Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 43
Текст из файла (страница 43)
б) Пусть хбК вЂ” элемент, не лежащий.в центре 2. Доказать, что число различных сопряженных елементов узу-г для элемента з в группе Кь равно (д" — 1)/(д" — 1), где с' делит з в отлично от н. (Рассмотреть в К множество элементов, перестановочных с л, и использовать а).) в) Вывести нз б), что т — 1 делится на целое число Фн(д) (разложить группу К* на классы сопряженных элементов и использовать тождество (2).) г) Доказать„что при п) 1 имеем Фн(с) ) (д — 1)тщ) (разложить многочлен Ф„(Х) в иоле комплексных чисел С).
Вывеств отсюда что К=-2, другими словами, что тело К лаклутаншвно. ПРИЛОЖЕНИЕ 1 К ГЛАВК 7 СИММЕТРИЧЕСКИЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ 1. Симметрмчесмие фумлсцим Пусть К вЂ” поле, Л~=-К(ХП Хю ..., Х„) — поле рациональных дробей от и переменных над полем К. Для любой рациональной дроби ~ ~ 1т' и любой перестановки о из симметрической группь1 Я„ определим рациональную дробь о( следующим образом: о~(ХП Хю ..., Х„) =~(Хспн Хь ~2н ..~ Ха(ю) (см.
гл. П1, 1 5, и'1). Очевидно, отображение ~ — ь ог является автоморфизмом поля Л~ (гл. 1У, 1 3, предложение 2). Обозначим его символом ~р,; отображение а — ь ~р, является изоморфизмом группы Я„в группу автоморфизмов поля Х. Впредь мы будем отождествлять группу Я„с ее образом при этом изоморфизме. Симметрической ралиональной дробью или, допуская вольность речи, симметрической функцией от Х~ (1к,'1(п) назовем рациональную дробь 1Е Л, которая инвариантна относителвно группы <Б„(т. е. а~=~ для всех обб ) (см.
гл. ПХ, $ 5, определение 2). Совокупность симметрических функций К является полем инвариантов группы Я„. Таким образом (у 10, теорема 2), Х является расширением Галуа поля К степени и!, группа Галуа которого совпадает с Я„. Очевидно, Ф = К (Х„Хю ..., Х„). Рассмотрим в кольце 1У(Я) многочлен симмктгичвскив РАциОБАльные дрони где га(Х1, Хт,, Х )= ~~ ХИХ;, ...
Х, 11<12< ° ° «1А дЛя 1~(IС<П. ТаК Каи Ь(З)= й(У вЂ” Хо!0), ЛЮбОй ПЕрЕСтаНОВ1=1 КОй О С Яэ МНОГОЧЛЕН Ь НЕ МЕНЯЕТСЯ ПРИ ПРИМЕНЕПНИ О К ЕГО коэффициентам. Иначе говоря, коэффициенты га являются симметрическими функциями от Хь Симметрическую функцию гь нааывают элементарной симметрической функцией степени )с от Х; (1 (1.(п, 1(й(п). Таким образом, гдСЕ для 1()с(п. Сейчас мы увидим, что Е совпадает с полем Е'=К(г„гз,..., г„). Действительно, Л' является полем корней многочлена 115Е'(З).
Так как корни этого многочлена простые, то Л' является расширением Галуа поля Е', его группа Галуа над полем Е' является подгруппой группы Я„(3 10, и' 3). Из включений Е' ~ ь Ес. Л' вытекает, что Е=Е'. Заметим еще, что так как поле Л' алгебраично пад полем Е, Е и )Ч имеют одну и ту же алгебраическую размерность над полем К (3 5, теорема 4). Следовательно (3 5, следствие 1 к теореме 1), элементы г„гз, ..., г„образуют чистый базис поля Е над полем К.
Итак: Пгвдложвнив (. Для каоггдой симметрической рационалю1ой дроби д иг поля К (Х1, Х2, ..., Х„) сутцвствует, и притом единственная рациональная дробь ф иг поля К(Я„Я2, ..., 7, ), для которой е (Х1г Хт> Хз) = ф (г1~ гз~ ° ° ° гл) Пусть ~(Я)=Я" + ~~~ ( — 1)ьадЯ"-" — произвольный уыитаряый Э=1 мпогочтея из кольца К(Л] степени и, Ц вЂ” алгебраическое замыкаяие поля К. Мяогочлея у разлагается в кольце я (я) в произведеяие )((Я вЂ ) мяогочлепов первой степени, яе обязательно раз!=1 личных. В этом случае имеем аз=за(а„..., а„) для ! «.,з .
и. Коли семейство элементов (аь) допускает подстановку в раци- ОяаЛЬпуЮ драбЬ ф(31, ..., Яа), тО СЕМЕйотВО ЭЛЕМЕятОВ (аа)1 допускает подстановку в дробь г(Х1, ..., Х„), причем г(а,, ... ..., а„) =!р(о1, ..., а„) (гл. 1Ч, 1 3, предложение 3). 206 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ Ч Ввиду алгебраической неаависимости над полем К элементом гь из доказательства предложения 1 вытекает Пведложенне 2. Пусть К вЂ” произвольное поле, Уд (1<)с<а~ и-переменных. Многочлен Ь(2)=Я +У1г ~+...
