Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В более общем случае, когда А †такое подколь Е, что Е совпадает с полем частных кольца А, а  †так подкольцо Р, что Р совпадает с полем частных кольца В, наконец, С вЂ” подкольцо полн Й, порожденное множеством А (] В, тогда поле К(Е (] Р) совпадает с полем частных кольца С, так как оно является наименьшим подполем поля ьз, содержащим С, Е н Р. Кроме того, мы имеем Пгвдложкннк 5. Пустпь Е и Р— расширения поля К, содержащиеся е П, А и  — подкольца кольца И, содержащие К и такие, что Š— поле частных кольца А, а Р— поле частпных кольца В.
Для того чтобы поля Е и Р были линейно разделены над К, необходимо и достаточно, чтобы кольца А и В были линейно разделены над К. Условие, очевидно, необходимо. Обратно, если А и В линейно разделены над К, то линейно разделены кольца А и Р, так как, если семейство элементов поля ьз независимо, относительно В, то оно независимо относительно поля частных Р кольца В (гл.
П1, $ 2, предложение 5). То жв рассуждение показывает затем, что поля Е н Р линейно разделены над К. Пгкдложкнив б. Пусть Е и Р— расширения поля К, содержащиеся з П. Если Е и Р линейно разделены над К, то всякое подрасширение расширения Е и всякое подрасширение расширения Р линейно разделены над К. Обратно, если всякая пара подрасширений конечного типа Е' и Р' расширений Е и Р соотеетстзенно линейно разделена над К, то Е и Р линейно разделены над К, Действительно, условие линейной разделенности расвшрвннй Е и Р можно выразить следующим образом: если (а„) — произ- РАСШИРЕНИЯ 93 вольное независимое семейство элементов расширения Е и (ба)— произвольное неаависимое семейство элементов расширения Р, то из соотношения ~ Х за„ба=О, где К„збК, должны вытекать ,а равенства а а=О (для всех пар индексов ар).
Но зто условие выполняется для любой пары независимых семейств, если оно выполняется для любой пары конечных независимых семейств. Образно говоря, линейная разделенность является свойством «конечного характера». Пгедложнние 7. Пусть Е, Р, С вЂ” расширения поля К, содерлхаи(неся з расширении Й поля К, и пусть РС 'С. Для того чтобы поля Е и С были линейно разделены нод К, необходимо и достаточно, чтобы поля Е и Р были линейно разделены над К, а поля Е(Р) и С были линейно разделены над Р. Условие необходимо, так как, если Е и С линейно разделены над К, то Е и Р линейно разделены над К (предложения 6). С другой стороны, всякий базис (а„) поля Е над К является одновременно бависом алгебры Р(Е) над полем Р.
Так как, по предположению, семейство (а„) независимо относительно С, то алгебры Р[Е) и С линейно разделены кад Р, а следовательно, линейно разделены и поля Е(Р)=-Р(Е) и С (предложение 5). Условие достаточно, так как при тех же обозначениях оно влечет независимость семейства (а„) над полем Р; следовательно, (а,„) составляет бааис алгебры Р(Е) над Р. По предположению, Р(Е) и С линейно разделены над Р, следовательно, семейство (а„) независимо над С. Отсюда следует линейная разделенность полей Еи С над К. Упражнения.
1) В поле К(Х,У) рациональнмх дробей от двух переменных над полем К доказать, что К(Х) н К(У) — линейно разделенные расжнрения полн К, но подкольцо поля К (Х, У), порожденное множеством К(Х) () К(У), отлично от К(Х, У) (см. 4 9, упражнение 4). 2) Пусть А — произвольная алгебра вад полем К, имеющая конечный ранг над К, и пусть элемент а б А не является делителем нуля слева.
