Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Понятие суммируемого семейства, определенное 'в кольце Е в и' 4, совпадает в топологическом кольце Е с понятием суммируемого семейства, определенного в произвольной абелевой топологической группе (Общ. топал., гл. П1, й 4), а предложение 1 является частным случаем ассоциативности суммы (Общ. топол., гл. П1, $ 4, теорема 2). Лемма, следующая эа предложением 6, показывает, что всякое дифференцирование кольца А [Хг, Хг, ..., Хр) со вначениями в кольце Е равномерно непрерывно. Это позволяет передокаэать предложение 6 топологическн (см. Общ. топол., гл.
П, $ 3, теорема 1). У яр а иене нин. 1) Пусть 1 — произвольное множество индексов. Доказать, что алдитивный монондлгы) Я1, и'1) удовлетворяет условию (77) главы П, 1 7, и' 10. Расширенная алеебра второ мононда нвд коммутативным кольцом А, обладалвцнм единицей, обозначается символом А[[Х;])г г и навываетсн также алгеброй формальныв радое с коэффициентами в А относительно переменных Хь Порядок ненулевого формальнога ряда определяется наи нанмень- ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ шая иа поляых степеней его ненулевых членов. Доквзатгл что если А †облас целостности, то А ([ХЦ(21 †то область целостности, и выполняется соотношение (3).
и 2) Пусть К вЂ” поле, )= — — рациональная дробь, принадлежал щая полю К (Х1, Хз, ..., Хр), и и(0, О, ..., 0) ~ О. Допевать, что свстему рядов (О, О, ., 0) можно подставить в любую проиаводНуш Рп(1 ... Р„Р) В Чта ЕСЛИ Хап, „Хп(' ... ХРР— равяажЕИИЕ 1 в формальный ряд, то Р~1'Разе ... Р,Р)(0, О, ..., 0)=л1! лз! .! лр! а„п (еформула Тейлорами). Вывести отсюда рваложевие в формальный рнд рациональной дроби 1((1 — Х)Р. пЗ) Пусть и (Х)= Ч~~, алХ" — формальный ряд над полем К. п=е а) Для того чтобы и был рациональной дробью в кольце К(Х), необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная последовательность (йл)1<1< алемеятов поля К, не все иа которых равны нулю, и такое число К) О, что для всех л) б 41а„+йза„.,(+...
+йеа„пе 1=0. б) Пусть ал ил+1 ... алей 1 апп1 оп+2 .. аз+а аппз апта ° " аппйт( ил+4-1 ап+й . ил+ай-2 (еопределитель Ханкеляз). Доказать, что если Н(Я)=0 и Н(ч) ~0 +1 с+! для всех 1 ) О, то и(Х) — рацновальнви дробь (использовать а)). в) Докааать тождество Н(4)Н(4) Н(4+1)Н(4 — 1) (Н(й) )з и п(2 и и+2 и+1 (см. гл.
1П, 1 8, упраягненне 11). Вывести отсюда, что если НЯ+~)=0 при О < У ( г — 1, то определители Н("+)р 1 ~!' ( г, либо все равны нулю, либо все не равяы нулю. г) Вывести иа б) и в) следующее утверждение. Для того чтобы ряд и (Х) был рациональной дробью, необходимо и достаточно, чтобы существовали двв целых числа к и е такие, что н(ч+1)=0 и+1 для всех /) О. 4) Пусть а1, вз, ..., а — целые числа, большие нуля, ал — число конечных последовательностей (х1)1<1< неотрицательных целых инОГОчлены и РАциОКАльные дРОБи гл. гч, 1 о чисел, удовлетворяющих уравнению авив+ээээ+ ° + 'рэр=". Доказать, что формальный ряд ~~~~а„Х" (над полем ~) являетя=о ся разложением рациональной дроби 5) Пусть Š— конечное множество положительных чисел, число конечных послодсвательиостей (х;), состоящих из ( н членов множества Е и удовлетворяющих условию г,*;=л.
Доказать, что формальный ряд ~ ряХ над 9 является разложением рацио- я=о пальной дроби 1 1 — Х вЂ” Х вЂ”...— Х Р где (а;)в и — последовательность элементов из Е, расположенных вмвцр в порядке возрастания. 6) Пусть К вЂ по. Доказать, что в кольце формальных рядов К[[Х„ Хз, ..., Хр]] существует только один максимальный идеал н он соваадает с множеством всех необратимых элементов. Дока- вать, что в кольце мяогочлеяов К [Х„ Хз, ..., Х,), напротив, существует несколько рааличных максимальных идеалов.
7) Пусть К вЂ” поле. Доказать, что не существует формального рида и (Х, У) 6 К[[Х, УИ, для которого (ХУ)-"'(Х+У) и (Х, у)=1, ви — л1обое положительное целое число. 8) Пусть К вЂ” поле, [в — целое число, не кратное характеристике полн К. Доказать, что для любого формального ряда и б К [[Х]], свободяый член которого равен единице, существует формальный ряд и 6К[[Х]] такой, что р"=и (положить о=1+ ш).
