Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Заметим, что предыдущие рассмотренна позволяют определить симметрические многочлены в любой алгебре 'многочленов Л [Хы Х,,, Х„) над лрвнавольным коммутатнзным кольцом с еднннцей. З. Формула ггьтопсотса Мы поставим себе целью получить рекуррентные формулы (вформулы Ньютонаь), позволяющие вычислять выражения симметрических многочленов р,(Х„Х„..., Х„)=Х,+Х,+... +Х„(Й> 0) ь, ь,, ь в виде многочленов от в„вю ..., в„.
ПРедлОжение 4. Имеем Рь — Рь-1вс+Рь-ьвз-[- .. +( — 1)' 'Резь-1+ ( — 1)" Йгл=О (1) для 1<й<п и Рь Рь-1лс+ ° ° ° +( — 1) 1 Рь-пывл-1+( — 1)" рь-„в„= О (2) для Й>п. Первое доеаза ельство. Пусть у (У) = (Я вЂ” Х ) (Я вЂ” Х ) ., ...(ю — Х„) (в кольце Л'[ю[, где 11' = К (Х„ ..., Х„)); тогда Р [г) 1(г) =хл Х Х1 209 симмвтгичвскнв Рлцнонлльныв дгови Но разлоясение 1/(Я вЂ” Х,) в формальный степенной ряд по 1Я (гл. 1У, $ 5, предложение 5) имеет вид — + —,— + —,+...
+ Хь. + „, ... Следовательно, уравнение (3) записывается в виде — = — + — — + — — + ° ° + ! (х) » Рз Рз Рь 1(х) я хз хз +.. или, умножая обе части на Р(Я)/Я", п — (п — 1)' — "+(п — 2) Д-+... + ( — 1)" "— ',",'- = *+ ° [...+( )-"')(п+Р+...+ у+...-). ( »1 ЗЗ» *» ~( Р1 РЬ (4) Достаточно теперь сравнить козффнпиенты при 1Яь в двух частях равенства (4), чтобы получить формулы (1) н (2). Второе доказательство. Из соотношений Хз — з,Х; +ззХз +...
+( — 1)" 'з»-1Х.+( — 1)" з»=0 для 1(((п следует при й>и ХА Хь — ! [ [ ( 1)»-1 Хз — »+1 +( — 1)" з„Х~~ "=0 (1<1(и). Складывая эти п соотношений, мы получим тождество (2). Для доказательства соотношения (1) мы используем следующую лемму: Лвммь. Пусть К вЂ” поле, ~ — однородный многочлен степени д<п из кольца К[Х„Хз, ..., Х»).
Если многочлен Р образцаетсл в нуль при подстановке нуля в произвольные п — д из и переменных Х~(1(З(п), то Р=О. Действительно, если ~ Ф О, то 1 является суммой ненулевых ч„ 1» членов вида аХ[1'... Х~~, где ть>1 при 1<й<т и чччь=д. ь=~ Это доказывает, что т< д. Подставив нуль вместо тех злементов Хь индексы которых отличны от индексов [ю злементов, входящих в один из зтих членов, мы получим, таким образом, ненулевой многочлен, что противоречит предположению.
14 н. Бтос»ки 210 ПРИЛОЖЕНИЕ ! К ГЛАНЕ Ч Доказав лемму, рассмотрим симметрический многочлен ((х„..., х„)= = Рь Ра-тв!+ Ра-гвг т ° ° + ( — 1)' Р!ва-г+( — 1) йва для некоторого индекса Й(п. Это однородный мпогочлен степени Й. Далее 1(х„..., х„о, ..., о)= = Рь — Ра-гв! + ° ° ° + ( — 1) ! Р!га-г+ ( — 1) ?свь где (х„..., х, о, ..., о) р'; = рт (Х„..., Ха, О, ..., 0) = ч~~ Х;'. Поскольку г! — элементарная симметрическая функция степени ?' от Х„Хг, ..., Хы нз формулы (1) (доказанной выше) для и=й вытекает, что ?(Х!, ..., Хю О, ..., 0)=0.
