Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 36
Текст из файла (страница 36)
следовательно, Е(Лг) — нормальное расширение поля Е. С другой стороны, каждый элемент ноля Л' алгебраичен и сепарабелен над К, а значит и над Е (б 7, следствие 3 предложения 9); отсюда следует, что поле Е(Л) сепарабельно над Е 5 7, предложение 10) и поэтому является расширением Галуа поля Е (предложение 1). Чтобы показать, что Е и Лг линейно разделены над Х, рассмотрим (линейный) базис (Ьь) поля Е над Е и покажем, что он (линейно) свободен над Л' (3 2, и' 3). Рассуждаем от противного: если бы семейство (Ьь) не было свободным над Лг, то РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 171 существовало бы первичное соотношение ~~~ ~надь=О между элех ментами 6Гс коэффипиентами аьЕХ (гл. 11, 1 5, и' 4). ДлЯ любого Е-автоморфизма и поля Е(Х) тогда ~ и(аь) и(бь) = О, ь т.
е. ~~~ ~и (аь) бь = О. Но и (аь) Е )У, следовательно, существует х такой элемент ОЕЛ', что и(а„)=раь для всех Х (гл. П, $ 5, предложение 2), а так как существует такой индекс )ь, что а„= =1, то О=1. Это означает, что все коэффициенты а1 инвариантны при каждом Е-автоморфизме поля Е(Х) и поэтому (определение 1) принадлежат Е, что противоречит предположению. Заметим теперь, что поле Е(Х) как расширение Ь изоморфно тенаорному произведению ЕЗХ (1 3, предложение 7 и 4 2, и' 3); ноле Е(Ж), рассматриваемое как расширение поля Е, совпадает тогда с алгеброй, полученной при помощи расширения до Е поля операторов Х алгебры Л'(гл.
И1, б 3, и'4). Следовательно, каждый Ь-автоморфизм поля Л' однозначно продолжается до некоторого Е-эндоморфизма поля Е (Л')(гл. 111, б 3, предложение 5), а каждый Е-эндоморфизм поля Е()у') является автоморфизмом (4 6, предложение 4). Тем самым теорема доказана. Следствие 1. Для каждого поля Р, промежуточного между Е и Е(Л(), справедливо равенство Р=Е(РПЛ'). Действительно, Е ()т') — расширение Галуа над р (предложение 2).
Пусть Ь' — группа Галуа поля Е(Х) над Р; в силу теоремы 1 она иаоморфна группе Ь ограничений на Х автоморфизмов осЛ'. Но поле инвариантов группы Л совпадает с Г()Х; описание группы Л' при помощи группы Л (теорема 1) немедленно показывает (если рассмотреть базис поля Е над Е)) Ы, являющийся одновременно базисом поля Е(Х) над Л'), что для инвариантности элемента из Ь'(Л') при отображениях из Л' необходимо и достаточно, чтобы этот элемент принадлежал полю Е(РПХ); нз этого следует, что Р= Е(РП)т) (определение 1).
Это следствие не обобщаетсн на случай, когдан и К вЂ” дна расширении полн К, линейно разделенные над К, но такие, что )У не явлнетсн расширением Галуа аад К (упражнение 7). Следствие 2. Пусть Е, и Е,— два таких расширения Галуа поля К, что Е,ПЬз=К, Тогда поля Е, и Е, линейно разделены над К, причем поле К(Е1()Ез) является расширением Галуа гл.
т, 1 1П 172 поля поля К, группа Галуа которого игоморфна произведению Г, х Гз групп Галуа полей Е, и Ег над К. Мы уже видели (предложение 5), что поле К(Е„ЦЕ ) является расширением Галуа поля К. Для каждого К-автоморфизма о,(соответственно ог) поля Е, (соответственно Ег) пусть о, (соответственно ог) — единственное продолжение о1 (соответственно ог) до Ег-автоморфнзма (соответственно Е,-автоморфизма) поля К(Е,ЦЕг) (теорема 1). Если о — К-автоморфизм поля К (Е,ЦЕг), то его ограничение на Е, является К-автоморфизмом оь поля Е;, следовательно, а, ' о а есть Е„-автоморфизм аг поля К(Е,ЦЕг).
