Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Леонардо Пнаанскнй, главный проводник арабской науки в Европе ХП1 века, во всяком случае, уже сознает, что иррациональности, раскласснфицированные Евклидом в его десятой книге, не годятся для этой цели (новое доказательство невозможности в теории, которая иао- ») Например, принадлежащий Архимеду метод приближенного вычисления чвсла л требует знания ряда квадратных корней с довольно большой точностью. Мы не зяаем, однако, каким способом Арх>шед вычислял зти корни, Метод вычисления )>'2, доставляющий разложение этого числа в «непрерывную дробь», известен нам (в геометрической форме) пз текста Теона Смирнейского (11 в. н, з.); возможно, что он восходит к ранним пифагорейцам. Тот способ отыскания приближений к квадратным корням, который и в наши дви преподается в средней школе, аасвидетельстеован впервые у Теона Александрийского (1У в.
н. э.), хотя, несомненно, он был известен уже Птоломею. Отметим, наконец, что у Герона (около 100 г. н. э.) можно найти приближенное вь>чвслеяие одного кубического корня (ср. С. Е и с з Ь г о ш, ВВ>1. Майк (3), И )>!11, 412 (1907)). л'— «") Пррациональность числа )> а, где а — целое число, ке являющееся точной в-й степенью, впервые отмечена и докааака Штифелем (ХУ! век). Впрочем, его доказательство снопировано с докааательства Евклида при и = = 2, к представляется довольно маловероятным, чтобы такое нетрудное обобщение не было замечено раньше, ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ «У я У 223 бплует ими).
Он пытается провести аналогичные вычисления с кубическими корнями и получает соотношения типа )УГ6+ )У 55 = )) 250, подобные формулам Евклида для квадратных корней (впрочем, более ранние примеры таких тождеств засвидетельствованы у арабов). Все же пройдут еще три века бесплодных попыток, пока Сципион дель Ферре в начале ХЧ1 века не придет, наконец, к формуле решения уравнения х' + ах = Ь: Не нам описывать здесь красочную историю этого сенсационного открытия — ссоры, вызванные»ш между Тартальей с одной стороны н Кардако и его школой с другой, илк набрасывать портреты, порой весьма пратягательные, ученых, оказавшихся в атом споре противниками. Но мы должны отметить решительные продвижения в теории уравнений, достигнутые Кардано и его учениками вследствие этого открытия. Так, Кардано, пользовавшийся отрицательными числами охотнее, чем большинство его современников, замечает, что у кубических многочленов может быть три корня, а у биквадратных — четыре ((Н1), т.
1Ч, стр. 259). Он отмечает, кроме того, что сумма трех корней уравнения х» + Ьх = ах» + с (у которого, впрочем, член с х» уже умели уничтожать) всегда равна а (там »ке). Несомненно, руководствуясь этны соотношением и своей общей интуицией, он приходит к первоначальной идее о кратности корня. Он осмеливается даже (не без ораторских предостережений) производить формальные выкладки с выра»кениямв, в которые входят квадратные корни из отрицательных чисел. Кажется правдоподобным, что к этому его привело естественное появление таких выражений в формуле (1) при ( — ) +~ — ) (0 (так (,2) (.3) называемый «случай неприводнмостк», в котором, как понял Кардано, уравнение имеет трн вещественных корня).
Это обстоятельство, во всяком случае, с очевидностью проявлается у его ученика Р. Бомбеллн, который в своей «Алгебре» ((1Ч), стр. 293) докааывает соотношение Ь' 2+)д — 121=2+Р— 1 и заботится о том, чтобы дать правила действий над комплексными числами в явном виде, уже весьма близком к современнььч изложениям "). *) Бомбелли ((1Ч), стр. 169 и 190) рассматривает комплексные числа как «линейнме комбинации» с вещественными коэффициентами четырех базисных алементов: «р!я» (+1), «алело» ( — 1), «р1п бе шепа» (+1) и «шева 61 шепа» ( — »). В частности, он формулирует аксиому, согласно которой «р1п» и «р!и «)е шепа» «не складываются» — первое появление понятия линейкой независимости.
224 ИСТОРИЧЕСКИИ ОЧЕРК К ГЛАВАМ !Ч в Ч Наконец, в 1545 году другому ученику Кардано, Л. Феррари, удается решить общее уравнение четвертой степени с помощью вспомогательного кубического уравнения *). Период, последовавший за эпохой столь быстрого прогресса и продлившийся вплоть до середины ХЧ111 века, отмечен лишь развитием новых идей, введенных итальянской к«колой. Благодаря существенным усовершенствованиям, внесенным в систему алгебраических обозначений, Визга смог установить общие соотношения между коэффициентами и корнямн любого алгебраического уравнения по крайней мере в случае, когда все корни положительны «») ((Ч), стр.
