Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Так как ОЕ1 (О~ (ОЗ (Х))) = 7'(О, (Х),..., ан(Х)), тЕОРЕМа 4 ПОКаЗЫВаЕт, Чта существует такой элемент хай, что аз(аз(х)) ча О, следовательно (предложение 13), сопряженные с х элементы образуют нормальный базис поля )У над К. Можно показать, что теорема 5 распространяется яа случай, когда К конечное поле (гл. ч'П, 1 5, а' 7). 181 РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 9. Нори льньве несепарабельнне расмгнрення Пэедложение 14. Пусть К вЂ” поле характеристической вкспонгнты р, П вЂ” алгебраическое замыкание полн К, Ж вЂ” нормальное расширение поля К, содержащееся в П, % — поле инвариантоа группы К-автоморфизмог поля Ю, Л(г — наибольшее сгпарабгльног расширение поля К, содержащееся в Ж.
Тогда: а) У вЂ” наибольшее радикальное расширение, содержащееся в Ж, другими слоОО вами, Ж=Л П КР; б) Л'г — расширение Галуа поля К, линейно разде,генное с У над .К, и каждый К-автгморфизм поля Уг гдинслввгнным образом продолжается до К-автоморфизма поля Л; в) Л(=К(Л(г Ц Л') (рис. 4). Я вЂ” у 1 1 К вЂ” Л' Рзс. 4. Каждый элемент поля Л', радикальный над К, можно перевести в другой элемент некоторым К-азтоморфизмом поля" И, ограничение которого, на поле й является К-автоморфизмом СО поля Ф; следовательно, Ж=Ж П К" Если х~Л' сепарабелен над К, то все сопряженные с ним над полем К элементы также сепарабельпы (1 7, следствие 1, предложение 9) и, следовательно, принадлежат полю Л'г.
Это показывает, что йг нормально, и поэтому (предложение 1) является расширением Галуа поля .К. Поскольку йг линейно разделено с полем КР (1 8, предложение 3), оно тем более разделено с полем Л. С другой стороны„Л' является радикальным расширением поля (в'г (1 8, следствие предложения 7), и следовательно (~ 6, предложение 7), каждый К-автоморфизм поля Л~г однозначно продолжается до К-автоморфизма поля й. Но поле М является расширением Галуа поля У по определению (определение 1) и каждый К-автоморфизм поля й является Л7-автовюрфизмом.
Покажем, наконец, что %=К(Л'г () Л'). Можно ограничиться случаевд когда У имеет конечную степень над К. В самом деле, 182 гл. т, 1 40 поля пусть х — какой-нибудь элемент из Х; тогда нормальное расширение М, порожденное множеством К(х), имеет конечную степень иад К ($ 6, следствие 1, предложение 9).
Пусть М, (соответственно М) — наибольшее сепарабельное (соответственно радигсальное) расширение поля К, содержащееся в М; если мы докажем, что х Е К (Ме () М), тогда х ~ К (Хо () Л ), поскольку Мы можем считать поэтому, что степень (Л': К) конечна. В силу б) группы Галуа полей Л'о над К и )т' над Лг ивоморфны, поэтому [Лго: К) =(Лг: Ж) (теорема 3) и следовательно, Лг= К (Л о () Лг) Я 2, предложение 4). Упражнения. *)) Пусть Π— некоторое тело (не обязательно «олмутативное), 5 — группа автоморфизмов тела Я, Л вЂ” поле иннариантов группы $.
Пусть Л' — такое подтело в О, что о(Л)=-Л' для каждого автоморфнзма об э. Показать, что расширение Л' сепарабельно П б, упражнение 2) над полем К=Л' () А; пусть (аь) — семейство элементов иэ Ь, линейно независимых (слева) над К; показать, что они также линейно аезависимы над Ж, рассматривая первичное соотношение моя<ау элементами аь с коэффициентами из У; вывести отсюда, что каждое линейно независимое (справа) семейство элементов (Ьэ) из )т линейно независимо (справа) над Ь).
2) Пусть Уэ н )тз — два расширения Галуа поля К, Ло — их пересечение, Л' — поле К(Л', () )тз). Обозначим через Г„Гз и Г группы нолей Л'о )Гз и Л', соответственно над полем К, а через Л, и Лев группы полей )т'1 и Л' яад полем )то. Каждому классу от по модулю Лэ в Г, соответствует класс от по модулю Лз н группе Гз, состоящий из автоморфизмов из Гз, ограничение которых на поле )то совпадает с ограничением на Л'с всех автоморфизмов, принадлежащих классу ом Определенное таким образом соответствие является изоморфизмом ~р групп Г,/Лэ и Гз/Лз. Показать, что группа Г изоморфна подгруппе О произведения групп Г1х Гз, состоящей из таких пар (оь оз), что ос и оз являются соответствующими при нзоморфнзме е классами в Г, и Гз, т. е. оз=-~р(о1) (используйте теорему т).
