Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Действительно, отображение х — >ах является взаимно однозначным зндоморфизмом структуры векторного пространства на А, следовательно, оно — автоыорфнзм А с той же структурой (гл. Ш, следствие предложения 11), позтому существует такой элемент Ь~А, что аЬ=е. Слвдствив. Всякая область целостности А (гл. 1, з 8, и' 3), содерясаи[ая поле К, имеет ту оже единицу, что К. Если А, как алгебра над К, имеет конечный ранг над К, то А — поле. Действительно, пусть е — единица К, тогда ез = е, откуда е(х — ех)=0 для всех х~А, и так как е~ О, имеем х=вх, что доказывает первую часть следствия. Вторая часть непосредственно получается из предложения 1. Пусть Е и Р— два расширения одного и того же поля К. В соответствии с общимн определениями (см, гл.
П, 1 7, и' 4) представление расширения Е в расширение Р есть представление 1 структуры поля Е в структуру поля Р такое, что 1 (гх) = =г)(х) для хЕ Е и гбК (мы рассматриваем только ненуяевые представления, для которых [(1)=1). Это равносильно утверждению, что 1(г) = г (иначе говоря, г инвариантно относительно [) для всех гбК. Так как представление 1 неьулевое, оно является изоморфигмом структуры поля Е на структуру поля некоторого подполя поля Р (содержащего К).
Е1азовем [ К-игоморфизмом поля Е в поле Р. Поля Е и Р будут называться К-изоморфными, если существует К-изоморфизм Е на Р. К-изоморфизм расширения Е поля К на подрасшнрение поля Е называется К-зндо- РАСШИРЕНИЯ морфизлсом поля Е и К-автоморфизмом поля Е, если он отображает Е на себя. Заметим, что для произвольного эндоморфизма и поля К мибнсество элементов этого поля, инварианпгных относительно и, является подполем К поля Е (гл. Н, $ 5, п' 6), следовательно, и есть К-зндоморфизм поля Ь.
В частности, если Р— простое подполе поля Е, все андоморфнзмы поля Ь являются Р-андоморфиамамн. Простое поле обладает только одним андоморфиамом — тождественным, М. ??згиеоедагтгеззтсе Пусть Š— надполе поля К. Напомним, что для заданного семейства х=(хг)„ег элементов поля Е (гл. 1ч', г) 3, и'2) символом К(хс),зг (ичи К(ж), или еще К(хс, ..., х„), когда 1 — интервал (1, п) множества Лг) мы обозначаем наименьшее подполе поля Е, содержащее К и элементы семейства (х,). Будем говорить, что поле К(х,)„ы получается присоединением к Л элементов семейства (х,)гег и что семейство (х,) (или множество его элементов) является системой образующих поля К(х,),вг относительно К (или над К). Поле К(х,)иг зависит только от множества А элементов семейства (х„); напомним, что оно обозначается также символом К(А). В частности, К(Е)=Е и К((е) =К.
Пгвдложение 2. Пусть М и Ж вЂ” двг произвольныв части надполл Е полл К; тогда К(М О Лг)=К(М)(Л')=К(Л()(М). Действительно, поле К(М () Лг) содержит поле К(М) и множество Л, а следовательно, и полеК(М) (Лг). Так как полеК(М)(Л ) содернсит множество К ( ) М ( ) Лг, то оно содержит также К (М ( ) Лг), откуда следует требуемое. Иногда пишут К(М„Лг) вместо К(М () Л'). Замечая не. Если Р— простое подполе поля Р (1 1), то для любой часта А пнан К Р(А) — наименьшее подполе, содержащее А.
В частности, если К вЂ” подполе поля К, то Р(К О А)=К(А). Если К и К' — подполя поля Р, то Р(К () К')=К(К')=К'(К). Это поле является наименьшим подполем поля Е, содержащим К и К', нли верхней гранью полей К и К' в множестве подполей поля Е, упорядоченных по включению. Пввдложшгив 3.
Пусть 5 — множество подполвй полл Е, фильтрующееся по отногивнию С '; тогда объединение Е полей мнолвгства ч есть поле. йо гл.у,зз поля Действительно, если х, у — клементы множества Ь, то существуют поля В, Б, принадлежащие множеству $ и такие, что хйВ, у~В. Пусть Т вЂ” поле из множества )у, содержащее поля В и о'; Тогда х г Т, у ~ Т, следовательно х+ у, ху и х ' (если х ~ 0) принадлежат Т и, следовательно, Ь *). Слкдствик. Пусть К вЂ” подполе поля Ь'.
