Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Уелое число й (которое, если оно неотрицательно, является порядком ряда и) тоже называется порядком обобщенного формального ряда и. Е1епосредственно проверяется, что отножения (г) и (3) остаются верными для обобщенных формальных рядов. В частности, если и ~0, то ог(гг ') = — ю(и), 73 ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ Кольцо К [Х] ыногочленов от Х является подкольцом кольца К[[ХЦ. Поэтому всякая рационалыгая дробь —" (и и о — много- члены, о~О) может быть отождествлена с (обобщенным) формальным рядом ип1 поля К((Х)), который называетсн ее разлолсвнием.

Таким образом, поле К(Х) рациональных дробей от одной переменной отождествляется с подполем поля К((Х)). Эти результаты нс распростравяютсл на поля дробей формальг ных рядов более одной перемеякои: не для всякого формального ряда и кольца К КХ1, Хг, , Хр]] существует формальный ряд ой ККХЬ Хг, ..., ХРЦ и целое число пь такие, что (Х1Хз ... Хр) '"ио=.1 (см. упрежнеяие 7].

8. Днфферезщнрованыя в алгебре грормаленьт рядов Пгедложение 6. Пусть А — коммутативнов кольцо с единицей,  — его подкольцо, об,задающее той зссг единицей, что и А, Всякое дифференцирование В колька лсногочлснов А[Х1, Хз, ... ..., Хр] (рассматриваемого как алгебра над В) со значениями в кольце формальных рлдов А [[Х1, Хг, ..., Х„Ц одногначно продолжается до дифферсгсцирования В кольца А ЦХ„Хг,, ХРЦ (рассматриваемого как алгебра над В).

Действительно, для левого (и;) ~ 1чз мозкно написать равенство р гз(ПХР1) ~ и Хог Хз!-1Хе1 — 1Хо1+1 ХерВХ 1 из которого непосредственно вытекает следующая лемма. Леымь.,]]сля любого многочлена ибА [Х„Хг, ..., Хр] имеет место неравенство оз(Ви) уеоз(и) — 1, если Ви-ь О. Пусть теперь и = ~~д ~ио — формальный ряд кольца А [[Х„ о=о Хг, ..., Х„Ц, где и„ вЂ” однородные части степени и ряда и. Если Ви„~О, то по лемме оз(Ви„) >и — 1.

Следовательно, семейство (Пи„)ьеь суммируемо. Покажем, что отображение В, определенное формулой В„= ,'~~~ Юив, представляет собоп дифферено.=с цирование кольца А [[Хи Х„..., ХРЦ, которое продолжает В, многочлены и РАциОнАльные дРОБи Гл,ч е 1 4 74 Достаточно доказать, что Р(ии)=Ри-Р+и Ри для любых двух формальных рядов и и Р, а это непосредственно вытекает из предлоя1ения 2 и выражения однородной части степени и ряда ии через однородные части степеней < и рядов и и Р. Остается доказать, что Р†единственн дифференцирование кольца А [[Х„ Хг, ..., ХРЦ, которое продолжает,Р. Для этого достаточно установить, что дифференцировапие Р, алгебры А [[Х1, Хз, ..., ХРЦ, отображающее в нуль л1обой многочлен, тождественно равно нулю.

Итак, пусть и — произвольный фор- мальный ряд, ю,— многочлен, являющийся суммой однородных частей ряда и степени <т Формальный ряд и — ю„можно запи- сать в виде ~ Рт „.Х7 ... Х"„'", где (и1) пробегает конечное подмножество множества №, состоящее из элементов, для кото- Р рых ~~ ~н1=г, а Р 1„,,р — формальные ряды. По лемме Рв(и — ю„) 1=1 равно нулю или имеет порядок, не меньший г — 1. С другой стороны, по предположению, .Рв(и) = Рв(и — ю„).

Коли Рви ~ О, то порядок ряда Рви должен быть не мепьше г — 1 для любого целого числа г, что невозможно. В частности, каждое частное дифференцирование Р1 (1 <1< р) кольца А [Х„Хз, ..., Хр[ продолжается до дифференцирования кольца А ЦХ1, Хз, ..., Х Ц, которое мы будем обозначать одним а из символов Р, или —.

Таким образом, аХ1 Р1(~ а„,, „„Х" ,... Х„"")=~~",н1а„зв,...„„Х11 ... Хвет ' ... ХР". Из предложения 6 этого параграфа и предложения 8 ~ 4 следует, что Р1Р1= РгР, для любых 1 и 1. Пгедложение 7. Частные дифференцирования Р1 (1 < 1 < р) образуют базис Е-модуля Я (Е) дифференцирований кольца Е, рассматриваемого как алгебра над кольцом А. Действительно, пусть Р— произвольное дифференцирование алгебры Е, Р(Х1)=и; (и;~Е). Тогда Р— ли1Р1 — тоже дифференцирование кольца Е, которое, по предположению, равпо нулю для элементов кольца А и всех Хь Следовательно Я 4, предложение 7), опо равно нулю для всех многочленов и, наконец (предложение 6), для всех элементов кольца Е.

еормлльнык ряды Из этого предложения следует, что р дифференциалов с[Х! (1<! < р) образуют базис (дуальный к базису (хэ!)) модуля,Ю (Е) дифференциальных форм на Е (1 4, и' 5). Таким образом, полный дифференциал произвольного форв!ального ряда и задается формулой р р '"=Х П!и'Х =Х вЂ” '" 'Х. (=! (8) Формальный ряд и (Х!+ Уь Хз+ Ум ° ° °, Хр+ Ур), являющийся вполне определенным элементом кольца А [[Х, ... Хр, У! ...