+0„,2+У„ неприводим и сепарабелен над полем Е=К(У„Сг, ..., У„). Поле Ф корней многочлена Ь(2) является расширением Г луа поля Е, группа Галуа которого игоморфна симметрической группе Я„. Кроме того, поле гч' является чисто трансценденгпным расширением поля К. 2. Снмметрнчееггне многочлены Любую симметрическую рациональную дробь КАК (Х„..., Х„г можно записать в виде частного двух симметрических много- членов.
Действительно, пусть у=иФ (и, о — многочлены); положим ю = ( ) (Оо); ю является симметрическим многочленом, оса,. дробь юЬ, есть некоторый многочлен Рп причем д=(ио,)/ю. Из соотношения ио,=гав вытекает, что ио,— симметрический многочлен, поскольку у н ю — симметрические дроби. Таким образом, симметрические многочлены образуют подкольцо Р в поле Е симметрических рациональных дробей; для этого кольца Е является полем отношений. Мы сейчас уточним предложение 1 для симметрических многочленоз.
Рассмотрим симметрический многочлен ~(Х„..., Х.)=ХсмМ, где М пробегает множество ыУ одяочленов от Хи ..., Х„. Из соотношений о) = 1 при каждой перестановке о Е Я„вытекает, что равенство с ~~>=ем имеет место для любого Одночлена-М и любой перестановки о~ Я„. В любом классе интранзнтивности группы Я„, рассматриваемой как группа операторов на множестве одночленов ау, выберем некоторый (в остальном произвольный) одночлен. Пусть д' — множество этих одночленов.
Для каждого одпочлена М~У пусть Гм — подгруппа групп(Б„, оставляющая ннзариантным одночлен М. Пусть д — ее индекс в группе Я„. В каждом левом смежном классе группы Я„по подгруппе симметРические РАциОнАльные дРОБи 207 Ч Гм возьмем по перестановке О1(1<1'<д). Пусты(М) ч~~~отМ. 1=1 Таким образом, т(М) можно определить и как сумму всех различных.одночленов в семействе п! одночленов вида ОМ(ОЕв„). Из этого вытекает тотчас, что т(М) является симметрическим многочленом и что 1= ч~~ ~сыт(М). Кроме того, ясно, что мнозг ч .чь гочлены т(М) линейно негагисимы над полем К, когда М пробегает множество д1.
Таким образом, опи образуют базис алгебры Р симметрических многочленов (над полем К). Пгедложение 3. Длл любого одночлена М (относительно Х„ Хю ..., Х„) существует многочлен 1р(У1, Ую ..., У„) с целыми рациональными коэффициентами, длл которого т (М) = 1р (г„ гм ..1 гь). Рассмотрим градуирогку (гл. 1ь1, $ 1, и 3) кольца 2 [У„ У2, ..., У„[, в которой гес одночлена У~'Уг'... У„ь по определению примем равным А1+212+... +пХ„. При этом соглашении мы сейчас уточним результат, сформулированный в предложении 3, доказав существование многочлена 1р, вес которого равен полной степени й одночлека М к такого, что т(М) =1р(г1, гз, ...
..., г„). Сначала проведем индукцию по п. Предложение очевидно при п=1. С другой стороны, для фиксированного и предложение очевидно прн к=О. Мы проведем также индукцию по й. Положим т(М)=1(Х1, Хз, ..., Х„). Многочлен 1(Х„Х2, ... ..., Х„„О) симметрический, причем все его ненулевые коэффициенты равны 1. В силу предположения индукции существует многочлен 1р1 х х (У„..., У,) с целыми рациональными коэффициентами, вес которого не превосходит й и для которого у(Х1, ° ° ° х 1, 0) = Ч11(г1, ° ° °, г — 1). Здесь гь(Х1, ..., Х„,)=г1,(Х1, ..., Х„„О) является элементарной симметрической функцией степени й от Х1 с 1 <п — 1 (1<й<п — 1). Рассмотрнм симметрический многочлен 11 (Х1 ° ° ° Хп — 1 Хн) = 1 (Х1 - ° ° Хз-и Хь) %1(г1 ° ° гл — 1) коэффициенты которого целые рациональные числа.
Поскольку вес 1р1 ке превосходит и, полная степень многочлена 11 также пРилОжение 1 к ГлАВБ т не превосходит й. С другой стороны, ус(ХН ..., Х„„О)=0. Следовательно, все члены многочлена г', содержат в качестве множителя Х„. Но так как Гс — симметрический многочлен, то переменные Х„..., Х, 1 также являются множителями в кажДом из членон многочлена )1. ПоэтомУ можем написать Ус(ХН ... ..., Хь)=в д(Х1, ..., Х„), гдо д — симметрический многочлон с целыми рациональными коэффициентами, а его полная степень < Й вЂ” и < Й.
В силу индуктивного предположения существует многочлен ср,(У1, ..., У,), веса <й — и, с целыми коэффициентами, для которого д(Х1, ..., Х )= — срь(вс, ..., л„), откуда ПХ1, ", Х.)=р1(вы " в. )+в.р (в, " * в.)=р(вы, в.). Вес многочлена ср не превосходит й. Пусть его вес й; тогда поляая степень многочлена у также будет <й. Следовательно, вес многочлена ср равен Й, что заканчивает доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