Так как ? — симметрический многочлеп, он обращается в нуль при подстановкенулявпроизвольные и — ?с из и переменных Х;(1<!<к), откуда, применяя лемму, получим ?=О. Следствие. А?усть К вЂ” поле характериапики нуль, (а!)ги;.„ и ф!)гы! „— два семейства иг и глелгентов поля К, для которых ~~ а! = ч~~ ()г, где 1~ (?с~ (и. При этих условиях существует г-! г=! перестановка и множества (1, и), для которой ()!=а„(е, где 1<!<к. Действительно, формулы (1) доказывают индукцпей по ?с, что вь(а! а )=вьф!..., (1„) (деленне на произвольное целое число возможно в силу предполонсений относительно поля .К). е Следовательно, многочлепы Ц(Х вЂ” а!) и И(Х вЂ” р!) совпадают.
г=! 4=1 У п р а ж н е н и я. !) Пусть Х вЂ” проиавольное поле, ?Ч =-Х (Х!, ... ..., Х„) — поле рациональных дробей от в переменных над нолем К, Š— подполе поля К, обрааоваяяое снмметричесними рациональными дробями. Доказать, что элемент Ха(! < я < и) имеет степень в — а+! над полем Л (Хг, ..., Хь !). Наной многочлеп играет роль его минимального многочлена над этим полем? Вывести отсюда, 2И СИММЕТРИЧЕСКИЕ РАЦИОНАЛЪНЫЕ ДРОБИ что многочлеы / из кольца К [2„ 22,, , ЯА[ степени ( и — й откосительио каждого па ХЕ дли которого /(Х„Х2, ..., Ха)=О, являетси нулевым. 2) Пусть / — симметрический мвогочлев иа кольца К [Х(,..., Х„[, (р — единственный мвогочлеы из кольца К [У(, „Уи[, для которого /(Х,, Хи)=ер(е„..., еа). Доказать, что полыав степень мвогочлеыа ф равна степени мвогочлеыа / отыосительыо произвольной из перемеыыых Хь 3) В обозначениях предложения 4 положим к/=( — 1)гаге/(1( </<и).
Докааать', что "1 ге Ьа Ра Х аагь ...А„К( аг . К где сУммиРование ведетсЯ по всем системам (А„..., /(и) веотРицательных целых чисел, для которых )((+2»2+... +и)(и=й. Коэффициент аь ь а равен и ° й ()(2+)(2+ ° +)( 1)) )((( ьг ° )'и) (Разложить /' (е,)//(Я) в формальный рыд по степеням 1/2, записав /(Я)=Я" — «(2) и разложив сначала 1// в рвд по степеням и/2".) 4) Пусть К вЂ” поле характеристики нуль. Пусть а,(1((л,и) — и злемеытов из полы К, для которых а(+аз+...+а„=О при и а а ь последовательных значениях Ь, й+1, ..., й+ и — 1 индекса й. Доказать, что в атом случае а(=аз=... =а„=О. Покааать ыа примере, что зто уже ыа так, если и зыачеыий индекса й ые является последовательыыми числами или если поле К имеет характеристику, отличную от куля.
»3) Пусть К вЂ произвольн поле, / — рациональвая дробь из поля К (Х(, ..., Х„, У(, ..., У„). Обозыачим символом о/ (а †любая перестановка из ба) рациональную дробь о/(Х(, ..., Х„, У(, ..., Уи) = =/(Хе(()' ° . Хе(»)' Уе(()' ' Уе(»)) Говорят, что / †симметрическ рациоаальыая дробь относительно пар (Х), У;), если о/=/ при любых о б би.
а) Для любого злемеыта т=(»(, ..., Аи )(( ° е ра) из )тт" и любой перестановки о бб„положим о- (т)=(Л. ((), ..., Ао(.) ро(П, ..., Ре(„)). Группу юи, тем самым, можыо рассматривать в качестве группы операторов в )ут» (гл. 1, 1 7, в' 3). Пусть т — произвольный класс 14» ПРИЛОЖВНИБ 1 К РЛАВИ Р интраязитивностя группы ю„в №". Обозначим символом и сямметрическяй мяогочлен Х! Хьз Х'зун у ко Х з ! ''' н где ()!! ". Ха )з! " ре) пробегает множество у. Доказать, что !многочлены ит образуют базис (над полем К) векторного пространства симметрических многочленов относительно пар (Хв У!).