Доказать, что существует такой элемент е б А, что «х=х для всех хбА, и такой элемент Ь б А, что об=« (см. гл. 1, 4 2, упражнение 9). Вывести отсюда, что если А имеет конечный ранг над К и ве содержит делителей нуля, то А — тело (не обязательно коммутативное). гл.ч,1з поля $ 3. Алгебраические расширения 1. Алгебраические элементпъг Пусть К вЂ” пояе, Š— расширение поля К, х~Е. Мы будем изучать подкольцо К[х] поля Е, поронгденное х н К (гл.1Ч, $ 2, и'1). Зто кольцо является областью целостности', изоморфной К [Х]/а, где а — идеал алгебраических соотношений с коэффициентами нз К, которым удовлетворяет элемент х (или модуль линейных соотношений с коэффициентами из К между одночленами х (п~2Ч): см. гл. 1Ч, $ 2, теорема 1).
В зависимости от того, равен (О) идеал а или нет, могут представиться два случая. Опгвдглвнив 1. Элемент х расширения Е поля К называется трансцендентным над К, если идеал а алгебраических соотношений с коэффициентами иэ К, которым удовлетворяет элемент х, есть (О) (или, что то лсе, если одночлены хь(пбЛ') линейно независимы над К). В противном случае авемент х называется алгебраическим над К. Утверждение, что х алгебраичен над К, означает таким образом, что существуют элементы аь принадлежащие полю К и не все равные нулю (О < 1 < п) такие, что ив+ах+... +ах" = О.
Если идеал а ненулевой, то, как известно (гл. 1Ч, 1 1, предложение 7), он является главным идеалом ([) в кольце К [Х]; многочлен 1, если считать его унитарным, определяется однозначно. Пусть и — степень ); тогда классы по модулю (1) элементов Х" (О < й < и — 1) образуют базис алгебры К [Х]((]) над полем К (гл. 1Ч, $ 1, предложение 4). Так как кольцо К [ХЩ), изоморфное кольцу К [х], являетсн областью целостности и имеет конечный ранг над К, то оно — поле (1 2, следствие из предложения 1). Следовательно, (~) — максимальный идеал и ~ — неприводимый многочлен; кроме того, так как К[х] — поле, то оно совпадает, по определению, с К(х) и имеет конечную степень над К.
Ошвдклкнив 2. Пусть х — алгебраический над К элемент расширения Е поля К; число [К(х):К] называется степенью элемента х над К. В частности, для того чтобы алгебраический над К элемент принадлежал К, необходимо и достаточно, чтобы его степень над К была равна 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 95 Таким образом мы доказали следусошую теорему: Ткоокмл 1. а) Для того чтобы злелсент х расширения Е поля К был алгебраическим над К, необходимо и достаточно, чтобы кольцо К [х] было алгеброй конечного ранга над К; тогда зто кольцо совпадает с полем К(х), б) Если х имеет степень и над К, то существует единственный унитарный многочлен )б К [Х[ степени и такой, что 1 (х) = О.
в) Ыногочлен с неприводимый. Множество лсного сленге д ~ К [Х] таких, что д (х) = О, является главным идеалом ([). г) Отображение д — ьа (х) является гомоморфизмом кольца К [Х] на по,се К(х). Лоле К(х) изоморфно полю К [Х]с(1), и злемекты 1=-хг, х, хз, ..., х" ' образуют базис К(х) над К. Опгкдклкпик 3. Пусть х — алгебраический над К элемент расширения Е поля К; минилсалысым много членом глемента х над К будем называть единственный унитарный неприводимый много- член ?ЕК [Х], для которого [(х)=О.
Это равносильно утверждению, что 1 — унитарный многочлен кольца К [Х] степени, равной степени элемента х над К и такой, что 1(х) =О. Таким образом, всякий неприводимый унитарный многочлен кольца К[Х] является минимальным многочленом каждого из своих корней во всяком расширении Е поля К (если у него вообще есть корни в расширении Е). Корни неприводимого многочлена ?сК[Х] в расширении Е поля К пе обязаиы быть простыми.