3) Пусть ) — многочлен кольца К(Х), имеющий лишь простые корни в алгебраическом замыкании поля К. Для того чтобы группа Галуа полн корней многочлена Г' была транзитнвной (когда она рассматривается как группа подстаяовок корней многочлена г), необходимо и достаточно, чтобы мяогочлон г' был неприводим. 4) Пусть / — неприводимый сепарабельный мяогочлен из К (Х) и à †груп Галуа над К поля корней многочлена Л рассматриваемая как транзнтизная группа перестановок корней многочлена ) г83 РАСШИРБНИЯ ГАЛУА Поназать, что для того, чтобы поле К(яз), получаемое присоединением к полю К одного иа корней многочлена 1', содержало подполе Е~К, Отличное от К и К(лз), необходимо и достаточно, чтобы группа Г была импрпмитивной (гл. 1, $ 7, и' 7). .
5) Пусть 1 — непрпводкмый и сепарабельный многочлен из К(х) степени л, аз (1 <1 < а) — его корни, К=К(ап аз,, а ) — его поле корней. Пусть Š— поле рациональных дробей )т" (Х„..., Х„), Š— подполе К(Х„..., Х„)~ Р. Поле Р является расширением Галуа поля Е, группа Галуа которого изоморфна группе Галуа Г поля ЛГ дад К. Показать, что если 8=«гХз+агХг+... +«„Х„, то Е=Е (6), и что минимальный над Г многочлен элемента'8 является некоторым неприводимым множителем лз многочлена У (Х) =П (Х вЂ” «гХя < о «гХн (г> ° ° ° «аХн (м), где н пробегает симметрическую группу Я„. Каждая подстаяовка н определяет К-автоморфизм полн Е, который мы также обозначим через н, такой, что я(Х;)=Х„,п (1 <1<а). Показать, что группа Г иэоморфна подгруппе группы ба, обравованной такими подстановками и, что п(У,)=рпз Далее, пУсть )=д,лг...
Рт — Рааложение 1 на неприводимые множители в кольце Е(Х);чпоказать, что для каждого индекса й существует такая подстановка на б ю, что ЯА (Ю~) =ь"А *6) Пусть К вЂ” несовершенное поле характеристики р)0, и пусть Š— алгебраическое расширение конечной степени поля К. а) Показать, что если степень несовершенности поля Е над К (1 8, упражкенне 1) болыпе 1, то (существует бесконечно много различных полей Е, лезкащих между Е и К (свести к случаю, когда К(ГР)=-К; пусть а и 5 — два р-независимых над К элементов полн Е, тогда все поля К(а+ХЬ) различны, когда Х пробегает К).' б) Обратно, показать„'что если степень несовершенности поля Е над К равна 1, то существует лишь конечное число полей, лежащих между Е и К (нспользовать упражнение 4, $8 и предложения 8, 10).
7) Пусть )У вЂ” расширение Галуа полн'К, группа Галуа1 Г котоРого изомоРфна симметРической гРУппе |Ре,) с котоРой'она и отождествляется (см. Приложение 1, предложение 2). Пусть л — целое непростое число. Обозначньг через Ь, подгруппу группы Я„порядка (л — 1)1, оставляющую на мосте число 1, а через Лг — циклическую подгруппу порядка л в Са, порожденную циклом) (1, 2, 3, ...) (гл. 1, з 7, упражнение 6). Пусть Ез и Ег — поля ннвариантов подгрупп Ьг и Ьг группы Г. Показатто что Е, и Гг линейно', разделены над К н что не существует поля, лежащего между Е, и К, отличного от этих двух полей, хотя существуют поля, лежащие между Л' и Ег, отличные от Лг и Ег.
поля гл,ч, з(О 8) Пусть .Š— сепарабельное расширение поля К, имеющее над К конечную степень, Л' — расширение Галуа поля К, порожденное множеством Е, а — элемент из )У, все сопряженные элемеятм которого составляют нормальный базис поля )у над К. Пусть р=Тггчл(а); покааать, что Е=К(()). 9) Пусть Е и Р— дза расширения Галуа полн К, имеющие над К конечную степеяь и такие, что Е Д Р=К; пусть а (соответ- ственно Р) — элемент из Е (соответственно Р), все сопряженные над К элементм которого образуют нормальный базис поля Е (соот- ветственно Р) над К. Показать, что в поле К(Е ЦР) все сопря- женные с ар над К элементы образуют над К нормальный базис.
