Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 17
Текст из файла (страница 17)
1, 9 8, и' 8) поля К, и кольцо А изоморфно факторкольцу Я/(р): Возможны.два случая: 1' р= О, Тогда у1 кзоморфно Я. Так как А ГР, Р содержит поле отношений кольца А (гл. 1, 1 9, и 4), которое нзоморфно полю (е рациональных чисел. Так как Р— простое поле, оно совпадает с полем отношений кольца А н, следовательно, изоморфно Ч. 2' р)0. Так как А содержится в поле, то оно не может содержать делителей нуля, следовательно, Я!(р) не имеет делителеп нуля. Это значит, что равенство р=тп (т О, п)0) влечет тик 0(шобр) нлн и= — 0(шее) р), т. е.
т=р нли п=р, следовательно, р — простое число (гл. 1, 6 8, и' 7). Однако известно (гл. 1, 6 9, теорема 2), что для любого простого числа р кольцо Я!(р) является полем. Следовательно, Р совпадает с А и изоморфно 2!(р). В итоге получаем; Ткогемл 1. Хорокпесристика полл К равна нулю или простому числу. Если характеристика полл К равна нулю, то простое подполе полл К изоморфно полю () рациональных чисел. Если характеристика полл К равна р~ О, то простое подполе поля К изоморфно полю Х)(р) целых чисел по модулю р. Замечания.
1) Прк доказательстве теоремы 1 мы не пользоваансь номмутатнвностью палн К, следовательно, теорема 1 нрк меняна и к некоммутатявным желал, 2) Всякое недтело тела К (не обязательно коммутатнвното) содержит простое подполе тела К к, следовательно, имеет юу же характеристику, что и тело К. Таким образом, женое тело, содержажее тело К, имеет ту же характерястнку, что я тело К, 3) Поле () бесконечно, следовательно, все поля характеристики нуль бесконечны, а все венечные поля имеют ненулевую характеристику.
2. Харамтперелетпмчеенам эмепонетспва Пусть дано поле К характеристики р. Характеристической экспонентой поля К мы будем называть число р, если р)0, н число 1, если р=О. Пведложенив 1. Если р — характеристическая экспонента полл К, то отображение х — » хв лвлявтсл изоморфизмом полл К на некоторое вео подполе. 6» поля гл.
ч.1с Очевидно, что (хр)г=хгуг. Докажем, что (х+ р)" = х + рг. При р=1 равенство очевидно. При р~1 имеем (х- "=~(:)х""з " (:)=(')=' а=с Остается доказать, что е=-0 прн 1 <сс(р. Й) Так как сс! ( )=р(р — 1) ... (р — сс+1), то (Ус! с) (( Ь~ ) е) = р(р — 1) ... (р — сс-, '1) в= О. Но )с! с=в(2г)(Зе) ... (Усе) и йечьО для 1(А(р, следовательно, й! еФ'О, откуда ( ~~ ) е=О. Таким образом, отображение х — ь хг является представлением поля К в себя; так как оно ненулевое, оно является изоморфизмом К на свое подполе (гл. 1, $9, теорема 1). Слвдствив.
Для любого целого числа 1 «О отображение х — э -ьх" является кзоморфазлсолс поля К ни свое подполе. Это утверясденне получается )-кратным последовательным применением предложения 1. Тем саиызг имеем тождество ~ хс = ~~д ~хзС. (2) Замечания. 1) Свернула (2) показывает, чгс для любого рд простого числа р и любого целого числа / з О число— Чс)чз! .
! вг' где дс — неотрицательные числа, отличные ст рС, и Хд;=р', делилссл на р. 2) Заметим, что предложение 1 и формула (1) взрастают быть верныии, если К вЂ” некоммутативнсе тело характеристики р) О. Для любой части А поля К символом А" мы будем обозначать в атой главе образ А при изоморфизме х ь хз. В частности, Кг означает подполе поля К, являющееся образом К при атом изоиорфизме *). «) Разумеется, нельзя смешивать множество Аз ни с произведением р инсжссте, ссвнздасожкх с А, нн с множеством врсиззедений хсзз...
хн по р злеязнтсз, ярннздссвжасцлх А. 85 ПРОСТЫЕ ПОЛЯ. ХАРАКТЕРИСТИКА Заметим, что при р= 1 К" =К (см. $ 7, и' 3). Пгедложение 2. Пусть Š— поле, содержащее подполе К с характеристической зкспонентой р. Для произвольной части А мнозтсества Е имеем: (К ]А])Р = — К" ]АР] и (К(А))" =КР(АР). Зто предложение является непосредственным следствием определений кольца К [А] (гл.
1У, $ 2, и' 1) и поля К (А) (гл. 1Ч, з 3, и' 2). Действительно, если кольцо В содержит КР[]АР и содержится в (К[А])", то оно является образом при изоморфиаме х — э хз кольца С, содержащегд К[]А и содержащегося в К [А], следовательно, совпадающего с К [А], т. е. КР [А"]=- (К [А])Р.
Так же доказывается, что КР(АР)=(К(А))Р. Пгвдложнние 3. Пусть Š— поле, содержащее подполе К с характеристической зкспонентой р. Если  — базис векторного пространства К [А] над К, то ВР— система образующих векторного пространства К [АР] над К. Действительно, В" — бааис пространства КР[А"] над полем КР, КР[А"] †систе образующих пространства К [АР) над полем К. Так как К" ~ К, то В" †систе образующих пространства К [А"] над К.
