Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Если к тому же положительный элемент х группы 6 имеет конечный порядок и, то и злемент — х = = (и — 1) х положителен, так как Р Д ( — Р) = (О), то * = О. В частности, если все элементы группы»е имеют конечный порядок, то Р = (О); отношение х< у тогда вквивалептно х = у (дискретно» структура порядка). м.
Фыльпзрующмесн грутпьс Говорят, что упорядоченное множество 6 фильтруется вправо (соответствеппо влево) (Теор. мп., Реэ., е 6), если для каждой пары элементов (х, у) множества 6 существует такой элемент г а 6, что х<г и у(г (соответственно г<х, г<у), Каждая упорядоченная группа, фильтрующаяся вправо, фильтруется также влево и обратно: в самом деле, так как существует элемент г ~ 6, для которого — х<г и — у<в, имеем — г<х и — г(у (следствие предложения 2). Поэтому мы будем говорить просто фильтрующаяся группа.
Пгкдложкпик 4. е((ля того чтобы упорядоченная группа 6 была фильтрую»е(гйся, необходимо и достаточно, чтобы она порождалась своими положительными элементами, другими словами, чтобы всякий элемент ив 6 был разностью двух положительных влементов. з гпогядочвпкыв гггппы. двлимость 243 В самом деле, если группа 6 фильтруется, то для каждого х б С существует такой положптельпый элемент з, что х<г, и х есть разность положительных элементов з и г — х. Если, обратно, х = и — о и у = «с — ~, где и, и, и, е положительны, то элемент и +»с больше х и у. Пгвдложвпив 5.
Пусть (х~) — конечное семейстео элементов фильтрующейся еруппы С; то»да сущестеует такой элемент з, что х~ + з полоясительны для всех 1. Пусть х~ = и, — иы где и, и и, положительны; достаточно взять в качестве з сумму всех щ. б; О»пном«ение«дел»лэкосяа«е в поле Мы собираемся определить здесь кокоторые упорядоченные группы, играющие важную роль в Алгебре. В этих группах обычно используются мультипликативвые обозкачепия; для того чтобы примепить к пим полученные ранее результаты, необходимо, следовательно, перевести все с аддитивного языка на мультипликативный, что пе составит никакой трудности для читателя.
Всюду пилке А обозначает область целостности с единицей записыеаемой 1 (т, е. ненулевое коммутативпое кольцо с единицей и беэ делителей куля; см. гл, 1, з 8, и'3); через К обозначается поле отношений кольца А (гл. 1, $9, п'4). В мультипликативкой группе К* всех вепулевых элементов поля К множество Р = А* ненулевых элемектов кольца А замкпуто относительно умиожепия, поскольку А пе имеет делителей нуля. Поэтому множество А* определяет па К* отношение пред- порядка х ' у ~ Р, т. е.
«существует элемент з ~ А*, для которого у = зх», превращающее Кк в предупорядоченную еруппу (которая записывается мультипликатявко) (предложение 3). Распространяя па случай, когда х, у ~ К*, терминологию, относящуюся к элементам кольца А (гл. 1, 6 8, и' 3), отношение х ' у ~ Р можно прочесть также так: х делит у, или х есть делитель у, или у кратно х (отпосительно кольца А); мы будем говорить, что отяошевие х ' у ~ Р есть отношение делимости в К* относительно кольца А.
Отношение «х делит у» мы записываем х~ у, а его отрицание как х(у. Элементы из А* и только опи являются кратными единицы; опи называются иногда целыми алементами в К. 16» 244 упоРядоченные РРуппы и поля гл. Ре 1 1 3 а м е ч а ы и ы, 1) Отношение делымости в К* существэыыо зависит от выбора кольца А. Если А = К, то получаем гтрввиальыоеэ отыошеыие, гле х ~ у для каждой пары (х, у) элемеытов из К. Пусть р (соотзетстзеыыо д) — простое число; рациокальыые числа г/г, зыамеыатель которых делится ыа р (соотзетствеыыо д), образуют подкольцо яр (соотзэтстзеяыо я ) кольца Ч; отыошевия делимости в Оя, соответствующие этим двум кольцам, различны, если р~ у; число р/д кратко 1 для одного кольца, по ые лля другого.
2) Мы распростраылгы иногда определеыие отыошеыыя х ) у иа пару элемеытов из К (а ые только из К*); понимая его как силовым утверж.Лэвия гсущестэуэт такой элемэыт г б А, что у = гхц следовательно, х ) 0 лля каждого х б К. Это позволяет сформулировать без ограниченый следующяя результат: если х ( у ы х ( г, то х ( (у — г); если х ( у и х 1 г, то х ( (у — г). Расшырым таням же образом соответствующую гермиыологыю; в чзсткости, будем говорить, что элемент 0— целый в К. Чтобы вывести из отношения делимости отношение порядка (и' 2), нужно перейти к факторгруппе группы Кз по подгруппе // элементов х ~ Кз таких, что х ~1 н 1 ~ х.
Эти элементы являются в Аэ делителями 1, т. е. они обратимы в А; их называют часто для краткости единицами кольца А. Факторгруппа Кх/1/ будет тогда упорядоченной группой. Два элемента х и у из К, принадлежащие одному классу по модулю (/, называются асеоииированными; зто означает, что х ( у и у ~ х. Если, напротив, х делит у, но у не делит х, то говорят, что х строго делит у, или что х есть строгий делитель у, или у строго кратен х. Отметим, что Кз/(/ является фильтрующейся группой, поскольку К вЂ” поле отношений для А (предложение 4). Утверждение, что два элемента х и у поля К ассоциированы, в силу транзитивности отношения делимости, означает, что х и у имеют одно и то же множество кратных в К.
