Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Наконец, (АС') влечет (АС), так как из (АС') индукцией по п выводится, что всякий многочлен степени и в К[Х[ является произведением п многочленов первой степени (гл. 1У, 4 2, предложение 5). Остается показать, что свойства (АС") и (АС") эквивалентны. Если К обладает свойством (АС"), то всякий алгебраичный над К элемент имеет степень 1 над К (4 3, теорема 1 в)). Следовательно, он принадлежит К, т.
е. выполнено условие (АСв). Наоборот, предположим, что К обладает свойством (АС ); пусть | — неприводимый мпогочлен кольца К [Х[; тогда идеал 1 максимален в кольце К[Х[, и поле К [Х)/(~) имеет конечную степень над К (гл. 17, $.1, предлол ение 41, следовательно, оно алгебраично над К (4 3, предложение 4). Так как оно должно совпадать с К, то 1 имеет степень 1, и условие (АС") доказано. 102 гл.т, та поля Опгвдвлкник 1. Поле К называется алгебраически замкнутым, если оно обладает (зквивалентными) свойствами (АС), (АС'), (АС"), (АС ). Заметны, чта, разумеется, поле К, влсебрвически звмкнвтое о данном расширении Е поля К, не обязано быть злгебранчески замкнутым. Это последнее понятие имеет внутренний характер, т.
е. завнснт талька ат структуры паля К, в та время как первое существенна зависит ат рассматриваемого расширения Е. Из предложения 1 вытекает следующее следствие. Олидствик. Пусгпь К вЂ” подполе алгебраически замкнутого поля Е; тогда алгебраическое замыкание Р поля К в Е является алгебраически замкнутым полем. Действительно, всякий непостоянный многочлен кольца Р [Х[ обладает по крайней мере одним корнем в Е; зтот корень, будучи алгебраичным над Р, алгебраичен над К (2 3, предложение 8), следовательно, принадлежит Р. Примеры. *1) Пале С комплексных чисел явлнетсн злгвбранчески замкнутым (Общ.
топал., гл. Ъ>111, т 1, теорема 1). 2) Ноисчмос поле К не может быть алгебрзнческн замкнутым; действительна, пусть (хд!м! .„— конечная последовательность, саставленная нз всех злементов поля К. Мнагачлен 1(Х)=1+ П х >=! х(Х вЂ” з;) паля К(Х) нв может иметь карня в поле К„следовательно (предло>кение 1), К не является алгебрзнчески замкнутым. 3. Алгебратлчестгтл замкнутые Расгиит>е>гтгя Теперь мы собираемся докааать существование алгебраически замкнутого поля„содержащего произвольное данное поле. Введем следующее определение, Опгвдкленик 2. Рас>парение поля К будем называть алгебраическим замыканием поля К, если оно алгебраично над К и алгебраически замкнуто. При доказательстве существования алгебраического замыкания мы будем пользоваться следующим важным предложением: Пгвдложкник 2.
Пусть К вЂ” поле, (Е„)~гл — произвольное семейство расширений полл К; тогда существует расширение Е л АЛГВБРАИЧГСКИ ЗАМКНУТЫЕ РАСШИРЕНИЯ 1ОЗ поля К и для каз)одого асА К-изоморфизм и расширения Е~ в Е такие, что Е пороэесдается объединение»» и (Е„). В самом деле, рассмотрим тензорное произведение Р= ® Е, (А) расширений Е, рассматриваемых как алгебры над К (гч, П1, приложение 1, и' 2). Р— коммутативная алгебра над К, обладающая единицей, которую можно отождествить с единицей поля К, и длл каждого асА существует канонический К-изоморфизм о расширения Е„на подполе Е«алгебры Р, содержа)цее К.
Пусть а — некоторый максимальный идеал алгебры Р (гл. 1, $ 8, теорема 1); тогда факторалгебра Р/а является полем (гл. 1, $9, теорема 2). Так как единица расширения Еа совпадает с единицей алгебры Р, то пересечение Е,е1а, являющееся идеалом в Еа, содержит лишь нуль (гл. 1, е 9, предложение 2). Следовательно, канонический гомоморфизм ~р алгебры Р на Р/а, ограниченный на Е;, является К-изоморфнзмом Е' на ~р(Е«). Так как объединение расширений Е' порождает Р (гл. П1, приложение 1, и' 2), то объединение полей ~р(Е') порождает Р/а.
Таким образом, условия предложения 2 выполняются, если взять Е = Р/а и и„ =-~рава для всех аЕ 4. Чаще всего мы будем отождествлять Е„с иа(Е„) с помощью изоморфизма и„и рассматривать поля Е„как погруженные в расширение Е. Теогеил 1 (Штейниц), Пусть К вЂ” поле, 11 — алгебраическое замыкание поля К, Š— произвольное алгебраическое расширение поля К; тогда существует К-изоморфизм Е в 1«. Действительно, ввиду предложения 2 существует расширение Ле поля К, содержащее й и К-изоморфизм и расширения Е в Ле такие, что Л" порождается множеством 11 Ци(Е). Так как расширения 1« и и(Е) алгебраичны над К, то Ле — алгебраическое расширение поля К (1 3, предложение 6) и тем более Л' алгебраично над й, а так как й — поле, алгебраически замкнутое, то Ле=й (предложение 1). Теорема доказана.
Слвдствив. Пусть Е и Е' — деа поля, и — изоморфизм Е на Е', Р— алеебраическое расширение поля Е, й — алгебраическое замыкание поля Е'; тогда существует изоморфизм расширения Р в Й, продолжающий и. Пусть Р' — «сумма» (Теор. Мн., Рез., ~ 4„п' 5) множеств Е' и РПСЕ; и,— взаимно однозначное отображение Р на Р', поля продолжающее и.