Это показывает, что о=о,ьот и при данном о, ог и ог определяются однозначно, так как они являются ограничениями автоморфизма о на поля Е, и Ег соответственно. Инымн словами, отображение (ои ог) -+ а„о ог является взаимно однозначным отображением группы Г, Х Гг на группу Галуа Г поля К(Е,ЦЕг) над К; это отображение является представлением, так как автоморфизм (а1оог) о(т,ьтг) совпадает с а,т, на Е, и с огт на Е„и поэтому равен (о,т,)ь(огтг). о. Теория Галуа Тзогкмл 2. Пусть Х вЂ” поле, Л вЂ” группа автоморфигмов поля Х, К вЂ” поле инвариантов группы Л. Для того чтобы Х, было расширением конечной степени поля К, необходимо и достаточно, чтобы группа Л была конечной. Пале Х тогда будет расширением Галуа поля К, а Л вЂ” группой Галуа поля Х над К, и степень поля Х над полем К равна порядку группы Ь.
В самом деле, в силу теоремы Дедекинда (1 7, теорема 3) элементы группы гь линейно независимы над Х,. Поэтому первое утверждение теоремы является немедленным следствием теоремы Артина ($ 7, теорема 1), в которой, кроме того, доказывается, что если порядок группы Л равен Ь, то [Х: К) = и. Следовательно, элементы группы Л являются единственными К-автоморфнзмами поля Х ($ 7, предложение 8), откуда следует (опрвделение 1), что Х вЂ” расширение Галуа поля К, и что Л вЂ” группа Галуа поля Х.
Следующая теорема сводит изучение подрасширений конечного расширения Галуа к изучению подгрупп его группы Галуа. РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 173 АКОРЕМА 3 (фундаментальная теорема о расширениях Галуа). Пусть Л' — расширение Галуа конечной степени поля К, Г— его группа Галуа; пусть вь — множество полей, лежащих между К и Л', и ус — множество подгрупп группы Г. Для каждой подгруппы Ь ~ Г' обозначим через й (Ь) поле инвариантов группы Л, а для каждого подпола Е~Ю' через у(Е) — группу Галуа поля Л' над полем Е.
Соответствие Š— ьд(Е) является взаимно однозначным отображением множества чо' на множество Г', причем обратным к нему является отображение Ь вЂ” ь 1с (Ь). Для каждого Е~г4' порядок группы д(Е) равен [Х: Е[, а индекс (Г: д(Е)) равен [Е:К!. Первое утверждение является непосредственным следствием предложения 2 и теоремы 2, а второе следует нз формулы [Х:К[ = [Л': Е! [Е:К!. Слкдствик 1. Отображение Š— > д (Е) является убывающим отображением множества за'," на Зс (упорядоченность по включению). Пусть (Ез) — семейство полей, принадлежащих множеству й", Š— их пересечение, Р— подполе К ([) Е1). Тогда у(Е)— подгруппа в группе Г, порожденная обьединением подгрупп у(Е1), а д(Р) совпадает с пересечением подгрупп у(Р1).
Слкдствик 2. Пусть Ь вЂ” нормальный делитель еруппы Г; тогда поле инвариантов л(Л) группы Ь является расширением Галуа поля К. Этот результат сразу следует из предложения 4. Слкдствик 3. Для того чтобы промежуточные поля Е1 и Ег были линейно разделены над К, необходимо и достаточно, чтобъ1 выполнялось равенство (Г:(у(Е,) Пд(Ег))) =(Г: д(Е1)) (Г: у(Е,)). Действительно, если положить Е=К(Е1[)Ег), то это равенство эквивалентно следующему: [Е К! [Е1 К! [Ег К! являющемуся критерием линейной разделенности (~ 2, предложение 4). Следствие 2 из теоремы 1, кроме того, допускает для расширений Галуа конечной степени следующее обращение: 174 гл.