в9) Пусть Š— векторное пространство, имеющее бесконечный базис, над полем К характеристики 2. Пусть А — внешняя 'алгебра ,Я,Е этого пространства, нвляющаяся коммутатнвным кольцом с единицей. Привести пример формального ряда ибА[[Х]] таного, что из=О, но не существует элемента У~О, у 6 А, для которого уи.=О (см.
з 1, упражнение 11). 10) Пусть А — нв обявятвяювв квммутвтивяов кольцо с единицей и о — ендоморфпзм А такой, что о (1)=1. 11а адаптивной группо произведения К=А определим внутренний закон композиция, я положив (а„)([1„)=(у„), где у„= '~~~~ арар([)ч) (по(ь)=а). рте=я 81 ФОРИЛЛЪЫЫЕ РЯДЫ а) Доказать, что этот аакон композиции ассоциативен и дистрибутивен с обеих сторон по отношению к сложению в Е и, следовательно, определяет на Е структуру кольца, имеющего в качестве единицы е последовательность (а„], где ао= 1, а„=О при я > 1. Отображение, ставящее в соответствие всякому $ б А элемент (ап) б Е такой, что ос †--$, а =-О для и > 1, является иаоморфизмом А на подкольцо кольца Е, с которыы мы отождествим А.
Будем писать ч~~~ а„Х«вместо (а„); тогда ХР»=а» (()) Х» для лэобого зле«=1 мента р б А. Если ряд и««э а„Х" отличен от кулн, то наименьшее «=0 число Ь, для которого аафО, называется порядком и и обоаначается символом ьэ (и). б) Пусть А — кольцо без делителей нуля, н — некоторый изоморфнзм кольца А на свао подкольцо, Доказать, что Š†коль без делителей нуля и что ы(ио)=-м(и)+м(о], если иные и»~О. в) Для того чтобы ряд и= ч а„Х" был обратим, необходимо п=е я достаточно, чтобы элемент ао был обратим в кольце А. г) Предположиы, что А — иоле, и — его автоморфизм. Доказать, что для кольца Е существует тело левых частных (гл. 1, $ 3, упражнение 8] и что всякпй ненулевой элемент этого тела Г может быть однозначно ааписап в виде иХ ", где и — элемент нулевого порядка кольца Е.
ь«11) а) Пусть А и  †д вполне упорядоченные части множества В (они обнзвтельно счетны: см. Общ. топал., гл. Гч', 1 2, упражнение 1). Доказать, «то множество А+В вполне упорядочено и что для любого элемента об А+В существует только конечное число пар (е, Ь) с условиями а ЬА, Ь ЕВ и е=е+Ь. (Для того чтобы доказать, что вснкан непустая часть множества А+В имеет наименьший элемент, следует рассмотреть его нижнюю грань в В.) б) Пусть К вЂ по.
В некотором пространстве К рассмотрим и векторное надпространство Е, образованяое элементами (а„) такими, что множество я б В, длн которых аяч'=О, вполне упорядочено. Для двух произвольных элементов (а„), ())„) пространства Е положим (а ) (()я)=(уя), где уя= ~Ч~ ~аоре (сумма имеет смысл ввиду О+э=» а] ]. Доназать, что этот аакон композиции определяет вместе со сложением в Е структуру поля на Е. Элементы кольца Е ааписывают также в виде Ч~~ аеХэ и называют формальными рядами эби с вполне упорядоченными экспонентами и коаффициентами в К. Н.
Бурбаки ГЛАВА У ПОЛЯ*) 5 1. Простые поля. Характеристика .х. Пйзостгьже тьоля Известно (гл. 1, 1 9, и'2), что пересечение произвольного семейства подполей поля К является подполель поля К. В частности, пересечопне Р всех подполей поля Х есть наименьшее подполе поля К; оно не содержит никаких подполей, отличных от него самого. Опгкдвление 1. Поле называется простььи, если оно не содержит ниьахих подполсй, отличных от него самого. Итак, всякое поле К содержит единственное простое поле Р. Определим его структуру. Для этого заметим, что Р, как всякое подполе поля К, содержит единицу в поля К (потому что из равенства х'=х и х~О следует, что х=е в К, см.
гл. 1, й 9, и'2). Таким обрааом, Р— подполе К, порожденное элементом е (можно сказать также, что Р— подполе К, порожденное пустой частью ф поля К). Сначала рассмотрим подпольно А поля К, порожденное единицей е. А содержит все элементы и е, где п ~ 2, и так как эти элементы образуют кольцо, 4 совпадает с множеством их. С другой стороны, отображение п — ь п.е является представлением кольца Е целых чисел на А (гл. 1, 9 8 и' 8).
Множество чисел п~8, для которых и в=О, является ь) За исилючеиием иредложеаий 11 и 14 1 10, результаты, приводимые в Я 10 и 11 и обоих ириложеииях, яе используют результатов Я 8 и 9. Читатель, иятересуююийся глзвиым образом теорией Галуа и ее приложениями, может прямо яерейти от 1 7 и 1 10. ПРОСТЫЕ ПОЛЯ. ХАРАНТЕРИСТИКА идеалом (р) кольца У, где р> 0 — характеристика (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