Перенося на Р' структуру поля Г с помощью отображения иы мы снабжаем Р' структурой поля, изоморфного Р, и превращаем и» в изоморфизм г' на Р', продолжающий и. Поскольку Е' — алгебраическое расширение полн Е', то по теореме 1 существует Е'-иаоморфизм о поля Р' в 1«. Изоморфнзм о ь и«поля Р в ьз является искомым изоморфизмом.
Возможность «продолжать» всякое алгебраическое расширение поля К в алгебраическое аамыкание поля К характеризует алгебраическое замыкание поля К, Именна: Пгидложкнив 3. Пуши» Е вЂ” алгебраическое расширение поля К. Если для всякого расширения Р конечной степени поля К существует К-изоморфизм Р в Е, то рас»ииренае Е алгебраически замкнуто. Будем рассуждать от противного и предположим, что существует алгебраическое распшрение Е' поля Е, отличное от Е. Пусть х — элемент расширения Е' и х( Е. Так как х алгебраичен над Е, он алгебраичен и над К (э 3, предложение 8).
Пусть !— минимальный многочлен элемента х над К, т — число различных корней ыногочлена 1, содержащихся в поле Е (т пе монсет быть пулем), и ун уз,..., ум — все зти корни. Г!одполе К (х, у,, уз,..., у ) является расширением поля К, содержащимся в Е' и имеющим конечную степень над К ($ 3, предложение 5), и мпогочлен имеет в нем не менее чем т+ 1 разчичных корней. Следовательно, не монсет существовать К-изоморфизм поля К (х, у„..., у ) в Е, так как в Е многочлен ! обладает только т различными корнями. Таким образом, мы пришли к противоречию, которое доказывает предложение.
Теперь мы обладаем всем необходил«ым, чтобы доказать существование и единственность (с точностью до изоморфиама) алгебраического замыкания произвольного поля. Ткогвмк 2 (Шткйниц). Всякое поле К обладает некоторым алгебраическим замыканием. Кроме того, длл любых двух алгебраических замыканий ь! и ь!' полл К существует К-изоморфизм 'ь«на ьз'. Рассмотрим алгебру многочлеяов А= — К[Х„[„вч и семейство полей К[Х», Хы ..., Х Га, где т принимает все целые положительные значения и где для каждого т, а пробегает множество г АлгеБРАически ЗАмкнутые РАсшиРения 105 всех максимальных идеалов алгебры К [Х„ Х„ ..., Х ['), Обозначим это семейство через (Е»)»еь.
Для всякого алгебраического расширения Г конечной степени поля К существует К-изоморфизм Е на (по крайней ыере) одно поле Е» Я 3, замечание 1 к предложению 5). Ввиду предложения 2 существует расширение Е поля К такое, что для каждого )»~Л существует К-изоморфизм и», поля Е» в Е, Пусть 1) — алгебраическое замыкание поля К в Е(13, и' 3); тогда П содержит все расширения н»(Е»), являющиеся алгебраическими над К. Следовательно, для всякого расширения Е конечной степени поля К существует К-изолюрфизм расширения Е в Я.
В силу предложения 3»е является алгебраическим замыканием поля К. Если П' — другое алгебраическое замыкание поля К, то по теореме 1 существует К-изоморфизм п расширения [в' в 1), а так как ноле Р([з') алгебраически замкнуто, а П алгебраично над К и, следовательно, 'над Р(1в'), то Р([з')=[с, чем и завершается доказательство. 3 з и е ч з н н в.
В частности, всякое конечное поле К допускает алгебраическое замыкание й, которое должно быть бесконечным полем (и' ), пример 2). Тзк кзк всякое алгебраическое расширение конечной степени поза К является конечным полем, то Я является алгебраическим расширением бесконечной степени над К. Пусть (е — алгебраическое замыкание полн К; тогда всякий отличный от константы многочлен ) кольца К[Х[ принадлежит кольцу»е [Х[ и, следовательно (предложение 1), равен произведению множителей первой степени из й[Х[.
Пусть х; (1 <1<т)— различные корни многочлена ) в зе; тогда сумлеа порядков кратности хс равна степени многочлепн (' (см. гл. [У, $ 2, теорема 2). Поле Е=К(х„..., х,„), порожденное элементами х;, называется полем корней (над К) многочлена [ в расширении [).
Оно алгебраично, илееет конечную степень над К (1 3, предложение 5) и определено (независимо от й) с точностью до изоморфизма. Действительно, пусть Š†произвольн расширение поля К такое, что многочлен [ равен произведению множителей первой степени ") Множества К[Хо, Х„..., Хт))а являются частями множества $(А) (мы отождествляем К[Хо, ..., Хт) с нодалгебрзмн алгебры А). Укажем нано, что когда одно нз этих множеств содержится з другом, мы не предполаеаем, что верное является ноднозем второго (хотн можно доказать, что это действительно имеет место), 1Об гл.
ч, 1 4 поля (не обязательно различных) в кольце Р [Х). Пусть у! (1 ~<1 <д)— различные корни многочлепа ( в поле Р. По теореме 1 существует К-пзоморфизм и подполя К(р>, ..., ро) поля Е на подполе Е' поля Я, а так как ) равен произведению множителей первой степени в кольце Е[Х), то элементы х';= и(ру) (1<1 <о) являются единственными корнями многочлепа 1 в поле ьг. Этим доказано, что у= и и х>'=ху дпя 1 <)<и (с точностью до перестановки), откуда Е'=Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