Поле К(А), получаюызееся присоединением к К некоторой части А поля Ь", является объединением полей К(Р), где В пробегает мноэесество конечных частей множества А. Действительно, множество полей К(Р) на основаггии предложения 2 фильтруется по отношению С, Следовательно, объединение Ь этих полей является полем, содержащим К () А и содержащимся в поле К(А) и, следовательно, совпадающим с К(А). Опгкдклкник 1. Расширение Е поля К называется расширением конечного типа, если оно обладает конечной системой образующих. Оно называется простым, если оно обладает системой образующих, сводящейся к одному элементу. Следствие к предложению 3 показывает, что всякое расширение Е поля К является объединением расширений конечного типа, содержащихся в Ь'.
Ясно, что всякое расширение Е поля К конечной степени является расширением конечного тлипа, так как база Е (рассматриваомого как векторное пространство над К) является системой образующих поля Ь' пад К. Позже мы увидим, что обратное утверждение неверно. З. Линейно рааделеннъсе ттаеисиузеним Пусть ье — расширение поля К, А и  — подкольца поля П, содержащие К; тогда их можно рассматривать как подалгебры алгебры й (над полем К). Пусть С вЂ” подкольцо поля П, поролс- ") Нрввцвп этого доказательства приложим к более общему случаю, когда Е обладает алгебраической структурой 3; с — множество, фильтрующееся во отношеввю с, частей Е, на которых 3 ввдуцкрует ту же структуру, я в аксиомах структуры в' участвуют только венечные частя множества, на котором она определена. На объеднпенкн Е множеств нз 5 структура Ы индуцирует ту же структуру Ы.
Например, можно брать в качестве л структуру группы с операторамн, нлн кольца с операторами, клв алгебравческн замкнутого поля, нлн совершенного поля в т. д. Рлсшигкння денное множеством А [» В. Напомним, что существует представление ~р тензорного произведения А йф В алгебр А и В над полем К на алгебру С, ставящее в соответствие каждому тензорному произведению х®у(хЕА, уЕВ) произведение ху, лежащее в С (гл. П1, $ 3, и' 3).
Иначе говоря, если (Ь„) — базис алгебры В над полем К, (аь) — базис алгебры А над полем К, то алгебра С отождествляется с множеством линейных комбинаций ~ а„Ь„, где а„~А, множеством ~ [»ьаю где р>,ЕВ, а так>не множеством Х гляаьдр, где уь„гК. Напомним еще, что алгебры А и В х, е называются линейно разделенными над К, если представление >р является изоморфизмом АКВ на С. В этом случае А П В=К и вснкая независимая над К часть алгебры В (соответственно А) является независимой над А (соответственно В). Обратно, для того чтобы А и В были линейно разделены над К, достаточно существования базиса алгебры В над К (например), который независим над А (гл. 1П, 1 3, теорема 1).
Разберем в частности случай, когда А и В являются подрасширениями поля Й. Пгкдложкник 4. Пусть Е и à — расширения поля К, содержаи»леся в расширении ьз. а) Пусть à — расширение конечной степени поля К; тогда подкольцо расширения й, порожденное множеством Е [) Г, является полем, совпадоюи»им с Е(Г), степень которого относительно Е конечна. Далее, [Е(Г): Е) < [Г: К), и равенство [Е(Г): Е) = [Г: К» имеет место в том и только в том случае, когда поля Е и Г линейно разделены нод К.
б) Если, кроме того, Е имеет конечную с>пепень над К, то Е(Г)=К(Е [» Г), и вто поле имеет конечную степень над К. Тогда [К(Е [» Г):К» с[Е:К» [Г:К», и равенство [К(Е [» Г):К»= = [Е: К» [Г: К» выполняе>ося в том и только в том слу ~ае, когда Е и Г линейно разделены над К. Действительно, пусть С вЂ” подкольцо расширения ьс, порожденное множеством Е [» Г. Пусть, далее, (Ь;)>«;„— базис Г над К; тогда С отождествляется с векторным пространством над Е, порожденным элементами Ьм следовательно, С вЂ” алгебра конечного ранга, не превосходящего и, над полем Е.
Так как С гл. т, 12 92 поля содержится в некотором поле и, следовательно, является областью целостности, то С вЂ” поле (следствне предложения 1). Отсюда следует, что С = Е (Р) к [Е (Р): Е] < [Р: К]. Равенство [Е(Р): Е] =- = [Р:К) означает, что элементы Ьг линейно независимы над Е, и следовательно, поля Е и Р линейно разделены над К. Часть а) предложения доказана. Часть б) тотчас следует из части а), так как [Е (Р): К] =- [Е (Р): Е) [Е: К]. Если Е и Р— расширения поля К бесконечной степени, содержащиеся в П, то подкольцо С, порожденное множеством Е [] Р, не обязано быть полем (упражнение 1), однако поле частных кольца С совпадает с К (Е [] Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