е)0) Пусть К вЂ по характеристики р чь 2 и К=К (х) †по рациональных дробей от одного переменного над К. Пусть и и т — инволютнвные К-автоморфизмы полл Е, которые каждой рацио- нальяой дроби у(Х) ставят в соответствие Г'( — Х) и )(1 — Х) соот- ветственно, а) Показать, что полями внвариантов этих автоморфизмов и и т являются соответственно К(Хз) и К(Хз — Х) (см.
теорему 3 и з 5, упражнение 5); б) если р=О, то группа, порожденнан о и т, бесконечна. Отсюда следует, что К(Хз) Д К(Хз — Х)=К. Если же р)2, то К(Хз) Д Д К(Хз — Х)=К(Хз(Хэ 1 — ()з) (тем же методом, что и в случае а)). И) Пусть Š— алгебраическое расширение поля К характери- стики рьО, Ео — наибольшее сепарабельное расширение поля К, содержащееся в Е, Е=К Д Кв — наибольшее радикальное рас- ширение поли К, содержащееся в Е. Если Л вЂ” нормальное расши- рение полн К, порожденное множеством Е, то наибольшее сепа- рабельное расширение полн К, содержащееся в У, совпадает с рас- ширением Галуа Уе поля К, порожденное полем Ео. Для того чтобы 00 поле У=У () Кг совпадало с Е, необходимо и достаточно, что- бы Е было сепарабельно над Е.
т2) Пусть Š†некотор алгебраическое расширение полн К, à †груп К-автоморфизмов поля Е, Я вЂ по иввариавтов груп- пы Г. а) Чтобы Е было нормальнмм над К, необходимо и достаточно, чтобы Я было радикально над К; б) пусть Бо — наибольшее сепарабельное расширение полн К, содержащееся в К.
Показать, что Юо — яаименынее среди полей Р, лежащих между К и Е, таких, что Е является нормальным рас- ширением пошг Р; в) пусть Ео — наибольшее сепарабельиое расширение поля К, содержащоеся в Е. Показать, что Е=З(Ео) (заметить, что ника- кой К-автоморфизм поли Е, отличный от тождественного, не остав- ляет иивариантными все элементы из Я(Ке)). кОРни из единицы.
конечные поля $11. Корни из единицы. Конечные поля. Циклические расширения 1. Хйорни из единицье Опгвдклкиик 1. Элемент х поля К называется корне.я из единицы, если суи1ествует целое полоясителъное число и, для которого х"=1. Всякий зл мент х, для которого х"=1, нагывается корнем и-й степени из единицы. То же можно выразить, сказав, что корни иа единицы — это элементы конечного порядка мультнпликативной группы К* ненулевых элементов поля К (гл. 1, 1 6, п' 7).
Корни из единицы образуют подгруппу Б(К) группы К", а корни и-й степени из единицы — подгруппу группы Я(К). Пусть задан некоторый корень и-й степени х из единицы, тогда множество целых рациональных чисеч т, для которых х™=1, является прообразоы единичного элемента 1 при представлении Ь вЂ” +хь аддитивной группы Е в мультипликативную группу К*. Следовательно, это множество является подгруппой пЯ группы Я, где и — наименьшее из положительных целых чисел т, для которых х"'=1, то есть порядок (гл.
1, $ 6, и' 7) элемента х в группе К*. Пусть р — характеристика поля К. Если элемент х ~ К является корнем из единицы, то его порядок не делится на р. В самом деле, если р Ф О, то из соотношения х"'я=1, которое можно записать в виде (х™ — 1)з = О Я 1, предложение 1), вытекает, что х"'=1, причем т(тр. Всякий корень и-й степени из единицы в поле К алгебраичен над простым подполем р полл К, так как он является корнем многочлена Х" — 1. В атом параграфе все встречающиеся поля мы будем рассматривать как подполя одного н того же алгебраически замкнутого расширения П поля Р. Если и — целое положительное число, которое не делится на характеристику р поля Р, то любой корень многочлена Х" — 1 прост. Действительно, производная пХ' г этого многочлена обращается в нуль только при нулевом значении х, которое не является корнем многочлена Х" — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
