Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Допуская вольность речи, мы будем иногда говорить о иоле корней мкогочлсна ~ без указания расширения поля К, содержащего это поле. Заметим, что поле корней К(х>, ..., х ) многочлена г' отличается, вообще говори, от полн К(х;), порожденного одним из корней х! многочлена ) в () (см, 1 6, упражнение 7). В частности, степень К(х„..., х,„) над К в обп»ем случае строго бооыиг степени многочлена !. Заметим также, что поле К (х>, ..., хт), вообще говоря, не нзоморфно факторкольцу К[К)/(1), даже если меогочлея ) неприводим (если ) не нзлнетсн неприводимым, то зто факторкольцо содержит делителн нуля). У яр аж я ения.
г!) а) Пусть Я вЂ” такое алгебраическое расширение воля К, что всякий многочлен, отличный от константы, кольца К [Х) разлагаетсн в произведение множителей первой степени в К [Х), Доказать, что Я является алгебраическим замыканием поля К (если элемент х алгебраичен над К, то он алгебранчен и над К; рассмотреть минимальный многочлен элемента х над К). б) Пусть К вЂ” бесконечное поле, à — такое алгебраическое расширение поля К, что всякий многочлея, отличный от константы, кольца К[Х) обладает хотя бы одним кормом в Я.
Доказать, что à — алгебраическое замыкание поля К (пусть ») — некоторое алгобраэческое замыкание поля Е, !' — многочлеп кольца К [Х), х! (! < ! < т) †е о> различные корни в Я; рассмотреть т элементов у>= г„г>ухи где г>у >=! суть тг проиавольных элементов поля К и доказать, что можно выбрать такие гм, что >)от(г>у) чь 0 н все у! прноадле>наг полю уй использовать предложение З гл. )Ч, 1 2). 2) Доказать существование алгебраического аамынавия полн К, не пользуясь результатами 1 4, следу>о>цнм образом; рассмотреть в множество А=к [х) >с л> часть к, состоящу>о из элементов х=(Х вЂ” *, О), где х пробегает К, и перенести на К структуру поля К с помощью отображения х-»-х.
Пусть ю — множество структур поля 2, определенных на частнх множества А, которое упорядочено «по продолжению», т. е. положим Х ( 2', если 2 определено ]07 тРАнсцендентные РАсшиРения на Е< А и Е' на Е'с А и если поле Е, снабженное структурой Х, является подполем поля Е', снабженного структурой Х'. Доказать, что С вЂ” индуктивное множество; то же верно для части Зо множества ю, состоящей из структур Х, продолжающих стр)ктуру К н таких, что для всякого элемента г=(] (Х), лг) частк множества А, на которой Е определена, имеем ) (г)=0 (в смысле структуры Х). Паконец, доказать, что всякий максимальный элемент направленного множестве чче является структурой алгебранчески замкнутого поля, продолжающей структуру К. 3) Пусть К вЂ” поле, 7 — многочлен кольца К [Х, У]. Предположим, что имеется соотношение вида ф(Х) 7(Х, У) =г(Х, У) Ь(Х, У), где г н Ь вЂ” многочлены кольца К [Х, У] такие, что коэффициенты много- члена г, рассматриваемого как многочлен от У, взаимно просты и где ~р — многочлен кольца К[Х].
Доказать, что тогда все нозффициенты многочлена Ь, рассматриваемого кан многочлея от У, делятся на фХ). (Рассмотреть ~, Д г, Ь как многочлены от Х над полем К(У) и разложить нх в произведение многочленов первой степени в алгебраическом замыкании П поля К(У), Заметить наконец, что если Ь"— ллгебраическое замыкание поля К, то о.
н, д, в кольце К' [г] много- членов кольца К [Х] принадлежит К[Х].) 4) Пусть К вЂ” поле, а и г — рациональные дроби, отличные от констант, поля К(Х). Для того чтобы дробь и(э) была многочленом, необходимо и достаточно, чтобы выполяялось одно из двух условий: 1 а) либо и и г — многочлены, б) либо и=)С(Х вЂ” а]", э — а= —, где / г и Е являются многочленами, а а — элемент поля К и степень / не превосходит п (рассмотреть алгебраическое замыкание поля К, в котором разложить на множители числитель и знамеяатель рациональных дробей а и г). $5.
Трансцендентные рнсгпирения Х. Алгебранчестсн сеободньсе сельейстоа. тйпстьсе расширения Мы собираемсп обобщить определение трансцендентных элементов над полем К, данное в у 3 (определение 1). Опгеделение с. В расширгсши Е поля К семейство (х,)гег элементов расширения К называется алгсбраически свободнь м над К, если идеал алгебраических соотношений между х, с коэффициентами в К равен (О) (или, что то жг, если одночлгны 11х"„' относительно х„линейно независимы над К). 108 гл. т, 1 ь поля Если семейство (х„) элементов рапиирения Ь' нс является алгсбраически свободным над К, мы будем его называть алгсбраически связанным над К. Определение 1 может быть выражено еще так: Пгкдложкник 1.