б) Предположим, что характеристика поля К равна нулю. Доказать, что любой многочлен ит равен яекоторому многочлену с рациональными коэффяциеатамн относительно симметрических функций ~аз= Х Х!У з=! (Вести доказательство вндукцией по числу н~з (),!, р!), отличных от (О, 0) в строке т=(21, ..., )„, Р1, ..., ре). ! ассмотреть произведения итотю) в) Элементарньззи снмметричоскимн функциями от (Х!, У!) будем называть н(а+3)!2 многочленов вида мал=от, соответствующих классам интраяавтввности у элементов (йы ..., ьз р!..
Рз) отлвчаых от (О, ..., 0) и для которых Ь пар имеют вид (ьн р;) (1, 0), й других пар — (О, 1), а я — й — )! остальных — (О, О). Доказать (при условии, что характеристика поля К равна пулю), что любой симметрический многочлея относительно (Хн У;) равен некоторому многочлену с коэффициентами в поле К относительно элементарных з симметрических функций. (Рассмотреть суммы вида ~~ (УХ!+РУ!)а, 1=! где бг н У вЂ” две переменные. Использовать б).) г) Пусть К вЂ” поле характеристики 3 и а) 4, дояааать, что мвогочлен ~Ч~~ Х1У! не равен никакому многочлеву с коэффициент=! тами из поля К относительно симметрических функций ыьь.
ПРИЛОЖЕНИЕ П К ГЛАВЕ ч' РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА БЕСКОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ 1. Топологпчесная группа ГалЛа Пусть К вЂ” поле, Л' — расширение Галуа поля К, à — группе Галуа поля Х над полем К. Если )ч' — расширение бесконечной степени над полем К, то уже ке существует взаимно однозначного соответствия между подгруппами группы Г и промежуточными полямн между полями К и А'. Точнее говоря, может существовать подгруппа А группы Г, отличная от Г, но имеющая в качестве поля инвариантов то же, что и у Г поле К (упражнение $). Все же следующее предложение справедливо. Пгкдложкнив $. Пусть Х вЂ” расширение Галуа поля К, Г— группа Галуа поля Х над К, А †подгруп группа Г, поле инвариантое которой совпадает с полем К.
Для любого подрасширения Ь поля Л', являющегося расширением Галуа поля К и имеющего над ним конечную степень, любой К-автоморфивм поля Ь является ограничением автоморфивма, принадлежащего группе А. Действительно, ограничения на Г автоморфизмов о Е А образуют некоторую группу К-автоморфнзмов поля Х, (у 6, предложение 6), поле ипварнантов которой совпадает с полем К.
Поскольку поле Л имеет конечную степень над полем К, ага группа совпадает с группой Галуа поля Ь над полем К ($ 10, теорема 2). Мы сейчас переформулируем результат предложения 1 на топологическом языке. Для любого подрасширения Г. поля Лl, являющегося расширением Галуа и имеющего конечную степень 214 пРилОжение 11 к гллве т вад полем К, пусть у(Ъ) †груп Галуа поля Х над полем Ь (подгруппа группы Г, образованная из автоморфизмов с р Г, оставляющих инвариантным каждый элемент поля Ь). Множества д(Ь) образуют базис фильтра на Г, ибо для двух расширений Галуа Ь и 111 поля К, содержащихся в 1У и имеющих конечные степеви, К(ЩМ) является расширениел1 Галуа конечной степени над полем К (З 10, предложение 5).
С другой стороны, подгруппы у(1) являются нормальными делителями в группе Г Я 10, предложение 4), Таким образом, они определяют на Г топологию, согласованную со структурой группы Г. В этой топологии они образуют фундаментальную систему окрестностей единичного элемента з (Общ. топал., гл. И1, $ 1, п' 2). В дальнейшем, рассматривая группу Галуа некоторого расширения Галуа произвольного поля К, мы всегда будем подразумевать (если не оговорено противное), что эта группа наделена выше определенной топологией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
