Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 41
Текст из файла (страница 41)
КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ а) Пусть и — степень Е над К. Для всякого элемента 1бЕ построим элемент вида (1) 1+ .19 ) х1+огог ) х1+а+авгог () х1+а+...4-а" г1а~ поля Е (резольвента Лагранжа — Гильберта). Поскольку и К-автоморфизмов оь(0 <й<п — 1) поля Е линейно независимы ($10, теорема 3), существует элемент гЕЕ, для которого у=и(1) Ф О.
Для этого значения Ф, в силу соотношения хллс (х) = =х1Ч.а+".+оч г+о" ' =1, имеем а=1а+ Хасав+ +Хо+во+...+а -гга" Ь (-1Х 1, откуда хуа=у, х=у'-о. Наоборот, очевидно, что из х=у'-о следуЕт, Чта ХЕ~К (Х) = 1. НаКОНЕц, ИЗ СООтНОШЕНИя у'-о = у1-о вытекает у,у '= (у,у ')о. Следовательно, элемент у1у ' инвариантен при всех К-автоморфизмах поля Е, так что у,у 'ЕК Я 10, определение 1). б) Известно (1 10, предложение 10), что существует элемент ОЕЕ, для которого Тгк~к(о) Ф О. Рассмотрим элемент Я = (хо (о) + (х+ о (х)) о' (о) +...
... + (х+ о (. )+... + о"- ( )) "=' (о)). а-1 Если Тгягк (х)= ~ о" (х) =О, то а=о о(Я) =, (о(х) о'(о)+... +(о (х)+о'(х)+... 1 Тгк,к (а) + оа-а (х)) о"-' (о) — хо), откуда следует, что г — о (г) =- х. Обратно: очевидно, что из равенства х= г — о (г) следует, что Тгк~к(х) = О. Наконеп, из соотношения г — о (г) = г1 — о (г,) вытекает г, — г = о (г, — г). Таким образом, элемент (г,— г) инвариантен при всех К-автоморфизмах поля Е, следовательно, принадлежит полю К. Следствие. Пусть р — простое число, т и и — два произвольных 1гелых положительных числа, д= р". Каждый ненулевой элемент конечного поля ра является нормой некоторого элемента расширения Р поля Ра.
Каждый элемент поля Га а является следом некоторого элемента поля Р~,„ 196 гл. ч,1Н поля Действительно, поле Р, является циклическим расширением поля Р, группа Галуа которого порождается автоморфизмом х — >хе (предложение 5). Найдем порядок подгруппы С (мультнпликативной) группы Р,*, являющейся образом Р; при представлении х — >)У(х). <.' изоморфна факторгруппе группы Р*,„по подгруппе У, состоящей из элементов х, для которых [ч[(х) =1.
Но по теореме 3 подгруппа У является образом группы Р'„, при представлении у — > ув '. Таким образом, группа У изоморфна факторгруппе группы Р*,ь по подгруппе, образованной теми элементами у, для которых у=1. Но эти элементы у являются в точности элементами группы Р~(п' 3). Поэтому группа У имеет порядок, равный (д'" — 1),' (д — 1). Следовательно, группа 6 имеет порядок д — 1, а потому совпадает с Р,*.
Подобным же образом найдем порядок подгруппы Н адднтивной группы Рв, являющейся образом группы Р при отображении х -+ Тг (х). Она изоморфна факторгруппе группы Р по подгруппе У, состоящей из элементов х, для которых Тг(х) = О. По теореме 3 группа У является образом группы Р прн отображении Я 1, предложение 1) г->г — гв. Таким образом, она изоморфна факторгруппе группы Р, по подгруппе, состоящей из элементов г, для которых г =ге, то есть (и 3) по подгруппе Г<в. Порядок группы У равен, таким образом, д ~д, следовательно, порядок группы Н равен д, что доказывает совпадение И с Рв. 6. Цнзслнчеевсне уаеигнреннм и двучленные уравнения Первая часть теоремы 3 позволяет описать простой способ образования некоторых циклических расширений поля К.
Пгвдложзнив 6. Пусть К-поле характеристики р, Е— циклическое расширение полл К, степень и которого не делится на р, и пусть поле К содержит поле корней и-й степени из единицы, В атом случае существует неприводимый много- член ив кольца К [Х) вида Х" — а такой, что поле Е порождастсл произвольным корнем О этого многочлена.
Кроме того, 197 КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. КОНЕЧНЫВ ПОЛЯ ненулевой элемент $ ~Е является корнем многочлена из кольца К (Х) вида Х" — б в том и только в том случае, если З=)«0», где й — целое число, а )> Е К. Более сильное условие Е = К(з) имеет место в том и только в том случае, если числа й и п взаимно просты и А ~ О. Действительно, пусть ь ~ К вЂ” примитивный корень и-й степени из единицы.
Имеем .Мл~к(~) = ь"= 1. Таким образом, существует элемент О ~Е, для которого ь= О' в или, иначе, о(0) =- =ьО. Из этого видно, что о»(0) =ь~О. Следовательно, 0 имеет и различных сопряженных, другими словами, имеет степень и над полем К, откуда Е=К(0). С другой стороны, имеем 1=~»= =(Ов)'-в, то есть о(8")=О". Это доказывает, что 0" еК. Если з ЕЕ и зн=ЬЕ К, то имеем О(з") =$"', откуда (~'-е)"=1. Таким образом, О($)=н>З, где «о — какой-то корень из единицы. Если со=~ "= (8о ')", то получим о(зО ")=зО ", откуда $0 "рК Обратно, если $=)«О», где ) бК и й — целое число, то имеем е"=)«" (Он)»=Х>а ЕК.