Для того чтобы семейство (х,)мг элементов расширения Е поля К было алгебраически свободным над К, необходимо и достаточно, чтобы из равенства у ((х,)) = О, где многочлен кольца К[Х„[„гг, вьипекало равенство ) =О. Опгкдклкник 2. Расширение Е поля К называется чистым расширением поля К, если существует семейство (х,)„гг элементов расширения Ь", алгебраически свободное над К и такое, что Е=К(х,)мг. Такое семейство называется чистым базисом полл Е над К. Пустое семейство является алгебраически свободным (гл. [Ч„ з 1, п' 2), следовательно, К является своим собственным чистым расширением. Если множество Х не пусто, и (х,)„гг — чистый базис чистого расширения Е поля К, то всякийг элемент этого базиса х, трансцелдектен над К.
В этом случае мы называем Ь' — чисто трансцендентным расширением поля К. Отображение ( — ь~((х,)) кольца К[Х„[„зг в поле Е является изоморфизмом 'этого кольца на кольцо К [хе)„зг, порожденное объединением К и множества х, (гл. [Ч, 1 2, теорема 1). Поле частных Е= К(х,)„ег области целостности К [хе[ьтг, следовательно, нзоморфно полю рациональных дробей К(Х„)гзг. Итак: Пркдложкник 2.'Для того чгнобьг расширение Е поля К было чисто трансцендентным расширением поля К, необходимо и достаточно, чтобы Е было изоморфяо полю рациональных дробей над К.
Если (х,)„зг — чистый базис расширения Е, то поле Е изоморфно К(Хе) зг. 3 а и е ч а и и е. Ясно, что в произвольном расширении Е поля К всякое семейство, алгебраически свободное вад К, является линейно нееееиеавын над К. Иначе говоря, зто семейство свободно для структуры еензеернееа нраетранства расширения Е (отаосятельво К). Но обратное неверно, так как, если Š— алгебраическое расширение поля К, то произвольное непустое селгейство элементов из Е (и тем более семейство линейно независимых элементов яад К) яе может быть алгебраически свободным иад К.
Нри необходимости избежать путаницы мы будем говорить, что часть расениреиия Е поля К, свободная длн структуры векторного пространства расширения Е 109 ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ относительно К (соотэетстэенно базис и нзд К длн этой структуры), нелнетсн линейно свободной над К (соотэетстненно линейным,боговом Е нзд К). Заметим, что если семейство (х,)мс элементов Расширении Е аягебрэнчески сэободио, то любые дээ его элементе с рзчлнчнымн индексами различны, поскольку семейство (х„) линейно свободно (гя. П, т 1, и' 6).
Часть Л расширения Е поля К называется алгебраически свободной час~ ью (или алгебраически свободной системой), если семейство, определяемое тождественным отображением Ю на себя, является алгебраически свободным (в этом случае всякое семейство, определяемое взаимно однозначным отображением множества индексов на 5, является также алгебраически свободным). Элементы алгебраически свободной части расширения Е называются также алгебраически независимыми.
Если часть расширения Е не является алгебраически свободной, то говорят, что она алгебраически связана (или является алгебраически связанной системой) и что ее элементы алгебраически зависимы. Если семейство элементов расширения Е является чистым базисом расширения Е, то множество его элементов тоже называется чистым базисом расширения Е. Всякая часть алгебраически свободной части является алгебраически свободной. Кроме того: Пгедложение 3. Для ского чтобы семейство (х„)иг элементов расширения Е полл К было алгебраически свободным над К, необходимо и достаточно, чтобы всякое конечное подсемейство семейства (х„)сзс было алгебраически свободным над К.
Предложение следует непосредственно из предлонсения 1. 2. Ваатссьс тпрсснсцеэсдетстпноспьи ПРедложение 4. Пусть Š— некоторое расширение поля 'К, М и ссс — части поля Е. Следуюсцив свойства эквивалентнвс: а) множество М( )Лг алгебраически свободно над К и МПХ= (о, б) множество М алгебраически свободно над К, а множество Лс алгебраически свободно над К(М), в) множество ссс алгебраически свободно над К, а множество М алгвбраически свободно над К(Лг). поля гл.т. $Ь Очевидно, достаточно доказать, что а) и б) эквивалентны. 1' а) влечет б). Действительно, множество М, будучи частью обьедпнения М[)эч', алгебраически свободно над полем К. Если Л не является алгебракчески свободным над полем К(М)„ то существует (предложение 3) конечное семейство (уэ)1<;и„ различных элементов расширения Л', алгебраически связанных над К(М).
Следовательно (гл. 1П, $2, предложение 5), существует ненулевой мкогочлен ) кольца К [М) [У„..., У„) такой, что 1(уь ..., у,) = О. Коэффициентами многочлена 1 являются многочлены относительно конечного числа различных элементов х; (1 < г ( т) расширения М с коэффициентами из поля К. Соотношение ~(у„..., у„)=0 можно записать в виде д(х„... ..., х , ун ..., у„) = О, где д †ненулев многочлен кольца К [Х„ ..., Х , У„ ..., У ), но это соотношение противоречит предположению. 2' б) влечет а). Ясно, что Л П К (М) = р и тем более МПЖ=ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
