Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 53
Текст из файла (страница 53)
3 а м о ч а н н я. 1) В случае, встречающемся накболео часто, вволне упорядоченным мно1коством индексов служит конеияий интервал П, я) множества Ле. 2) Множество положнтольнык элементов локсвкографвчоского вровэведення о состоит вэ О н эломонтоэ, у которых ненулевая коывононта с наименьшим индексом положительна. е. Возттистнаютотге предстмаалспмм ум ормдочспныгс групп Пусть 6 и 6' — две упорядоченные группы; среди представлений 7" структуры аддитивной группы 6 в структуру аддитивпой группы 6' можно рассматривать возрастающие отображения, то есть такие, для которых из х(у следует, что 7'(х)<~(у).
В силу соотношения 7' (у — х) =- ~ (у) — 7' (х) возрастающие представления группы 6 в группу 6' характеризуются тем, что при таком представлении образ положительного элемента из 6 является положительным элементом в 6'. Пусть Р (соответственно Р') — множество положительных элементов в 6 (соответственно в 6'); условие возрастания записывается так: 7(Р) С Р'. Ясно, что каноническое отображение любой подгруппы группы 6 в упорядоченную группу 6' и проекция произведения упорядоченных групп на его множители являются возрастающими представлениями. ХХаоморфигм (и' 1) 7 упорядоченной группы 6 на упорядоченную группу 6 — это взаимно однозначное представление группы 6 на 6' такое, что ~ и представление, обратное к нему, являются возрастающими.
Это записывается так: г (Р) = Р'. 248 упогядочднныв ггуппы н поля гл. тн 11 Может случиться, гго нзоморфнам групповой структуры группы 6 па групновую структуру группы 6' является возрастающнм, в то время как обратный изоморфнзм ве является таковым.
Так будет, например, если 6 = 6', 1 — тождественное отображение группы 6 на себя и если Р ~ Р', но Р+Р'. В частности, в Я в качестве Р' можно взять множество (обычных) целых положительнмх чисел, а в качестве Р— множество четных положительных чисел. (ДЕЛ) Пусть К вЂ” поле Рг (Х) рациональных дробей над полем Рг нз двух элементов. Отношення делимости относительно колец Рг [Х[ = А' н Рг [Х' Хз[ = А определяют на К" две рааличные структуры упорядоченной группы таяне, что А с А' (зто структуры упорядоченной группы, поскольку 1 нвлнется единственной единицей как в А, так к в А'). 8..8вужнлл и нмггепял ерзапп в упорядоченной группе Напомним (Теор.
мн., Рез., з 6, и'7), что если множество мажоравт части А упорядоченного множества Е (иными словами, множество таких элементов г Е Е, что х с г для всех х Е А) допускает наименьший элемент а, то этот элемент (являющийся тогда единственным) называется верхней гранью части А. Если А — множество элементов некоторого семейства (х,)мп элементов из Е, его верхняя грань, если ова существует, обозначается символом зпр х, (нлн зир х„илн просто зир х,).
Если речь идет о конечном иг семействе (х;) (1<1<и), эта грань обозначаетсн также символом зпр (х„..., х„). Нижняя грань определяется аналогичным образом н обозначается [п1. Операции зпр и [п[ ассоциативны и коггмутативны. Напомнвм (Теор. мп., гл. 111), что если Р— часть упорндоченного множества Е, а (х,) — семейство элементов иа Р, то вз существо ваявя верхней граня епр (з„) в К (которую можно обозначать через зпрд (з„)) не следует существованне верхней грани семейства з, в Р (которую, если она существует, можно обозначить через зирв(х,).
Если каждая иа ннх существует, то вирд(з,) < зпрг(з,); однако если горд (з„) существует и првнадлежпт Р, то верхана грань вирд (з,) существует н равна вирд (г„). Например, в кольце многочлеяов А =- К [Х, У) пад полем К главные ндеалы АХ и АУ относптелыю включения имеют верхней гранью идеал А Х + А У во множестве всех ндеалов и кольцо А во множестве главных идеалов кольца А ° упОРядОченные ГРуппы. делимость 249 (ДЕЛ) Элемент сг группы Ке называется наибольшим общим делителем или, короче, н. о. д, семейства (х,) элементов из К", если главный дробный идеал (б) является в «Ре верхней гранью (относительно включения) семейства идеалов ((х,)) или, иначе говоря, если для элемента г~ Ке отношение г ~ сг эквивалентно тому, что «г ! х, для кансдого ~».
