) над К(а„аз,...,аш,) (теорема 1г)).
ПродлоН1ЕНИЕ НЕПоСРЕДСтВЕННО ПОЛУЧаЕтон ИНДУКЦКЕй ПО т ИЗ ПРЕДЛО- женпя 1 гл. П, 2 5 (см. 2 2, и' 1). 3 а не чан пя. 1) Мы имеем Ь'=К(аь ае, ..., а,„), и, следовательно, поле Е изоморфяо факторкольцу К (Хо Хз, ..., Хю)/а, где а — идеал алгебраических соотношений между элементами а; с коэффициентами из К (гл. )У, 1 2, теорема 1); так как Ь' — поле, то а— лшлсалшльчий идеал кольца К (Хь, .. Хж). 2) Пусть Š— алгебраическое расширенно полл К бесконечной степени. Из предложения 5 следует сутцегтвование бесконечной последовательности (а„) элементов Е таких, что аа б К(ао ат,, аа 1). Кроме того, предложение 5 показывает, что степень яоля К(а,, аз, ..., а„) над К может принимать как угодно болыние значения.
Иначе говоря, если Š†так алгебраическое расширение поля К, что степени(Р: К) подрасшнревий кояечной степени поля Е о*ралачемьь то Š†расширен вопечнай степени полн К. Пвкдлонгкник 6. Пусть Š— расширение поля К, Л вЂ” часть Е, состоящая из алгебраических над К элементов; тогда К(А)— алгебраическое расширение поля К. Действительно, всякий элемент х, принадлежащий К (А), принадлежит полю К(Р), где Р— конечная часть Л (2 2, следствие из предложения 3); расширение К(Р) алгебраично над К (предложение 5), следовательно, элемент х алгебраический над К.
Пгкдложкнпк 7. Пусть ьа — некоторое расширение поля К, Е и à — расширения К, содержащиеся в ь). Если расширение Г Алгнвгличгскиг РАсшигвния олгебраично над К, то псдкольуо С, порожденное множеством Е () Р, является полем, ксторсе ссгпьоает с Е(Р) и олгебраично над Е. Действительно, всякий элемент расширения Р, будучи алгебраичным над К, алгебраичен над Р (предложение 2), следовательно (предложение 6), Ь' (Г) — алгебраическое расширениеполя Е. Так как С вЂ” кольцо, содержащееся в Е (Р) и содержащее Е, то С вЂ” поле (предложение 3), следовательно, оно совпадает с Е(Г) ввиду определения последнего.
3. лранаитивность алгебраичесииэс раегаирений. Леля, алгеб1оаичесии замкнутые внут1эи своего тзасилирезгим Пввдложкнив 8. Пусть Е и Р— два подпола поля К и КС С ЕС Р. Для того чтобы поле Р было алгебраическим над К, необходимо и достаточно, чтобы Е бьто алгебраическим над К, а Р алгебраическим над Е. Условие необходимо ввиду предложения 2. Докажем, что оно достаточно. Пусть х — произвольный элемент расширения Р; он алгебранчен над Е; пусть дЕ(Х) — минимальный многочлеи элемента х над Е.
Обозначим символом А множество (конечное) коэффициентов многочлена а; элемент х алгебраичен над полем К(А). Так как расширение К(А) имеет конечную степень над К (предложение 5), а расширенке К(А () (х)) =К(А)(х) имеет конечную степень над К(А), то (~ 2, теорема 1) расширение К(А() (х)) имеет конечную степень над К и, значит, элемент х алгебраичен над К (предложеняе 4). Опггдвлкнив 5.
Подполе К поля Е называется алгебраически замкнутым в Г, если всякий элемент расширения Е, алгебраический над К, принадлемсит К. Это равносильно утверждению, что К вЂ” единственное алгебраическое расширение поля Е,, содержащееся в Г. Всякое поле является алгебраически замкнутым в себе. В з 4 мы изучим поля, алгебраическн замкнутые в любом надполе. Пгвдложвник 9. Пусть Š— произвольное надноле поля К. Мно. жество Ь тех элементов поля Е, которые алгебраичны над К, составляет поле, алгебраически замкнутое в Е. тч гл,ч, "з3 поля Действительно (предложение 6), поле К (Е) алгебраично над К, следовательно, К(Б)~ Ь, и, значит, К(Х,)=Ьн Ь вЂ” поле.