В. Хараитперизацим многочленов о нулевой производной Пгедложвнив 4. Пусть К вЂ” поле характеристики р. Пля того чтобы имели место тождества — — =-О, 1 <1<и, [СК Х д] дг~ Х ]Хм Хз, ..., Х„], необходимо и достаточно, чтобы мпогочлен принадлежал подкольуу К [ХРЫ Хнг, ..., ХР] кольца К Х Х]Х„Х, ..., Х„]. Прн р= — О зто означает, что многочзен 1 сзоднтсн и консгнвнвте а м я. Предложение очевидно при и = О (по определению К [Х;]твь, см.
гл. 1ч', з 1, и' 2). Доказательство будем. вести индукцией по и. Пусть 1 с К [Х„Хг, ..., Х„]; тогда 1 = ~ АХ~, где дз С К [Хи Хз, ..., Х„т]. Из равенства — „— = О для 1 < 1 < и — 1 д] вытекает, что — — =О для всех ]с и для 1<1«п — 1. Следовадзь дХ; 86 гл.ч,12 поля тельно, по предположению индукции, да~К (Хн», Хв, ..., Хн С другой стороны, ~~~ йдьХ„ = = О, следовательно, )сдь = О ь — г М =аХь = для всех )с и, значит, ха=О для всех )с, не кратных р, что и требовалось доказать. Упражненвя.
1) Пусть А — кольцо без делителей яувя, не обязательно коммутативное и ые обаэательно с единицей. Доказать, что характеристика А (определяемая как число и» ) О, для которого идеал (т) является анузнтором А) равна нулю или простому числу. Если А содержит единицу, то А содержит подкольцо, иаоморфное Л/(т). 2) Пусть А — область целостности, ф — простой идеал (гл. 1, З 8, упражнение 13) кольца А. Если характеристика кольца А— простое число р ) О, то характеристика кольца А/7 тоже равна р. Если характеристика кольца А равна нулю, то характеристика кольца А/ф равна нулю в том случае, когда не существует такого простого числа р, что рА с ф, В противном случае сущестыует только олью простое число р, обладающее этим свойством; оно н являетсн характеристикой кольца А/ф.
Доказать, что когда А/ф — конечаое кольцо, имеет место второй случай. Дать примеры обоих случаев (вэять А=- 2 н А =К (Х], К вЂ -поле характеристики нуль). й 2. Расширения Пусть К вЂ” поле, содержащееся в поле Ь. Единицы полей К и ь совпадают, следовательно, Ь может быть снабжено структурой алгебры над К (гл. П, 8 7, и' 1). Назовем поле Ь, снабженное структурой алгебры над К, расширением К, оставляя термин надполе для Ь снабженного структурой поля без операторов*).
Заметив», что всякое ноле можно рассматривать как расширение его простого подполы. Всякий раз, когда без уточнений мы будем говорить, что поле К, содержится в кольце г, мы будем подразумевать; что К есть подло.«е кольца Ь (иначе говоря, что структура поля икдуцируе»пся структурой гольца в Х). Пусть ь и М вЂ” два надполя поля К такие, что КС,1 С М. Назовем Ь промежуточным полем между К и М. Снабженное структурой расширения поля К, ь" являются подалгеброй М„ ") Таким образом, мы изменим смысл слона «расщирение», которое мы определили в гл.
1 1 О, и' 2 как синоним надполя. РАсшигкния которув» мы будем также называть подрасширением расширения М поля К. Замечен»»е. Для того чтобы сделать более ясной ситуацию, в которой фигурирув»т несколько полей, мы будем использовать иногда диаграммы приведенного ниже вида (рис. 1). М вЂ” эр 1' К вЂ” ьЛ вЂ” э Л» Рве. 1. Стрелка, идущая от одной буквы к другой, означает, что ноле, обозначенное первой буквой, является подполем поля обозначенного второй буквой (таким образом, стрелка заменяет знак включения). Например, в диаграмме мы имеем К С Ь, ЬС МС Р и ЬС Л'С'Р.
1. Спгрунтпури расьнмрения Расширение Ь' поля К, будучи алгеброй над К, в частности снабжено структурой векторного пространства над К, размерность которого называется степенью расширения Е (или еще степе»»юо подпола Е относительно поля К; см. гл. 11, з 7, и'2). Напомним (см. там же), что эту степень, когда она конечна, обозначают [Е: К[.
Символ [Е: К) определен только в этол» случае. Пусть Š— распшренне поля К, à — расширение поля Е, (аь)ге»,— базис Е над К, (уе)эгн — базис Г над Е. Тогда семейство (д„а»)»ю юемх», составляет базис Г над полем К (гл. П, $5, предложение 1). В частности (гл. П, ~ 5, следствие нз предложения 1), получаел» следующий результат: Ткогкмл 1. Пусогь Š— расширение поля К, à — расширение поля Е. Гели хотя бм одно иг чисел [Г; К[, [Г: Ь[. [Е: К) определено, то определено и другое, и [Г: К) = [Г: Е) [Е: К[. Слкдствнк 1. Если à — рас»иирение поля К конечной степени, Š— промежуточное поле л»ежду К и Г, то степени [Е: К[ и [Г: Е) явлтотся делителями [Г: К). 88 гл.
ч, 12 поля Теы саыыы, если степень [Р: К[ — простое число, то не существует никаких подрасширений Р, кроме К и Р. Однако заметим, что если число [Р: К[ не простое, то не обязательно существует подрасширение Г, отличное от К и Р (см. 1 10, упражнение 7). Слкдствив 2. Если à — расширение конечной степени поля К, Е— промежуточное поле мемеду К и Р, то равенство [Е: К[= [Р: К[ равносильно совпадению Е=Р, а равенство [Р:Е[= [Р:К[ разносил ьно совпадению Е = К. Действительно, если степень расширения поля К равна 1, то это расширение совпадает с К. Пгвдложкнив 1. Пусть А — коммутативная алгебра с единицей е над полем К, именнцая конечный ранг над К. Если злемент а~А не является делителем нуля в А, то он обратим в А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