Аналогично, элемент т Е Ки называется наименьшим обм(им кратным, или н. о. к. семейства (х,), если предел (т) является нижней гранью семейства идеалов ((х„)) в й'е, то есть если соотношение т ~ г эквивалентно тому, что «х, ~ г для каждого с». Н. о. д. и н. о. к., если ови существуют, определены по модулю подгруппы П единиц К*, то есть всякие два н. о. д. (или два н. о. к.) данного семейства ассоциированы; для краткости часто обозначают через н. о. д. (х,) и в.
о. к. (х,у любой н. о. д. иэ н. о. д. или н. о. к. семейства (х,), если такие элементы существуют. (дЕЛ) Иногда конятие н. о. д. расяространяют и на семейства (я„) таках элементов иа К, некоторые иа которых могут быть равны нулю; в етом случае н. о. д. определяется как такой элемент о иг К, что г ! а эквивалентно выражению «г ( г, для любого ио Очевидно, с( = О, если каждый из х, равен нулю; в остальных случаях б совпадает с н. о. д. ненулевых элементов данного семейства.
Аналогично, н. о. к. семейства, некоторые элементы которого равны нулю, есть нуль. В упорядоченной группе С из инвариантности порядка относительно сдвигов (предложение 2) немедленно следует равенство. энр(я+х,) =-г+ знр(х,) (1) в том смысле, что каждый раз, когда одна из частей этого равенства существует, то другая. также существует и равна первой. Точно так же, поскольку отображение х — х преобразует порядок группы 6 в противоположный (согласно предложению 2), получаем (и(( — х,) = — зпр (х,) (2) — соотношение, имеющее тот же смысл, что и предыдущее. Нгедложение 6. Пусть (х„)аел, (уг) гся — дга семейства.
влементоя упорядоченной группы С, калсдое иг которых обладает верхней гранью. Тогда семейство (х + уа) оюамлхв также имеет гл. Уг, 51 250 УПОРЯДОЧБННЫН ГРУППЫ И ПОЛЯ верхнюю грань, и впр (х„+ уа) = зпр х,„+ зпр уз, 1о, ЮЕАхВ аЕА ВЕВ Действительно, ив неРавенств х„+ Уз < г ДлЯ любого О и любого ф следует, что зпр (х„) +уе<гдля любого р, а отсюда зпр (х„) + + зир (уз) < г. .9.
Реыгетпочно-упорядоченные группе« Напомним, что упорядоченное множество, в котором каждая нонечная непустая часть обладает верхней н нижней гранями, нааыва-тся решеткой (Теор. м~., Роз., й 6, и' 8). Ясно, что произведение решеточио-упорядоченных групп, в частности, произведение совершенно упорядоченных групп, является решеточно-упорядоченной группой. В противоположность этому подгруппа решеточно-упорядоченной группы пе обязана быть решеточно-упорядоченной группой.
Так, в упорядочеивой группе 2 х 2 «вторая биссектриса» (множество пар (в, и') таких, что и + и' = 0) упорядочена дискретно и, следовательно, нв является решсточко-упорядочеякой группой. Аддитиввая группа мвогочлевов от одной действе«елькой перемеввой (упражнение 2, в' 1) является фильтрующейся группой (поскольку р (г) и д (г) мажоркруются мвогочлепом (р (г))«+ + (Е (г))«+ 1), которая, можно показать, ~е является решеточно- упорядоченной группой. В оставшейся части этого параграфа упорядоченные моноиды группы, если не оговорено противное, будут предполагаться ешеточно-упорядоченными. Читатель заметит, что предложения 7, 10 и 11 справедливы в любой упорядоченной группе в том смысле, что если одна из верхних или нижних граней, фигурирующих в формулировке этих предложспай, существуют, то существует в другая, и высказанвыс соотношения имеют место.