158). Более решитечьный А. Жирар, не колеблясь, утверждает (разумеется, без доказательства), что у возного уравнения степени в имеется в точности в корней, если считать также «невозможные корки», каждый со своей кратностью и что эти корни удовлетворяют соотношениям, данным Виста. Он же впервые получает формулы для сумм одинаковых степеней корней вплоть до четвертой степени. Но творческий дух ХЧН века обращен к иным целям, и Алгебре лшпь перепадает кое-что из новейших открытий Аналитической геометрии и Исчисления бесконечно малых. Так, с методом Декарта проведекил касательных к алгебраическим кривым (ср.
Исторические замечания к Книге 1Ч, гл. 1, 11, 111) связан критерий кратности корня алгебраического уравнения, сформулированный учеником Декарта Гудде ((Ч111), стр. 433 и 507 — 509). Несомненно, что также под влиянием Декарта начинается различение между алгебраическими и трансцендентными функциями, параллельное введенному в его «Геометрии» делению кривых на «геометрические» и «механические» (ср. Исторические замечания к Книге !Ч, гл. 1, 11, 111). Это различение, во всяком случае, становится совершенно явным у Грегори, который в 1667 году пытается даже доказать, что площадь кругового сектора не может быть алгебраической функцией его хорды и радиуса ***). Слово «трансцендентный» принадлежит Лейбницу, который всю жизнь интересовался подобными классификационными вопросами и который *) Приведя первоначальное уравнение к виду х« = ахг + Ьх + с, стараются затем определить число г таким образом, чтобы правая часть уравнения (ха+ г)г = (а + 2г) хг + Ьх + (с + гг) была полным квадратом, что дает для г уравнение третьей степени.
'*) Виста, страстный поклонник античности, систематически избегает использования отрицательных чисел в своих рассуждениях. Это не мешает ему при случае выражать на своем языке соотношения между коэффициентами и корнями, когда некоторые из последних отрицательны. Например, если у уравнения х + Ь = ах есть два положительных корня х«, хз (а ) О, Ь) О), Виета показывает, что хг+ х»+ х«хз = а и х«хз(х, + хт) = Ь ((Ч), стр. 106). *»') 1. С г е 8 о г у, Чета С1гсп11 е1 НурегЬо!ае ()па«)га1пга..., Ра1ач!ае, 1667; ср.
С. Н е 1п г( с Ь, В1Ы. МаВС (3), И Н, 77 — 85 (1901). ИСТОРИЧЕСКИЕ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ГЧ к Ч 225 в 1682 году открыл простое доказательство результата, не дававшегося Грегори, установив, что юя х не является алгебраической фувкцкей от х ((ЧП1), т. Ч, стр. 97 — 98) «). Лейбниц и его друг Чирнгаузен, кроме того, были единственяыми математиками своего времени, еще нвтересовавшкмися проблемой решения алгебраических уравнений «в радикалах».
Мы видим, как в начале своей деятельности Лейбниц изучает «случай яеприводимостн» уравнения третьей степени н убеждается (впрочем, без достаточного доказательства), что в этом случае нельзя избавиться от мнвмых величин в формулах для решений ((1Х), стр. 547 — 564). Тогда же он безуспешно пытается решить в радикалах уравнение пятой стеневн.
Когда позже Чирвгаузен утверждает, что он решил эту проблему, избавнвшксь от всех членов уравнения, кроме двух крайних, с помощью преобразования вида у = Р (х), где 7> — подходящий многочлен четвертой степени, Лейбниц немедленно обнаруживает, что .уравнения, определяющне коэффициенты многочлена р (к), имеют степень )5, н оценивает этот метод как безнадежный ((1Х), стр. 402 — 403). По-видимому, именно нужды нового Аналкаа понемногу восстановили интерес к алгебре. Интегрирование рациональных дробей, осуществленное Лейбницем и Иоганном Бернулли, а также тесно связаяный с этим вопрос о мнимых логарифмах, дают повод длв углубления расчетов с комнлексными числами и приводят к новой постановке вопроса о разложении много- члена на множители первой степени («основная теорема алгебры>) "«).
В начале ХЧП1 века Когес н Муавр сводят решение двучленного уравнения «о — 1 к делению окружности на и равных частей. Длв выражения корней «в радикалах» поэтому оказывается достаточным найти соответствующие формулы для нечетного простого числа и. Муавр замечает, что в этом случае 1 подстановка у = х+ — сводит задачу к решению «в радикалах» некоторого «) Определение «трансцендентных величин» у Лейбница ((ЧП1), т.
Ч, стр. 228; см. также стр. 120) применимо скорее к функциям, чем к числам (то, что ок делает„на современном языке сводится к определению трансцендентных элементов над полем, полученным в результате присоединении данных задачи к полю рациональных чисел). Представляется правдоподобным, однако, что Лейбниц имел довольно четкое понятие о трансцендентных числах (хотя нх точное определение, как будто, было дано ие раньше конца ХЧ1П века). Во всяком случае, Лейбниц в явном виде замечает, что трансцендентная функция может принимать рациональные значения прн рациональных значениях аргумента н, следовательно, что его доказательства трансцендентности функция Мп х еще недостаточно для доказательства иррациональности числа я ((ЧП1), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