ч, 1з поля Пгвдложвнив 7. Пусть 1Ч вЂ” конечное расширение Галуа поля К. Если группа Галуа Г поля Х является прямым произведением двух своих подгрупп Г, и Гз, то поля инвариантов Е, и Ег групп Гз и Г, соответственно являются расширениями Галуа поля К, линейно разделенными над К и К(Е,()Ег)=Л. В самом деле, так как подгруппы Г, и Г, являются нормальными делителями в Г (гл. 1, $ 6, предложение 6), поля Е, и Ез являются расширениями Галуа поля К (следствие 2 теоремы 3), группы Галуа которых соответственно изоморфны группам Гз и Г, (предложение 4); поскольку группа Г порождается группами Г, и Г„а пересечение Г,ДГг сводится к единице, то Е,ПЕг=К и )ч'=К(Е1()Ег) (следствие 1 теоремы 3); следовательно, Е, и Ез линейно разделены над К (теорема 1). Пгкдложвнив 8. Если Š— конечное алгебраическое свпарабвльнос расширение конечной степени поля К, то существует лишь конечное число полей, лежащих между К и Е.
В самом деле, нормальное расширение Х поля К, порожденное множеством Е, является расширением Галуа (предложение 6) конечной степени над К Я 6, следствие 1 предложения 9); из теоремы 3 следует, что существует лишь конечное число полей, лежащих между К и Х, а значит, между К и Е. Обращение этого предложения неверно (упражнение 6). 6. Норма и след в алгебраических.
сепарабельных расширениях. Опгкделкние 2. Пусть Š— алгебраическое сепарабглънов расширение поля К, имеющее конечную степень и над К; пусть с~ (1 <1 < и) различных К-изоморфизмов поля Е в алгебраическое замыкание поля К (1 7, предложение 8). Для каждого элемента х ~ Е назовем нормой и следом элемента х относительно полей Е и К и обозначим соответственно через Хкук(х) и Тгвгк(х) (или просто г(к(х) и Тгв(х), или даже через Х(х) и Тг(х), если не будет возникать недоразумений) элементы Як~к(х)=о1(х) ог(х) ... о„(х), Тгвгк(х)=о,(х)+н,(х)+... +о„(х). (2) РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА Из этого определения немедленно следует, что р(я!к (ху) =)(и!к (х) ~Рук (у)* (6) Тгя!и (х+ у) = Тек!к (х)+ Тгягк (у). (4) Элементы Хкгк(х) и Тгкгк(у) принадлежат полю К: в самом деле, нормальное расширение С поля К, порожденное множеством Е, является расширением Галуа (предложение 6) и имеет конечную степень над К (у 6, следствие 1 предложения 9), и для каждого К-автоь орфизма т поля се все К-изоморфизмы та! поля Е различны, поэтому с точностью до порядка совпадают с изоморфизмами о!., отсюда т (Хя1к (х)) = Хя!к (х) и т (Тгя!к (х)) = Тгк!к (х), что докааывает наше утверждение (онределение 1).
Можно, следовательно, говорить, что отображение хьТг !к(х) является представлением аддитивной группы ноля Е в аддитивную группу поля К, а отображение х»Хк1к(х), рассматриваемое на мультипликативной группе Е' отличяых от нуля элементов поля Е, является представлением атой группы в мультипликативную группу К' поля К. В частности, Тг( — х) = — Тг(х), и если х Ф О, то Х(х) Ф О и Х(1!х)=1!Х(х), Для каждого х~К Тгк!к(х) =пх и Як!к(х) = х'. 3 а м е ч а я и з. Если Š— расширение Галуа поля К, то а! являются злемзнтами группы Галуа Г поля Е, и можно считать, что отображение хе-Тг(х) есть умножение на оператор а,+аз-)-... ,-)-о„иа групповой алгебры А группы Г над кольцом и целых » рациональных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