Пгвдложвнив 7. Пусть х и у — элементы рем«еточно-упоря«доченной группы 6; тогда х + у — — (п( (х, у) + зпр (х у). Действительно, согласно соотношениям (1) и (2), (и' 8), зпр(а — х, а — у)=а-,'-зпр( — х, — у)=а — 1П1(х, у); достаточно взять а=х+у. 9 упогядочвнныв Ггуппы. двлимость 251 Пгвдложянив 1 (ДЕЛ). Если У* — решеточно-упорядоченная группа, то для любой пары элементов а и Ь из К произведение наиболыиего общего делителя и наименьшего общего кратного элементов а и Ь ассоциировано с их произведением аЬ. Пгвдложкиив 8.
Пусть Р— множество положительных элементов упорядоченной группы С. Для того чтобы С была решеточно-упорядочена, необходимо и достаточно, чтобы С = =Р— Р и, кроме того, чтобы множество Р, наделенное индуцированным порядком, удовлетворяло одному из следующих условий: а) каждая пара элементов из Р имеет в Р верхнюю грань. 6) каждая пара элементов из Р имеет в Р нижнюю грань.
Необходимость этих условий очевидна: действительно, соотношения С = Р— Р означают, что С фильтруется (предложение 4); с другой стороны, поскольку нижняя и верхняя грани в С двух элементов из Р положительны, то они также лежат в Р. Обратно, заметим сначала, что в предложении а) (соответственно б)) каждая пара элементов х, у из Р имеет верхнюю (соответственно нижнюю) грань в С, равную своей верхней грани а (соответственно своей нижней грани Ь) в Р.
Это очевидно для а, поскольку каждая мажорапта элементов х и у положительна. Пусть теперь г~С вЂ” миноранта для х и у; тогда существует такой элемент и ~ Р, что г+ и Е Р, поскольку С = Р— Р; однако элемент )п1, (х+ и, у+ и) мажорирует Ь+ и и, значит, имеет вид Ь+с+и(с> 0); так как Ь+с меньше, чем х и у, то с=О; значит, (и$г(х+и, у+и)=Ь+и, откуда г+ик',Ь+и, так что г < Ь и, следовательно, Ь является нижней гранью для х и у в С. Пусть теперь х и у — произвольные элементы из С; мы сдвинем их в Р: пусть элемент з~Р таков, что х+о и у+и положительны (предложение 5); по предположению а) (соответственно Ь)) х+и и у+и допускают верхнюю (соответственно нижнюю) грань в Р, а значит, и в С, что мы только что проверили.
Обратный сдвиг показывает, что х и у допускают верхнюю (соотвстственно нижнюю) грань в С; существование одного из двух родов граней для каждой пары (х, у) влечет существование другого в силу соотношения (2) (и' 8), это доказывает достаточность условий теоремы. упОРядОченные ГРуппы и пОля Гл. 71, 1 252 лО. леорема о равложевгым ТеОРемА 1 (теорема о разложении). Пусть (х1)!<!<и, и (уг)!х!яч — две конечные последовательности положительных. элементов решеточно-упорядоченной еруппы С такие, что.
Р в ~~~ ~х! = ~ у!, 'тогда суигествует двойная последовательность. 1=1 1=1 (г1;)! !яг, !я1ыч положительных элементов ив С такая, что х1= в Р = ~ гм для каждого ! и у! — — ~ г!! для каждого !'. 1=! 1=1 1' Докажем сначала теорему при р = д = 2. Пусть х, х', у, у'— такие положительные элементы из С, что х+х' = у+ у'. Положим.: а=акр(О, х — у'). Так как элемент х — у'=у — х' меньше чем х и у, элементы Ь=х — а и с=у — а положительны; то же верно и для д.=а — (х — у ). Имеем х=а+Ь, х =с+а, у=а+с, у'=Ь+й. 2' Покажем теперь, что если теорема справедлива для р<т и д = п (т ) 2, п ) 2), то она верна и для р = т, д = и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