В соответствии с общими определениями (гл. 1, 4 1, и' 1) для каждого х г К символом Ах обозначается множество элементов вида гх, где г ~ А; множество Ах является подмодулем кольца К, рассматриваемого как А-модуль. Расширяя терминологию, относящуюся к случаю, когда х г А, мы будем называть Ах главным дробным идеалом поля К относительно кольца 1. Отметим, что если А ЧЬК, то глазшгй дробный ыдезлЧЬ(0) яе является идеалом в поле К, рассматриваемом кап кольцо. УПОРЯДОЧВННЫБ ГРУППЫ. ДВЛИМОСТЬ 245 Главный дробный идеал Ах обозначается также через (х). Для противопоставления идеалы кольца А будут называться целыми.
Мы пишем х ва О (шой у), если х ~ Ау, и х вы х' (шой у), если х — х'~Ау; если х вн и' (шой у), то гх еи гх' (шой гу), каков бы ни был элемент г ~ К. Отметим, что из сравнения л ш х' (шод у) ле следуеш сравнение ат ш ех' (шой у), по крайней мере если е не целый. Тан, в поле О относительно 2 имеем 4 ш 2 (п1ой 2), но не 2 ш 4 (шод 2). Отношение х ~ у, очевидно, эквивалентно включению (х), ~ (у). Отображение х -+ (х) группы К" на множество д'а ненулевых главных дробных идеалов поля К определяет, следовательно, взаимно однозначное отображение факторгруппы Ка/П на д'а. Перенося на «ра посредстнов«этого отображения структуру группы К*/с/, приходим к определению произведения главвыхдробвых идеалов (х) н (у).
Этим произведением является идеал (ху), зависящий только от (х) и (у). Наделенное таким законом компоаиции и отношением порядка (х) З (у) множество б'в становится упорядоченной группой, изоморфной Ка/(/, которую удобно отождествить с Ка/с/ посредством вьппеупомянутого отображения. Отметим, что отношение «г делит у», которое в случае целых положительных чисел еле«ет пера««истаа х(у, соответствует включению (х) > (у), то есть идеал (в) «больше» идеала (у). Чтобы ато «обращение порядка» аапоминлось, укажем, например, что у имеет «больше» кратных, чем 9$. Отношение х ! у, расяростравенное на все элементы поля /«', также аквнвалентно включению (т) ~ (у) в множестве 3» всех главных дробных идеалов поля К (в котором (0) — наименьший ел«монт относительно включения). Мы вернемся теперь к аддитнвной терминологии как в предшествующих пунктах.
Однако после введения аддитнвной терминологии в абзацах, отмеченных знаком (ДЕЛ), будут введены соответствующие термины, связанные с делимостью. (В этих абзацах мы сохраняем обозначения этого пункта.) Для облегчения работы читателя на язык Делимости будут переведены также некоторые важные результаты. Перевод предложения 7, например, будет обозначаться так: «Предложение 7 (ДЕЛ)». УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. УП $» 6. Элементарна«е операции над упормдоченнь«ми группами Пусть Н вЂ” подгруппа упорядоченной группы 6; ясно, что структура порядка, индуцированная на Н структурой порядка группы 6, согласована с групповой структурой яа Н. Всегда будет предполагаться, что подгруппа Н снабжена этой структурой порядка, за исключением тех случаев, когда будет оговорено противное. Если Р— множество положительных элементов группы 6, то множеством положительных элементов подгруппы Н служит Н П Р.
Пусть (6„) — семейство упорядоченных групп; согласно определению произведения упорядоченных множеств (Теор. мн., гл. П1) произведение групп 6 = Пб„снабжено структурой порядка, в которой отношение «(х„) <(у„)» между двумя элементами из 6 по определению есть синоним выражения «х„<у для любого а». Непосредственно видно, что эта структура порядка согласована с групповой структурой в 6. Наделенная этой структурой группа 6 становится упорядоченной группой, которая называется произ«сделаем упорядо ~енных групп 6„. Положительные элементы в 6 — это те элементы, все компоненты которых положительны. В случае, когда все множители 6„совпадают с одной и той жв упорядоченной группой Н, 6 является группой Н« отображений множества индексов Х в Н, причем отношение «(<у» между двумя отображениями множества Х в Н означает, что «1 (а) < у (а) для любого а ~ Х»; положительные отображения— вто те, которые принимшот только положительные значения.
Прямую сумму семейства (6„) упорядоченных групп определим как подгруппу их произведения (гл. 11, з 1, и'7). Пусть (6„)оп — семейство упорядоченных групп, в котором множество индексов Х «полне упорядочено отношением порядка ~,; напомним (Теор. мн., гл. 1П), что на множестве произведения 6 = П 6„оно определяет отношение порядка, называемое «лекс сикографическим», при котором отношение «(х„)((у„)» между двумя элементами из 6 по определению является синонимом выражения «если р — наименьший из таких индексов «, что х, ~ у,„то хз < уз». Напомним, что произведение вполне упоря- УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ, ДЕЛИМОСТЬ 247 доченного семейства совершенно упорлдоченеьых множеств само совершенно упорядочено посредством лексикографического порядка. В общем случае отношение лексикографического порядка на 6 согласовано со структурой группы (это проверяется непосредственно); наделенная этой структурой группа 6 является упорядоченной группой, которая называется лекеикографичеелим произведением вполне упорядоченного семейства упорядоченных групп (6,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