УрЦ (и' 5), можно также рассматривать как элемент кольца формальных рядов Е[[У!, Ум ..., УрЦ (и' 1). Легко проверяется, что мпогочлен ~ О!иУ! является однородной частью ь=! первой степени относительно У! ряда и(Х!+У!, ..., Хр+Ур) или, что сводится к тому же, ряда Ли=и(Х,+У!, ..., Хр+Ур) — и(Х!, ..., Хр). Ввиду этого результата и формулы (8) многочлен ХХ>!иУ! относительно У; часто обозначается символом ![и (Х! Хр У! Ур) Пркдложкник 8.

Пусть [ — форл<альный ряд кольца А ЦХ„ Хз, ..., ХрЦ, и;(1 <! <р) — р формальных рядов без свободных членов кольца А [[Еп Ем ..., Я Ц. Положим Ь= ~(иь из, ..., и„); тогда р Ыг= ~ П!1(и„из, ..., ир) а!и!. Действительно, положим Ли; = и; (Я, + Т„..., Яч+ Тз)— — и;(Я!, ..., Ез); тогда однородная часть первой степени формального ряда (относительпо Тз) ЛЬ= [(и, + Ли„..., ир+ Лир)— — ((и!, ..., ир) совпадает с однородной частью первой степени ряда с[1(и, ... ир', Ли!, ..., Лир), так как ряды Ли; не имен>т свободных членов. Отсюда тотчас следует предложение. Пркдложкник 9.

Пусть и — формальный ряд кольца А[[Хм ..., ХрЦ. Положим и (Х!+ У!1 ° ° Хр+ Ур) = =А[Уж- ....,(Х!, "., Х,)УГУз ,... У,"', 77 то юогмлльнын Ряды поло кению, матрица Р=(~г~) обратима (гл. П), З 6, теорема 2); ц пусть 6=(бган) — ее обратная. Пусть ег=~ д;~~)', тогда г г ег= — Ьэ+ У; — ~ Ьг,, „Уг' ... У"ц (1<г<д), (цг) где Ь;ц и Ьг, „,, „— элементы кольца Е, и Ь;, не содержат свободных членов. Так как )г= ~ (ггдя достаточно доказать предг=г ложение для рядов йь Предположим, что задача решена, тогда иг=йгц-г, ~ Ь;, „цпг' ... ицц (1.-'г .д). (13) (ц ) Пусть и;и — однородная часть степени т ряда иг и гггц,= ,'~~~~~ пгь-— ь=г сумма тех членов ряда иь полная степень которых не превосхоДнт гп.

В фоРмальном РЯДУ Ьй„, „цйгг ... и,",ц, где ~ п~>2, ! однородная часть степени лг та же, что в ряду Ьг „, ог,' ... г,"ц,, так как и; — ряды без свободного члена. Из равенства (13) вытекает, что игг=оп совпадает с однородной частью первой степени ряда Ь;ц и что для любого лг)1 и;и определяется рекуррентно, как однородная часть степени т рида вг цц Ь!О+ Х Ьц вг...ццог, я~-! ° оц, т-1 ° Этим одновременно доказывается существование и единственность рядов иг, так как ясно, что если ряды пг определяются рекуррентно указанным выше способом, то ряды иг= Хиг удовлетворяют системе (13). .цО. 7опологимеепие иптерпрегпац1ии Болыпую часть результатов этого параграфа удобно формулировать в топологических терминах, которые подсказывают возможность дальнейших обобщений. Рассмотрим кольцо формальных рядов Е=АПХг, Хг, ..., ХрЦ и для кансдого числа п).0 символом «„обозначилг множество рядов и ЕЛ порядка, не меньгпего и.

Неравенства (1) и (2) показывают, что а„— идеал кольца многочлвны и РАционАльнык дРОБи гл, гу, 1 б Е. Так как а„С а при т(п, эти идеалы образуют базис некоторого фильтра, и их пересечение равно нулю. Следовательно, они обравуют фундаментальную систему окрестностей нуля в некоторой топологии кольца Е, которая согласована со структурой аддитивной группы Е (Общ. топол., гл.

П1, $ 1, и' 2), а также, что легко проверяется, со структурой колы)а Е (аксиомы (Арг) и (АР'гг) иэ Общ. топол., гл. П1, $5, и'1 проверяются тривиально). Так как нуль допускает счетную фундаментальную систему окрестностей, определенное таким образом топологическое кольцо Е метризуемо (Общ. топал., гл.

1Х, $ 3, предложение 1). Кроме того, оно полное, так как для всякой последовательности Коши (и„) в кольце Е и для любого числа а существует такое число по(д), что при т>пс и и> по ряд и — и„имеет порядок, больший д. Иначе говоря, члены, степень которых не превосходит д, одни и те же во всех формальных рядах и„при п > по (д). Пусть и — формальный ряд, у которого однородная часть степени д совпадает с однородной частью степени д всех рядов и„с и> пс(д) (для всех д> 0). Очевидно, и является пределом последовательности (и ). Кольцо многочленов А[Хг, Х„..., Хр) всюду п.готно в кольце Е, которое, следовательно, можно рассматривать как замыкание этого кольца многочленов.

Характеристики

Список файлов книги