Сдругой стороны, если элемент х~Е алгебраичен над Е, то он алгебраичен над К (предложение 8) и, следовательно, принадлежит Ь. Расширение Е поля К, состоящее из элементов Е, алгебраичных над К, называют а ггбраичгским замыканием полл К г Е. Оно является наибольшим алгебраическим расширением полл К, содержащимся в Е. Упражнения.
)) Доказать, что всякое алгебраическое расширение Е поля К равномощно части множества Кн К (рассмотреть отображение, ставящее в соответствие каждому элементу из Е его минимальный мыогочлеы над К, [использовать тот факт, что множество конечных частей бесконечного множества А равыомощыо А). В частности, всякое алгебраическое расширение конечного поля счетно и всякое алгебраическое расширение бесконечного поля К равномощыо К. 'Вывести ото|ода, что в поле Л действительных чисел существуют трансцендентные нал простым полем С числа и что множество их имеет мощность континуума., 2) Пусть à — распзиреыие поля К, з н у — два различных корня одыого и того же кеприводнмогомыогочлеыакольца К[К[, л, у ЕЕ.
Доказать, что расширения К(л) и К(у) не являются линейно разделенными ыад К (использовать предложение 4 а), $ 2), 'Если в качестве К взять С, в качестве Е поле С комплексных чисел, в качестве л действительный корень и в качестве у комплексный корень мвогочлена зз — 2, то доказать, что К(в) ПК(у)= — К., 3) Пусть (Е,) — семейство расширений поля К, содержащихся в расширении С поля К. Пусть г,— алгебраическое замыкание поля К в Е; доказать, что алгебраическое аамыкавие поляКв Е=[) Е, г есть Е= П Гг В *4) Пусть К вЂ” поле, А — подкольцо поля К, Ес К вЂ” поле частных кольца А. а) Доказать, что если К есть А-модуль, допускающий конечную систему образующих, то Е=А. (Полагая К= Ч~', Ась докааать, т=г что ь есть А-модуль с конечным числом обрааующих, разлагая К, рассматриваемое как векторное пространство над б, в прнмую сумму б и некоторого допалявтельыого подпростравства.) б) Докааать, что если существует коыечыое число элементов л; поля К алгебраичных яад Е и таких, что К=А[э,...
лс[, то Г1 1 существует отличный от куля элемент Ь бА такой, что Е=А ~ — [ [ ь! АЛГЕВРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТЫЕ РАСШИРЕНИЯ 1О1 (доквзать существование элемента Ь б А такого, что А являет. Г1 1 ся А [ — ) -модулем с конечным числом образующих). Вывести [ь! отсюда, что 6 принадлежит всем максимальным идеалам кольца А. и 4. Алгебраически замкнутые расширения .л. Алгебрамчески замкнутое поле Пведложкник 1. Для любого поля К слгдуюи[иг четыре свойства эквивалентны. (АС) Всякий непостоянный многочлгн кольца К [Х[ разлагается в этом кольце в произведение многочлгнов первой степени.
(АС') Всякий непостоянный многочлгн кольца К[Х[ имеет хотя бы один корень в К. (АС") Всякий неприводимый многочлгн кольца К [Х) является многочлгном первой степени. (АС") Всякое алгебраическое расизиргниг поля К совпадает с К (иначе говоря, поле К алггбраичгски замкнуто во всех своих надполлх). Докажем сначала, что свойства (АС), (АС') и (АС") эквивалентны. Ясно, что (АС) влечет (АС'); (АС") влечет (АС'), так как всякий непостоянный многочлен кольца К[Х) делится на некоторый неприводимый многочлен (гл. 1Ъ', $ 1, предложение 8), который, являясь миогочленом первой степени, имеет корень в К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