Если, кроме того. Е=К(з), то п сопряженных о" (з) =-е>"з (О<А(п — 1) элемента 5 должны быть различными элементами (З 7, и' 7). Но это и означает, что ю является примитивным корнем и-й степени из единицы. Следовательно (лемма 1), числа й и п взаимно просты. Алгебраическое уравнение вида г" — а=О называется «двучленным уравнением>. Пгкдложвнив 6 допускает следующее обращение: Пгвдлонсзнив 7. Пуггп» К вЂ” иоле характеристики р, п — целое число, не кратное р, для ко>порога поле К содерз«сит поле корней п-й степени из единицы в поле 17.
Для любого элемента а~К* иоле корней Е многочлена Х" — а является циклическим расширением поля К, и порождается произвольным корнем многочлепа Х" — а. Степень (Е: К) = с> является делителем числа п и равна наименьшему целому числу г) О, для которого а" является и-й степенью з емента поля К. Действительно, пусть 0 — корень мвогочлена Х" — а.
Для любого другого корня О' этого многочлена имеем (О'70)" =.1. Отсюда О =е>0, где о> — корень п-й степени из единицы, который принадлежит полю К по предположению. Таким образом, О'~К(0), что доказывает равенство Е=-К(8). Поскольку производная пХ" > 108 гл. ч $11 поля мяогочлена Х" — а обращается в нуль лишь при х=-О, все корни многочлена Х" — а просты (за исключением случая а=О. Этот тривиальный случай мы оставляем в стороне). Таким образом ($ ьО, следствие предложения 6), поле Е является расширением Галуа поля К. Пусть à — группа Галуа поля Е над К, с — произвольный элемент группы Г.
Поскольку Е =К (6), задание с (8) определяет с ($6, и'2). Но о(9) является корнем многочлена Х" — а. Следовательно, о (6) = ь,9, где ~, — корень и-й степени иа единицы, вполне определяемый заданием с. Отображение о — + ~, осуществляет взаимно однозначное соответствие между группой Г и подгруппой мультипликативной группы С корней и-й степени из единицы.
Кроме того, оно является иредслзавлснием группы Г в группу С, так как при т6 Г имеем ст(8) =п(т(0)) =с(~,8) = ~,с(0)= ~,~,0, где Итак, видим, что группа Г изоморфна подзрупие группы С. Поскольку С вЂ циклическ группа порядка п (теорема Ц, то à †циклическ группа, порядок и' которой делит п. Положим и = с(й. Из соотношений а (6) = („9 для и Р Г вытекает, что Хя7к(0)=)ьОо, где )ь6К„откуда 0 =Ь6К.
Следовательно, имеем а=О" = Ь", откуда а = Ъкь= Ь". Если бы существовало число г«с(, для которого а'=с", где сбК, то из соотношения 9"=а следовало бы, что 9га =с", откуда 6"=шс, где аз †коре п-й степени из единицы. Таким образом, элемент 0 был бы корнем мпогочлена Х" — юс из кольца К (Х), в противоречии с тем, что 0 имеет степень Ы над полем К. Если поле К яе содержит поле корней л-й степеак кз единицы, то предложекия 6 и 7 перестают быть верными (см. упражяеаке 7 к 3 б, упражяекие 7). У яр аж яеякя.
1) а) Докааать, что поле 77„(Рч) коряей и-й степени кз едиккцы в алгебраическом замыкании кояечкого поля Еч (и ке кратно характерксткке р поля Рч) совпадает с полем Р „„ где ж — аакмеяьшее кз целых чксел, для которых еж †кратно и. Вмвестк из этого.
что мяогочлея Ф„ яепрвводим в кольце Рч(Х) в том к только в том случае, если класс, содержащий Ч, в группе обраткммх элемеятов кольца Я/(а) кмеет порядок, равный е(в). 199 КОРНИ ИЗ ЕДИНИНЫ. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ б) Вывести иа а), что для каждого простого числа р, не,являющегося делителем 12, многочлен Фгз (Х) приводим в каждом из колея Рр [Х[. В этом случае Рр содержит всегда корни 12-й степени иа единицы, отличные от нее самой.
в) Докааать, что поле Рз не содержит ни одного корня 13-й степени из единицы, отличного от 1. По степень поля В,з(рз) над Рз равна 3, что меньше, чем ~р(13)=12. г) Пустьа=р™, доказать, что вкольце Рз[Х[многочлен Хз — Х равен произведению всех увитаряых неприводимых многочленов, степени которых делят а (исяользовать предложение 3). Пусть Ь| (1(1" г) — рааличные простые делители числа я. Доказать, что число элементов ~бР „, для которых Р „=Рз(ь), равно ч" з С~ ~г ( ~ч~~~д ~1 ~ гтл ) [( 1)га гз г л лл ° л.л л лл ..л г 1(1 1(1(л (Заметить, что такой элемент характериауется свойством не принадлежать ни к какому из полей вида Р „.) Доказать, что л, а га ~т г(т(йз т г з''' г л л л ...л $ Рааобрать случай, где я — степень некоторого яростого числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