Точнее, справедливо следующее утверждение: Пгкдложкник 1. Лусть К вЂ” поле характеристики р, х— алгебраический над К злелсснт расширения Е поля К, Для того чтобы х был простым корнем своего минимального многочлена 1 над К, необхода.но и достагпо сно, чтобы 1 не принадлежал кольс[у К [хо[. Действительно, для того чтобы х был кратным корнем много- члена 1, необходимо и достаточно, чтобы 1'(х)=-О (гл. ?'ч, 1 4, предложение 3). Следовательно, многочлен 1' должен делиться на 1 (теорема 1). Это возможно только прн с"= О, так как в противном случае мы имеем с?ей ['(с?ей 1 и 1' не москет быть кратныы 1. Так как условие 1'=О эквивалентно включению ~бК[хо] (~ 1, предложение 4), предложение доказано.
96 гп.ч, 33 поля Слкдствик 1. Пусть К вЂ” поле характеристики нуль, Š— произвольное расширение поля К, 1 — неприводимый многочлен кольца К [Х]; тогда все корни лспогочлена 1* в Е простые. Примеры.' 1) В поле комплексных чисел С число с алгебраическое и имеет степень 2 над простым полом О. Действительно, если >(х)=хе+1, то > (с)=0, но хе+1 Ф 0 ни для одыого числа х б (>, следовательно, Ь б (>. Поле (>(С) является расширением степеыи 2 полн О, оно состоит иа чисел а+Ьсц где а и Ь вЂ” рацноыальные., 96 2) Пусть К вЂ” поле, Р— поле К(Х) рациояальных дробей от одыой переменной вад К. Пусть Ь" — подполе К(Хз) поля Р; тогда Р=Е (Х) п элемент Х вЂ” алгебраичеы над Ь", так как он является корнем мпогочлека Уе†Хз кольца Ь'[У]. Этот многочлеы кепркводим в кольце Е [У], ибо в противном случае он имеет по крайней мере оЛин множитель первой степени, и, следовательно, существу>от два ненулевых мвогочлеиа к и ь кольца К [Х) такие, что (и(Х))з= .— -Хз (о (Хз))с.
Это невозможао, потому что, обозначая буквами т и п степени мыогочлеыов и и и, соответственно получаем 9т — — йп+3 или Зкс= — Зк -, '1. Следовательно, поле Р является раси>иреннем степени 3 поля Е, и вслкий элсмевт полл Р можно записать единственным обрааом в виде ) (Хз)+Хе(Хз)+Хзй(Хз), где Е в, Ь вЂ” рациональные дроби, принадлежащие К(Х). Если К имеет характеристику 3, то непрнводимый многочлен Уз — Хз принадлежит кольцу Е [Уз) и, следовательно (предложение 1), его корни в Р кратные.
Впрочем легко видеть, что Х— еданотеенный корень этого многочлена в поле р, так как в поле характеристики р равенство хэ.=уэ влечет х=у (т 1, предложение 1). '3) В поле Н действительных чисел можно доказать" ), что число я транеценденлпно вад простым полем (> (см. упражпепие 1)., Пгкдложкинн 2. Пусть Š— расширение поля К, х — элемент Е, алгебраический над К. Для любого поля Г, промеэюуточного мемеду К и Е„элемент х алгебраичен над Г, его минильольный м>согочлен >сад г делит лшнимольный многочле>ь х над К, а степень х над Р не превосходит степени х над К.
Действительно, пусть 1 — минимальный многочлен элемента х над К. Поскольку )(х)=О и 1'ГР[Х], х алгебраичен иад Г и, следовательно, 1 кратен минимальному многочлену элемента х иад полем Р (теорема [ в)). ") См., яапрнмер, В. и 11 Ь е г 1, Сезашше!1е АЬЬапб!ппдеп, Вегпп (Зрг1пбег), 1932, 1. 1, р. 1 97 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 3 ам'е ча и не. Пусть А — коммутативная алгебра яад полем К, обладающая той же единицей, что и К (которая, следовательно, содержится в А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
